基于高精度模态综合法的螺栓连接组合结构不确定模型更新.pdf

第 卷 第 期 年 月应用力学学报 .收稿日期:修回日期:基金项目:国家自然科学基金资助项目(.)国家重点研发计划资助项目(.)山东省重点研发计划资助项目(.)通信作者:赵岩教授:.引用格式:张勇赵岩欧阳华江.基于高精度模态综合法的螺栓连接组合结构不确定模型更新.应用力学学报():.():.文章编号:()基于高精度模态综合法的螺栓连接组合结构不确定模型更新张勇赵岩欧阳华江(.大连理工大学工程力学系 大连.大连理工大学宁波研究院 宁波.英国利物浦大学 利物浦)摘 要:由于螺栓结构中存在复杂的微观特征数值模型中无法避免的会引入不确定性 针对螺栓设计中参数不确定性量化问题一种基于高精度模态综合法的螺栓连接组合结构随机模型更新方法被提出 首先考虑高阶剩余模态的影响推导了适用于螺栓组合结构弹性交界面的高精度模态综合法之后在贝叶斯推理框架下通过组合结构的自振频率和振型的概率分布建立螺栓连接参数的后验概率密度函数并借助()抽样方法量化参数的不确定性 数值算例表明针对各子结构之间自振频率差别较大的结构与模态综合法相比本研究方法在较少子结构模态参与的情形下也可以保证良好的模型更新结果关键词:组合结构随机模型更新贝叶斯方法模态综合法中图分类号:文献标志码:./.(.):.应用 力 学 学 报第 卷投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报 ().:螺栓是一种常用的装配连接部件它的力学特性对组合结构的整体动力学行为有明显的影响 通常建立准确的组合结构动力学模型极具挑战性一个主要原因是连接部位具有大量的不确定性(如接触面积、接触刚度和预紧力等)为保证复杂环境载荷下组合结构动力学行为预测的准确性和可靠性考虑螺栓连接组合结构的不确定模型更新成为关键步骤贝叶斯方法将不确定性以概率的方式嵌入到动力学模型更新过程中实现了对参数的不确定性的量化其由后验概率密度函数构建和不确定性量化两部分组成 在贝叶斯推理框架下可由()系数、功率谱以及时域响应的统计特征和不确定参数先验信息转化为后验概率密度函数 不确定性量化一般使用近似逼近和以马尔科夫链蒙特卡罗方法()为主的随机抽样方法实现近似逼近是一种高效的方法适用于测量数据比较充足此时不确定参数的后验概率密度函数逼近于高斯分布其均值为最大后验值()协方差为后验概率密度函数的负对数函数在 值处的海森矩阵的逆阵 当测量数据不足时需要从后验概率密度中随机抽样利用抽样对参数估计和量化不确定性 由于后验概率函数往往是高维复杂的直接抽样比较困难很多学者发展改进了 抽样方法如自适应的 方法、渐进的 方法和混合 方法贝叶斯模型更新涉及对组合结构的动力学重分析为了提高计算效率需要降低组合结构动力学分析的计算规模 模态综合法是常用的动力学减缩方法其主要思想是将整体结构分成几个子结构利用子结构的低阶模态信息和子结构之间的边界耦合关系得到整体组合结构的振动方程从而达到减缩自由度的目的 经典的模态综合法根据子结构的界面约束类型的不同建立在 种典型的位移近似表达式基础之上:自由交界面模态加剩余影响、约束交界面模态加静约束模态以及自由与约束混合交界面模态加剩余影响 为了提高模态综合法的收敛性以及计算精度在 种经典的位移表达式的基础上向树红、邱吉宝等提出了高精度自由交界面、约束界面和混合交界面模态综合法 以高精度约束界面模态综合法为例其的核心思想是利用新的位移展开定理给出采用低阶约束界面模态的高精度位移展开式并解析推导出采用约束界面模态的精确动态子结构方法进而利用精确的剩余约束模态构造出高精度的约束界面模态综合法 而已有的、以 及 等提出的约束或者自由界面模态综合方法也是精确约束或者自由界面模态综合法在低阶情形下的近似结果 和 等利用低阶剩余柔度构造减缩的螺栓组合结构的动力学方程并结合谐波平衡法研究连接结构的非线性特征数值结果表明了该方法的可行性与高效性 和 等采用自由交界面模态综合法减小结构的线性自由度同时采用坐标减缩的方式减小边界非线性自由度也能够提升结构的分析效率 