二元模糊关系范畴的对称幺半范畴性.pdf

二元模糊关系范畴的对称幺半范畴性周鑫1,2，刘淼1,2*(1.伊犁师范大学数学与统计学院，新疆伊宁835000；2.伊犁师范大学应用数学研究所，新疆伊宁835000)LbRelLbRelLbRelLbRelLbRelLSetRelLL摘要：结合模糊关系范畴的概念给出了二元模糊关系范畴的概念.首先，讨论了范畴的积和余积的结构.其次，定义了张量积函子，得到了是对称幺半范畴.进而，给出了范畴中的幺半群和余幺半群结构.最后，以二元模糊关系范畴作为纽带，构造了一个从模糊集范畴到模糊关系范畴的忠实函子.关键词：模糊关系；二元模糊关系；范畴；函子；对称幺半范畴中图分类号：O159文献标志码：A文章编号：02587971(2024)02021909二元关系是一个非常重要的数学概念，诸如等价关系、同余关系、序关系等关系在数学结构和数学构造中普遍存在.1965 年，Zadeh1引入了模糊关系的定义，并在文献 2 中给出了模糊相似关系、模糊序等概念.此后，模糊关系便成为了模糊理论最基础的概念之一，并成为了在模糊理论应用方面最常用的数学工具之一.模糊关系范畴在理论研究方面受到了许多数学工作者的关注3-7，在实践方面也得到了广泛的应用8-17.近年来，由于对称幺半范畴在逻辑学18、计算机科学19、机器学习20、量子力学21等方面的大量应用，使得讨论模糊关系的对称幺半范畴性质得到了发展，Harding 等22最先研究了模糊关系范畴的幺半范畴结构，Jencova 等23讨论了关系幺半群范畴中的单子与模格的关系，Alcantara 等24系统地研究了 3 类常见模糊关系范畴的对称幺半范畴性质，文献 25 对模糊 L-关系范畴的对称幺半范畴性质进行了讨论.LbRelLRelLbRelLbRelLbRelLbRelLSetRelLL本文结合上述研究成果，主要对模糊理论中非常常见的二元模糊关系范畴的范畴性质进行了探讨.首先，通过模糊关系范畴给出了二元模糊关系范畴的概念，通过对中 2 个对象的积和余积的结构的刻画，得到二元模糊关系范畴中任意 2 个对象都具有双积结构.其次，给出了中的一个张量积函子，证明了二元模糊关系范畴具有对称幺半范畴结构.进而，给出了二元模糊关系范畴中的幺半群和余幺半群结构.最后，以二元模糊关系范畴作为纽带，构造了一个从模糊集范畴到模糊关系范畴的忠实函子.1基本概念x,y,z Lx xx y,y x x=yx y,y z x z(L,)定定义义 126设L是一个有二元关系 的集合，任意，满足：自反性：；反对称性：；传递性：，则称是偏序集.(L,)a,babab(L,)若偏序集的任意 2 个元素既有最小上界又有最大下界，则称是一个格.若L的每个子集都有最小上界和最大下界，则称它是一个完备格.L=(L,0,1)L=(L,0,1):LL Lu La bac bc定定义义 224设是一个有最小元 0 和最大元 1 的完备格.若上有一 个 二 元 运 算 和 幺 元，满 足：保 序 性：若，则；结 合 律：收稿日期：2022-09-12；接受日期：2023-11-17；网络出版日期：2023-12-09基金项目：新疆高校科研计划项目（XJEDU2021Y042）；新疆伊犁州科技计划项目（YZ2022Y010）；伊犁师范大学博士科研启动基金（2021YSBS011）；伊犁师范大学科研创新团队项目（CXZK2021014）；伊犁师范大学提升学科综合实力专项项目（2022XKZY08）；伊犁师范大学高级别培训项目（YSPY2022011）.作者简介：周鑫（1981），男，山东人，博士，副教授，主要研究模糊数学和李代数及其应用.E-mail：.*通信作者：刘淼（1976），男，山东人，硕士，教授，主要研究数理统计及应用.E-mail：.云南大学学报（自然科学版），2024,46（2）:219227JournalofYunnanUniversity:NaturalSciencesEditionDOI:10.7540/j.ynu.20220467(ab)c=a(bc)ab baaa=aau=a=uaa(ibi)=i(abi)L=(L,0,1)(,u)L=(L,0,1,u)；交 换 律：；幂 等 律：；单 位 性：；分 配 律：，则称具有幺半结构，或称是一个具有幺半结构的完备格.COb(C)CA,B Ob(C)C(A,B)Set设 是一个范畴，用表示 的对象类.