高二数学竞赛试卷.doc

高二数学竞赛试题
2011.5
考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；
⒉不准使用计算器；
⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．
一、选择题：本大题共5小题，每小题6分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足＝3，则复数的实部与虚部之和为
A． B． C． D．
2．已知，且，则的值为
A．2 B．1 C． D．
3．已知定义在上的函数为奇函数，且函数的周期为5，若，则的值为
A．5 B．1 C．0 D．
4．已知函数有两个零点，则有
A. B. C. D.
5.一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 11 m的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．
6.设，则＝ ．
7.以、为焦点的椭圆＝１（）上一动点P，当最大时的正切值为2，则此椭圆离心率e的大小为 。
(第7题)
C
A
B
D
D1
C1
B1
A1
P
Q
R

8.已知ABCD－A1B1C1D1是边长为3的正方体，
点P、Q、R分别是棱AB、AD、AA1上的
点，AP＝AQ＝AR＝1，则四面体C1PQR的
体积为 ．

9.已知等差数列的前项和为，且，，
则过点和N*)的直线的斜率是__________。
10.已知定点，点的坐标满足当（为坐标原点）的最小值是时，实数的值是 ．
11.在平面直角坐标系中定义两点之间的交通距离为。若到点的交通距离相等，其中实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长之和为 。

班级 座号 姓名

三
题 号 一 二 总 成 绩
13 14 15 16

得 分

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
题号
1
2
3
4
5
答案

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.
6． 7。 8.

9． 10。 11

三、解答题：本大题共4小题，满分84分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤
12.（本小题满分20分）已知函数f（x）=2x+alnx
（1）若a＜0，证明：对于任意两个正数x1，x2，总有≥f()成立；
（2）若对任意x∈[1，e]，不等式f（x）≤（a+3）x－x2恒成立，求a的取值范围。

13. (本小题满分21分)如图所示,等腰的底边,高,点是线段上异于、的
动点.点在边上,且.现沿将
折起到的位置，使。记,
表示四棱锥的体积
(1)求的表达式；
(2)当为何值时，取得最大值？
(3) 当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值.

14. (本小题满分21分) 已知抛物线的对称轴为，且与坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为.
(1) 求实数的取值范围；
(2) 设抛物线与ｘ轴的左交点为A，直线是抛物线在点A处的切线，试判断直线是否也是圆的切线？并说明理由.

15. (本小题满分22分) 已知数列满足递推关系式：，.
（1）若，证明：（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当时，有.
（2）若，证明：当时，有.

高二数学竞赛参考答案
DAADD
4．函数的两个零点，即方程的两根，也就是函数与的图象交点的横坐标，如图易得交点的横坐标分别
为 显然，则
，故选D.
5.答: D
解：铺第一列(两块地砖)有 种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了 、
两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺 色．若铺 色，则有 种铺法；若不铺 色，则有 种方法. 于是第二列上共有 种铺法. 同理， 若前一列铺好，则其后一列都有 种铺法．因此，共有 种铺法． 故选 D．
6.8 7. 8.9. 4 10. 2 11.
6.令得，令得
∴＝8
7.解析：当最大时P为椭圆与y轴的交点，的正切值为2，即，∵，
则椭圆离心率e为。
8.答案：
简解：因为C1C⊥面ABCD，所以C1C⊥BD．
又因为AC⊥BD，
所以BD⊥面ACC1，所以AC1⊥BD．
又PQ∥BD，所以AC1⊥PQ．
同理AC1⊥QR．所以AC1⊥面PQR．
因为AP＝AQ＝AR＝1，所以PQ＝QR＝RP＝．
因为AC1＝3，且VA－PQR ＝··12·1＝，所以
VC－PQR ＝··()2·3－VA－PQR ＝．

9.解析：由消去得。直线的斜率为，∴填4．

10.表示向量在上的射影长，画出可行域，知当P点落在直线上时，取得最小值为，故．

11.答 。
由条件得。
当时，无解；
当时，无解；
当时，无解；
当时，，线段长为。
当时，，线段长为。
当时，线段长为。
当时，无解。
当时，无解。
当时，无解。
综上所述，点的轨迹构成的线段的长之和为。

12解：（I）.
………（5分）
因为 所以, ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
又， 故，所以，…（10分）
（Ⅱ）因为对恒成立，
故， ，
因为,所以，因而 ，………………（15分）
设
因为，
当时, ,，所以，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
又因为在和处连续 ，所以在时为增函数，
所以 …………………………（20分）
13.（1）又， 平面且，，四棱锥的底面积为
， ………8分
（2），时，时，在上增，在上减，故在时，取最大值为……14分
（3）过作交于，则是直线与所成角且是等腰三角形，由（2）知
在，所以异面直线与所成角的余弦值为………21分
14. 解：（１）由抛物线的对称轴为知----------------------------2分
∵抛物线与坐标轴有三个交点∴，否则抛物线与坐标轴只有两个交点，与题设不符
由知，抛物线与ｙ轴有一个非原点的交点，故抛物线与ｘ轴有两个不同的交点，即方程有两个不同的实根
∴即
∴的取值范围是或--------------------------------6分
（２）设抛物线与ｙ轴的交点为C,与ｘ轴的另一交点为B,
令ｘ＝０得，∴------------4分
令得解得
∴, ------------------------------10分
解法１：∵　∴
∴直线的斜率----------------------12分
∵圆过A、B、C三点，∴圆心M为线段AB与AC的垂直平分线的交点
∵AB的垂直平分线即抛物线的对称轴
∵线段AC的中点为，直线AC的斜率
∴线段AC的垂直平分线方程为---()-----16分
将代入()式解得，即-------------------------18分
∴，若直线也是圆的切线，则
即解得
这与或矛盾----------------------------------------20分
∴直线不可能是圆的切线．-----------------------------------21分
解法２：∵　∴
∴直线的斜率
设圆的方程为
∵圆过,，
∴　解得
　∴圆心
∴，若直线也是圆的切线，则
即解得
这与或矛盾分
∴直线不可能是圆的切线．

15.证明： 因为，故，即数列为递增数列.
（1）（ⅰ）由及可求得，于是当时，，于是，即当时，.
…………………………6分
（ⅱ）由于时，，所以时，.
由可得.
先用数学归纳法证明下面的不等式成立： （）.
Ⅰ）当时，，结论成立.
Ⅱ）假设结论对成立，即，则结合（ⅰ）的结论可得
，即当时结论也成立.
综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式对一切都成立.
因此，当时，，即.
又，，所以当时，有.
………………………10分
（2）由于，而数列为递增数列，故当时，有.
由可得，而，于是
.…………12分
下面先证明：当时，有 （*）
Ⅰ）根据及计算易得，
，而，
故，即当时，结论成立.
Ⅱ）假设结论对成立，即.
因为，而函数在时为增函数，所以
，
即当时结论也成立.
综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式对一切都成立.
于是当时，，故，所以.
…………22分

15