本研究针对线性连接结构识别的反问题为了减少组合模型的模型误差利用约束界面的低阶模态和包含了低阶剩余柔度的广义剩余模态来描述具有弹性边界条件的组合结构的动力学响应构造了组合结构的减缩高保真动力学模型在不增加组合结构自由度规模的情形下提高了减缩模型的计算精度本研究考虑基于高保真减缩模型的贝叶斯模型更新问题首先利用子结构的低阶主模态和剩余广义约束模态结合子结构的弹性连接条件建立组合结构高保真减缩动力学模型 其次基于组合结构的测量特征值和特征向量的统计特性以及减缩模型构造连接参数的后验概率密度函数借助 抽样方法的优势从后验概率密度函数中直接抽样利用抽样样本量化了连接参数的不确定性 最后用两个悬臂梁构成的螺栓组合结构来验证本研究方法的有效性第 期张勇等:基于高精度模态综合法的螺栓连接组合结构不确定模型更新 投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报 高精度模态综合法.子结构模态集将螺栓组合结构按照螺栓连接接头分成 个子结构其中第 个子结构的无阻尼运动方程可以表示为 ()其中:、分别表示子结构的质量与刚度矩阵 表示连接边界载荷 、分别表示子结构的加速度和位移响应假设第 个子结构的自由度数目为 其中包含 个内部自由度和 个连接边界自由度 分别用下标 和 表示内部和连接边界自由度则式()可以表示为 ()假设简谐激励 则对应的位移响应为 上式可以表示为频域形式 ()进一步简化式()为()()()()()其中:()将式()第一行展开可以得到 和 的关系式()其中:()()()在 处的幂级数展开表达式为()()()()()()()将式()代入式()中()()()其中:()()令约束边界的自由度位移为 可以利用子结构特征方程计算子结构的边界约束模态为()其中:的前 列定义为保留低阶约束模态矩阵剩下的 列为高阶约束模态矩阵 利用约束界面主模态 可以将()()表示为()()()()()()()()其中:()()将式()代入式()中则式()可改写为 ()其中 ()()()()()进一步推导得到子结构的响应为()其中:令 定义为子结构的广义模态坐标其中包含了低阶模态坐标和边界位移响应式()中 为除低阶模态外的精确广义剩余模态其中 为静约束模态 为约束模态的高阶影响如果忽略掉 则式()退化为低阶的克雷格班普顿()方法 而本研究考虑高阶模态并由低阶模态、子结构刚度 和质量通过下式计算得到()()()().子结构耦合动力学方程将模态变换矩阵代入式()得到每一个未耦合的子结构运动学方程为 ()应用 力 学 学 报第 卷投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报其中()()()()式()对应的频域形式为()()将式()代入式()则化简后的式()可以表示为()()其中()()()()()()假设如图()所示的两个子结构弹性连接则其未耦合的子结构运动学方程为 ()其中()图 螺栓组合结构的简化模型.假设连接结构为 连接子结构 和 的边界自由度 根据接触条件通共节点的方式减少接触界面的自由度如图 所示 减缩后的连接结构的节点位移分为两个部分 其中 为与子结构 连接的自由度位移响应 为与子结构 连接的自由度位移响应 将作用于 和 上的内力分别记为 和 连接结构的刚度矩阵为 连接结构的力学关系可以表示为 ()子结构 和 与连接结构应满足相容和平衡条件为()假设子结构 的低阶保留约束模态数目为内部非边界节点自由度数目和边界节点自由度数目分别为 和子结构 的低阶模态数目、内部节点自由度数目和边界节点自由度数目分别为、和 则子结构的响应向量可以简化表示为()其中:()()将式()()代入式()并利用式()简化耦合结构的无阻尼动力学方程为()()其中()()引入高阶模态使得组合结构的特征方程是含 的非线性方程需要进行迭代求解 根据式()构造的格式为 ()()根据式()可求解得到组合结构的特征值和特征向量第 期张勇等:基于高精度模态综合法的螺栓连接组合结构不确定模型更新 投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报 基于减缩模型的贝叶斯有限元模型更新方法 本节借助贝叶斯推理框架和减缩动力学模型推导组合结构连接参数的后验概率分布函数并结合 