任意，用表示A到B的态射的全体.用表示集合范畴.有关范畴理论的基本知识参见文献 27-28.(C,I)C定定义义 3三元组是一个对称幺半范畴指范畴 满足：:CC C(1)是一个双函子.A,B,C,D Ob(C)f C(A,C),g C(B,D),h C(C,E),k C(D,F):(A,B)=AB:(f,g)=f g:AB CDIdAIdB=IdAB(kh)(g f)=(kg)(h f)任意，作用在对象上为，作用在态射上为，且有等式和成立.C(2)I是 中的幺元.(3)4 个自然同构：A,B,C:(AB)C A(BC)(a)结合性：；A:A IA(b)左单位：；A:A AI(c)右单位：；A,B:AB BA(d)交换性：，:CC C使得文献 29207210 页图 3.203.27 都可交换.若去掉条件（d），则称是一个幺半范畴.(C,I)A Ob(C):AA Ae:I A定定义义 4设是一个幺半范畴，任意，若存在态射和态射满足：(IdA)=(IdA)(eIdA)=(IdAe)=IdA(1);(2)，(A,e)C则称是 中一个内蕴半群.(C,I)B Ob(C):A AA:A I定定义义 5设是一个幺半范畴，任意，若存在态射和态射满足：(IdB)=(IdB)(IdB)=(IdB)=IdB(1)；(2)，(B,)C则称是 中一个内蕴余半群.(L,):A LA,BAB定定义义 630设是偏序集，A是一个集合，映射称为A上模糊集.集合的笛卡尔积上的模糊集，称为A到B的模糊映射.L=(L,0,1,u)LRel定定义义 722设是一个具有幺半结构的完备格.定义模糊关系范畴如下：Ob(LRel)=Ob(LSet)(1)对象：；(A,),(B,)R LRel(A,),(B,)(2)态射：任意模糊集，态射为R:(A,)(B,)L;R LRel(A,),(B,)S LRel(B,),(C,)S R LRel(A,),(C,)S R(a,c)=bB(R(a,b)S(b,c)(a,b,c)ABC(3)复合：若，则复合指：，其中.a,a A(A,)(4)恒等：任意，模糊集上恒等为Id(A,)(a,a)=(a),a=a,0,a,a.2主要结果RelLLLbRelLbRelLbRelRelLL文献 24 研究了对象为模糊集，态射为一类模糊关系构成的范畴，讨论了该范畴中的积、余积、张量积、内蕴半群和内蕴余半群等范畴性质，并证明了该范畴具有对称幺半范畴结构.以下从模糊关系范畴出发，给出对象为模糊集，态射为二元模糊关系构成的范畴，讨论的范畴性质，并说明了可以忠实地嵌入到之中.L=(L,0,1,u)LbRel定定义义 8设是一个具有幺半结构的完备格.定义二元模糊关系范畴如下：Ob(LbRel)=Ob(LSet)(1)对象：；220云南大学学报（自然科学版）http:/第46卷(A,),(B,)Ob(LbRel)R LbRel(A,),(B,)(2)态射：任意，态射为R:(A,)(B,)LR(a,b)(a)(b)且满足；R LbRel(A,),(B,)S LbRel(B,),(C,)S R LbRel(A,),(C,)S R(a,c)=bB(R(a,b)S(b,c)(3)复合：若，则复合指：，且有R(a,b)S(b,c)(a)(b)(b)(c)(a)(b)(b)(c)(a)(b)(c)(a)(c),(a,b,c)ABC其中.a,a A(A,)Ob(LbRel)(4)恒等：任意，上恒等为Id(A,)(a,a)=(a),a=a,0,a,a.(A,),(B,),(C,)Ob(LbRel)容易验证，任意，可得结合律(A,)(B,)(C,)=(A,)(B,)(C,)(A,),(B,)Ob(LbRel)R LbRel(A,),(B,)成立.任意，等式Id(B,)R=R=RId(A,)成立.L=(L,0,1)SetfL(X,X)X Ob(Set)X:X LSetfL(X,X),(Y,Y)R:XY LR(x,y)X(x)Y(y)x X,y YSetfL=,u=1例例 1设是一个完备格.令范畴是以为对象，其中，.