方法量化连接参数的不确定性在确定的模型类下不确定性参数的后验概率函数可以表示为 ()()()()其中:为连接结构的不确定性参数 为归一化常数()为似然函数()为不确定参数的先验概率密度函数以组装结构的特征值 和特征向量 为测量值 以连接接头参数 和测量值误差的标准差 为不确定参数式()改写成()()()()一般认为特征值 和特征向量 是独立分布的故似然函数表示为()()()()()()其中:角标 表示第 阶特征值或者特征向量 表示取的子结构低阶模态数目理论特征值、特征向量和测量值之间存在以下关系()()()()其中:为比例因子 为自由度提取矩阵从数值计算的模态振型中提取对应于测量自由度的模态振型 是特征值对应的测量误差被模型化为均值为 方差为 的高斯分布 为特征向量对应的测量误差被模型化为均值为 协方差矩阵为 的多维高斯分布()()()由此推导得到测量特征值的概率分布为()()()其 中:/()为 归 一 化 常 数()()测量特征向量的概率分布为()()()其中:/()为归一化常数()()()()为的维度由此计算得到似然函数为()()()()()()()代入式()推导出后验参数概率为()()()()()从参数后验概率密度函数中估计参数最优估计值和不确定性量化分为两种方式利用近似逼近和 抽样方法 近似逼近法相对高效但是需要测量数据充足才能满足后验概率密度函数近似为高斯分布的要求 这里假定测量数据不是十分充足不能满足高斯分布的要求因此使用 抽样方法通过抽样数据链的统计特征估计最优估计值和不确定性量化 本研究采用的抽样算法是 方法为了提高采样效率 算法同时结合了拒绝延迟思想和自适应 算法 自适应 方法可以提高拒绝延迟的效率而延迟拒绝也可以在自适应过程变缓的时候提供系统性的补救 数值算例考虑一个两端固支梁模型固支梁被分为两个部分子结构 和子结构 子结构之间通过一个螺栓连接螺栓被模型化为一个竖直弹簧 和一个旋转弹簧 梁的弹性模量为 .密度 /泊松比 .梁为方形截面边长为 .根据子结构 和 的几何尺寸不同(图)分两小节进行讨论 后续讨论用到两种计算方法:应用 力 学 学 报第 卷投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报低阶方法和本研究方法 低阶方法中的子结构模态综合方法是克雷格班普顿法在弹性交界面的推广本研究方法中的子结构模态综合法是高精度子结构方法在弹性交界面的推广 两种方法的模型更新方法都是基于贝叶斯的模型更新方法如第 章所述图 等长组合梁结构.图 不等长组合梁结构.假设 不 确 定 参 数 的 真 值 为 ().其中()为测量误差 组合结构的有限元模型共有 个平面梁单元 个自由度通过组合子结构和螺栓结构的有限元模型得到整体结构的刚度和质量阵并求解得到组合结构的特征值 和特征向量 其中 表示测量数据的模态阶数 以该特征值和特征向量作为真值 分别添加方差为和 的噪声得到模拟测量数据样本不确定参数 的先验分布为均匀先验分布认为在选定的取值范围内参数的概率是等可能的 只能取正值假设()的先验分布为均标准正态分布.子结构几何尺寸相同当子结构尺寸相同时(图)以组合模型的前阶含噪声的模态信息作为测量数据分别使用低阶的克雷格班普顿()方法和本研究方法量化螺栓连接参数的不确定性 该节算例中根据子结构保留阶数的不同分别设置了 种不同的工况表 是两种方法得到不同工况下螺栓参数的后验概率密抽样数据的概率统计结果不确定性参数除了螺栓连接刚度 以 外 该 算 例 中 还 包 含 了 噪 声 强 度()可以被用来定性衡量模型误差大小 表中对比了本研究方法和低阶方法在各种工况下不确定性参数 ()对应的均值 和标准差 基于同一种方法对比子结构不同保留阶数工况下的计算结果可以发现随着子结构保留阶数的增加参数的方差明显减少()的均值越接近于真值说明不确定性模型误差带来的影响越来越小螺栓参数样本越集中于均值 对于均值而言除了 阶工况的均值与准确值有明显较大差别外其他几阶主差别不大说明保留 阶子结构模态可以耦合得到较为准确的组合结构动力学模型 基于不同方法对比计算结果可以发现保留 阶以上的子结构模态数据时两种方法的更新结果差别不大但是保留 阶子结构时本研究方法计算的均值明显更加接近于准确值表 具有相同尺寸的子结构模型更新结果.保留阶数参数/()本研究方法低阶方法 阶.().阶.().阶.().阶.().第 期张勇等:基于高精度模态综合法的螺栓连接组合结构不确定模型更新 投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报 图 和图 分别是低阶方法和本研究方法的后验样本直方图为了方便对比不同子结构保留阶数的计算结果对抽样样本进行归一化处理保证样条高度的和为 对比图()和图()在保留子结构阶数较少的情况下本研究方法比低阶方法更能体现出优势但是对于等长结构这种优势不是特别明显 对比图()和图()可以看出两种方法对参数 的更新结果没有大的区别图 螺栓参数样本分布(克雷格班普顿方法).()图 螺栓参数样本分布(本研究方法).().子结构几何尺寸不相同已有文献表明如果子结构之间由于尺寸差别或者材料差别引起自振模态差别较大时为了保证组合结构动力学模态数据的可靠性需要保留的子结构模态数目明显加多这样势必会导致计算规模的增加影响重分析的计算效率 本研究提出的高精度模型更新方法可以在尽可能减少子结构保留阶数的前提下得到准确的模型更新结果并量化参数不确定性使用如图 所示的模型结构长梁和短梁的长度比为 算例中组合结构的测量模态数目 取子结构的前 阶模态参与耦合组合结构模态信息表 中 的 标 准 距 离 的 计 算 公 式 为 表征的是抽样样本的均值与真值之间的距离有几个方差 为变异系数()是()样本的均值统计量量化分析不确定性 从表 可以看出两种方法计算的 的均值相差不大但均值误差明显较大本研究方法的计算结果更接近准确值 本研究方法的后验样本的标准差明显比低阶方法的小证明低阶方法的样本更发散鲁棒性较弱这一点对比变异系数值也能得到相同的结论 应用 力 学 学 报第 卷投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报低阶方法计算的 样本的标准距离为.明显高于其他参数不到 的水平说明低阶方法并不能很好的更新 参数 本研究方法和低阶方法计算的测量误差相差不大但是与真值().相比较大这意味着该模型与实际的有限元模型有一定的差别图 和图 分别是低阶方法和本研究方法计算的参数抽样样本对应的自振频率分布图红点是模拟测量值 从图 可以看出低阶方法计算的自振频率分布图并不能包括测量值或者说测量值并不在自振频率分布的大概率区间内主要原因还是 的估计值的准确度较差并且越高阶的自振频率测量值离自振频率样本分布越远 由图 可以看出本研究方法计算的自振频率分布样本能够包含测量值并且离样本分布的均值距离很近选择第 阶和第 阶的自振频率样本分布图可以看出测量样本在其 的置信区间内表 不等长子结构模型修正结果.参数本研究方法低阶方法/().().图 自振频率样本分布 克雷格班普顿方法(蓝点计算样本红点测量数据).()第 期张勇等:基于高精度模态综合法的螺栓连接组合结构不确定模型更新 投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报图 自振频率样本分布 本研究方法(蓝点计算样本红点测量数据).()结 论本研究将高精度子结构方法推广到了含有弹性边界的组合结构中建立了组合结构的高精度减缩模型利用贝叶斯分析方法将参数不确定性考虑到模型更新中并利用 抽样方法量化了不确定性 结果表明当子结构之间自振频率差别较大时本研究方法可以利用较少的子结构模态信息得到更准确的模型更新结果参考文献:.():.():.():.():.():.颜王吉曹诗泽任伟新.结构系统识别不确定性分析的 方法及其进展.应用数学和力学():.():().():.应用 力 学 学 报第 卷投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报 .():.:.向树红邱吉宝王大钧.模态分析与动态子结构方法新进展.力学进展():.():().邱吉宝向树红张正平.计算结构动力学.合肥:中国科学技术大学出版社.():.():.():.():.:.():.:.:.():.:.():.(编辑 李坤璐)