取定中 2 个对象，定义它们之间的态射为模糊关系满足，其中，则范畴为当时的一个二元模糊关系范畴.LbRelLRel注注 1容易看出二元模糊关系范畴的态射是模糊关系范畴的态射限制一定条件所得.LbRelLbRel(A,),(B,)2.1二元模糊关系范畴中的积和余积定定理理 1二元模糊关系范畴中两个对象的积和余积是不交并(A,)+(B,)=(a,1);a A(b,2);b B.投射为1:(A,)+(B,)(A,),2:(A,)+(B,)(B,);内射为i1:(A,)(A,)+(B,),i2:(B,)(A,)+(B,).其中1(a,1),a)?(a),a=a,0,a,a,2(b,2),b)?(b),b=b,0,b,b,i1(a,(a,1)?(a),a=a,0,a,a,i2(b,(b,2)?(b),b=b,0,b,b.s1:(A,)(C,)s2:(B,)(C,)LbRelT:(A,)+(B,)(C,)证明证明考虑，是范畴中的态射.定义为T(a,1),c)=s1(a,c),T(b,1),c)=s2(b,c).且有T(a,1),c)=s1(a,c)(a)(c)=(a,1)(c),和T(b,2),c)=s2(b,c)(b)(c)=(b,2)(c),T:(A,)+(B,)(C,)LbRel所以是范畴中的态射.另外，T是唯一态射使得T i1(a,c)=(a,1)(i1(a,(a,1)T(a,1),c)=T(a,1),c)=s1(a,c).第46卷周鑫等：二元模糊关系范畴的对称幺半范畴性221T i2(b,c)=s2(b,c)类似可得，即有下图(A,)+(B,),i1,i2)(A,),(B,)交换.因此，是的余积.t1:(C,)(A,)t2:(C,)(B,)LbRelS:(C,)(A,)+(B,)S(c,(a,1)=t1(c,a),S(c,(b,2)=t2(c,b)下证积的情况.考虑，是中的态射.定义为，且有S(c,(a,1)=t1(c,a)(c)(a)=(c)(a,1),和S(c,(b,2)=t2(c,b)(c)(b)=(c)(b,2),S:(C,)(A,)+(B,)LbRel所以是范畴中的态射.另外，T是唯一态射使得1S(c,a)=(a,1)(S(c,(a,1)1(a,1),a)=S(c,(a,1)=t1(c,a).2S(c,b)=t2(c,b)(A,)+(B,),1,2)(A,),(B,)类似可得.因此，是的积.证毕.LbRel注注 2二元模糊关系范畴中任意 2 个对象的不交并是其双积结构.LbRelL=(L,0,1,u)LbRel2.2范畴中的张量积和幺半范畴结构定定理理 2设是一个具有幺半结构的完备格.定义范畴中双函子 如下：(A,)(B,)=(AB,);(1)R LbRel(A,),(A,)S LbRel(B,),(B,)(2)若，则复合RS LbRel(AB,),(AB,)指：RS(a,b,a,b)=R(a,a)S(b,b),I=(!,u)u(!)=uL(3)张量单位，其中，u是 中关于运算 的单位.R LbRel(A,),(A,)S LbRel(B,),(B,)证明证明因为，所以R(a,a)(a)(a),S(b,b)(b)(b).可得RS(a,b,a,b)=R(a,a)S(b,b)(a)(a)(b)(b)(a)(b)(a)(b),故RS LbRel(AB,),(AB,).下面验证单位性和复合性.a,ab,b当或时，有Id(A,)Id(B,)(a,b,a,b)=Id(A,)(a,a)Id(B,)(b,b)=0=Id(A,)(B,)(a,b,a,b).a=ab=b当且时，有Id(A,)Id(B,)(a,b,a,b)=Id(A,)(a,a)Id(B,)(b,b)=(a)(b)=Id(A,)(B,)(a,b,a,b).222云南大学学报（自然科学版）http:/第46卷因此，与恒等态射是相容的.又R1 LbRel(A1,1),(B1,1),R2 LbRel(A2,2),(B2,2),S1 LbRel(B1,1),(C1,1),S1 LbRel(B1,1),(C1,1),有(S1S2)(R1R2)(a1,a2,c1,c2)=(S1S2)(R1R2)(a1,a2,c1,c2),且(R1R2)(a1,a2,b1,b2)(S1S2)(b1,b2,c1,c2)1(a1)1(b1)2(a2)2(b2)1(b1)1(c1)2(b2)2(c2)(12)(a1,a2)(12)(c1,c2).因此，与复合是相容的.证毕.LbRelI=(!,u)LbRel定定理理 3范畴中定义张量积为函子，单位为，则是一个对称幺半范畴.LbRel证明证明首先，定义范畴中的自然同构A,B,C(a,b),c),(a,(b,c)?(a)(b)(c),a=a,b=b,c=c,0,其它.(1)a=a,b=b,c=c事实上，当时，则由 满足结合律，可得(a)(b)(c)(a)(b)(c),(a)(b)(c)(a)(b)(c),故A,B,C(a,b),c),(a,(b,c)()(a,b),c)()(a,(b,c).0 ()(a,b),c)()(a,(b,c)在其它情况下，显然成立.A(a,(!,a)?(a),a=a,0,a,a.(2)a=a(a)(a)(u(!)(a)当时，显然成立.a,a0 (a)(u(!)(a)当时，显然成立.A(a,(a,!)?(a),a=a,0,a,a.(3)a=a(a)(a)(a)u(!)当时，显然成立.a,a0 (a)(a)u(!)当时，显然成立.A,B(a,b),(a,b)?(a)(b),a=a,b=b,0,其它.(4)a=a,b=b(a)(b)(a)(b)当时，显然成立.0 ()(a,b),c)()(a,(b,c)在其它情况下，显然成立.其次，上述 4 个自然同构满足文献 29207210 页的融贯性条件（图 3.203.27）.a=a,b=b,c=c,a1=a1,b1=b1,c1=c11(3.20 证明)当时，(f g)h)A,B,C(a,(b,c),(a1,b1),c1)=(a)(b)(c)1(a1)1(b1)1(c1),A1,B1,C1(f(gh)(a,(b,c),(a1,b1),c1)=(a)(b)(c)1(a1)1(b1)1(c1),且满足A,B,C(a,(b,c),(a,b),c)(f g)h)(a,b),c),(a1,b1),c1)(a)(b)(c)1(a1)1(b1)1(c1),和(f(gh)(a,(b,c),(a1,(b1,c1)A1,B1,C1(a1,(b1,c1),(a1,b1),c1)(a)(b)(c)1(a1)1(b1)1(c1).第46卷周鑫等：二元模糊关系范畴的对称幺半范畴性223a=a,b=b2(3.21 证明)当时，(1I f)A(a,(!,b)=(a)(b)=B f(a,(!,b),且满足A(a,(!,a)(1I f)(!,a),(!,b)(a)(a)(b)=(a)(b),和f(a,b)B(b,(!,b)(b)(a)(b)(a)(b).a=a=a=a=a b=b=b=b=b c=c=c=c=c d=d=d=d=d3(3.22 证明)当,，时，(1D)(1A)(a,(b,(c,d),(a,b),c),d)=(a)(b)(c)(d),()(a,(b,(c,d),(a,b),c),d)=(a)(b)(c)(d),且满足(1A)(a,(b,(c,d),(a,(b,c),d)(a,(b,c),d),(a,(b,c),d)(1D)(a,(b,c),d),(a,b),c),d)(a)(b)(c)(d),和(a,(b,(c,d),(a,b),(c,d)(a,b),(c,d),(a,b),c),d)(a)(b)(c)(d).a=a=a,b=b=b4(3.23,3.24 证明)当时，A,I,B(IdAB)(a,b),(a,!),b)=(a)(b)=AIdB(a,b),(a,!),b),且满足AIdB(a,b),(a,!),b)()(a,b)(a)u(!)(b)=(a)(b)和(IdAB)(a,b),(a,(!,b)A,I,B(a,(!,b),(a,!),b)()(a,b)(u)(a,(!,b)A,I,B(a,(!,b),(a,!),b)(a)(b),因此，即有下图LbRel交换.以上证明过程在其余情况下，相应的模糊关系皆为 0.这就证明了文献 29207209 页的融贯性条件（图 3.203.24），故是一个幺半范畴.a=a=a,b=b=b5(3.25 证明)当时，B,AA,B(a,b),(a,b)=(a)(b)=IdAB(a,b),(a,b),且满足A,B(a,b),(a,b)B,A(a,b),(a,b)(a)(b),IdAB(a,b),(a,b)(a)(b).a=a=a6(3.26 证明)当时，(I,AA)(a,(a,!)=(a)=(a,(a,!),且满足224云南大学学报（自然科学版）http:/第46卷A(a,(!,a)I,A(!,a),(a,!)(a)u=(a).a=a=a=a=a=a7(3.27 证明)当时，(A,C1B)(1AB,C)(a,(b,c),(c,a),b)=(a)(b)(c),(AB,C)(a,(b,c),(c,a),b)=(a)(b)(c),且满足(1AB,C)(a,(b,c),(a,(c,b)(a,(c,b),(a,c),b)(A,C1B)(a,c),b),(c,a),b)(a)(b)(c),和(a,(b,c),(a,c),b)AB,C(a,c),b),(c,(a,b)(c,(a,b),(c,a),b)(a)(b)(c).LbRel以上证明过程在其余情况下，相应的模糊关系皆为 0.这就证明了文献 29210 页的融贯性条件（图3.253.27）.综上，是一个对称幺半范畴.证毕.LbRel(A,),(B,)Ob(LbRel)2.3范畴中的内蕴半群和内蕴余半群定定理理 4任意，给定模糊关系(a1,(a2,a3)?(a),a1=a2=a3,0,其它和(a,!)?(a)LbRel可以定义一个范畴中的内蕴余半群结构.给定模糊关系(b1,b2),b3)?(b),b1=b2=b30,其它和e(!,b)?(b)LbRel可以定义一个范畴中的内蕴半群结构.a1=a2=a3(a1,(a2,a3)(a1)()(a2,a3)=(a)(a1,(a2,a3)=0 (a1)()(a2,a3):A AALbRel证明证明首先，当时，.在其它情况下，显然成立，所以是范畴中的态射.a=a1=a2=a1=a2=a3 3当时，(IdA)(a,(a1,(a2,a3)=(a)=(IdA)(a,(a1,a2),a3).其它情况下，(IdA)(a,(a1,(a2,a3)=0=(IdA)(a,(a1,a2),a3).且有(a,(a1,a2)(IdA)(a1,a2),(a1,(a2,a3)(a)()(a1,(a2,a3)和(a,(a1,a2)(IdA)(a1,a2),(a1,a2),a3)(a)()(a1,a2),a3).(a,!)=(a)(a)u(!):A ILbRel其次，由于，所以也是范畴中的态射.a=a1=a2=a2当时，(IdA)(a,(!,a2)=(IdA)(a,(a1,!)=IdA(a,a)=(a).其它情况下，(IdA)(a,(!,a2)=(IdA)(a,(a1,!)=IdA(a,a)=0 (a)且有(a,(a1,a2)(IdA)(a1,a2),(!,a2)(a)(u)(!,a2),(a,(a1,a1)(IdA)(a1,a1),(a1,!)(a)(u)(a1,!),IdA(a,a)(a).第46卷周鑫等：二元模糊关系范畴的对称幺半范畴性225(A,)因此，是一个内蕴余半群.(B,e)同理可证，是一个内蕴半群.证毕.LSetLbRelRelLLLSetf LSet(A,),(B,)f Set(A,B)f2.4模糊集范畴、二元模糊关系范畴和模糊关系范畴的关系模糊集范畴其对象为模糊集，态射满足且.RelLLf RelLL(A,),(B,)(A,)(B,)(A,)(B,)L f 文献 24 定义 6.1 介绍了模糊关系范畴，其对象为模糊集，态射满足f是到的模糊关系且.F:LSet LbRelF(A,)=(A,)F(f)=Rff LSet(A,),(B,)首先，可以构造函子，其中对象上的作用为，态射上的作用为，这里，Rf(a,b)=(a),y=f(x),0,y,f(x).Rf(a,b)(a)(b)f LbRel(A,),(B,)容易看出，故.显然，F作用在对象类上是一个双射且是忠实的.G:LbRel RelLLF(A,)=(A,)G(Rf)=Rf其次，可以构造函子，其中对象上的作用为，态射上的作用为.Rf LbRel(A,),(B,)Rf(a,b)(a)(b)Rf(a,b)(a)(a)Rf(a,b)=Rf(a,b)(b)Rf RelLL(A,),(B,)若，由，可得，所以，即.显然，G作用在对象类上是一个双射且是忠实的.结合下图LbRelGF:LSet RelLLGF以二元模糊关系范畴为纽带，可以得到函子，函子作用在对象上是一个双射且是忠实的.参考文献：ZadehLA.FuzzysetsJ.InformationandControl,1965,8(3):338-353.DOI:10.1016/S0019-9958(65)90241-X.1ZadehLA.SimilarityrelationsandfuzzyorderingsJ.InformationSciences,1971,3(2):177-200.DOI:10.1016/S0020-0255(71)80005-1.2CerrutiU.CompletionofL-fuzzyrelationsJ.JournalofMathematicalAnalysisandApplications,1983,94(2):312-327.DOI:10.1016/0022-247X(83)90065-3.3KawaharaY,FurusawaH,MoriM.CategoricalrepresentationtheoremsoffuzzyrelationsJ.InformationSciences,1999,119(3-4):235-251.DOI:10.1016/S0020-0255(99)00017-1.4MockorJ.FuzzylogicmodelsinacategoryoffuzzyrelationsJ.SoftComputing,2009,13(6):591-596.DOI:10.1007/s00500-008-0336-6.5WinterM.Goguencategories:acategoricalapproachtoL-fuzzyrelationsM.NewYork:SpringerScience&BusinessMe-dia,2007.6WinterM.RelationalsumsandsplittingsincategoriesofL-FuzzyrelationsC/InternationalConferenceonRelationalandAlgebraicMethodsinComputerScience.Cham:Springer,2021:433-447.7YehRT,BangSY.Fuzzyrelations,fuzzygraphs,andtheirapplicationstoclusteringanalysisC/FuzzysetsandTheirAp-plicationstoCognitiveandDecisionProcesses.AcademicPress,1975,159(159):125-149.DOI:10.1628/0932456032974862.8YangMS,ShihHM.ClusteranalysisbasedonfuzzyrelationsJ.FuzzySetsandSystems,2001,120(2):197-212.DOI:10.2146/ajhp080020.9BhutaniKR,BattouA.AnapplicationoffuzzyrelationstoimageenhancementJ.PatternRecognitionLetters,1995,16(9):901-909.DOI:10.1016/0167-8655(95)00035-F.10DuboisD,PradeH.Upperandlowerimagesofafuzzysetinducedbyafuzzyrelation:Applicationstofuzzyinferenceand11226云南大学学报（自然科学版）http:/第46卷diagnosisJ.InformationSciences,1992,64(3):203-232.DOI:10.1016/0020-0255(92)90101-D.FengJ,LvH,ChengD.MultiplefuzzyrelationanditsapplicationtocoupledfuzzycontrolJ.AsianJournalofControl,2013,15(5):1313-1324.DOI:10.1002/asjc.656.12RoyMK,BiswasR.IvfuzzyrelationsandSanchezsapproachformedicaldiagnosisJ.FuzzySetsandSystems,1992,47(1):35-38.DOI:10.1016/0165-0114(92)90057-B.13Nasir 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