高二数学竞赛试卷.doc

高二数学竞赛试题 2011.5考生注意：用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； 不准使用计算器； 考试用时120分钟，全卷满分150分一、选择题：本大题共5小题，每小题6分，满分30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数满足3，则复数的实部与虚部之和为A B C D2已知，且，则的值为 A2 B1 C D3已知定义在上的函数为奇函数，且函数的周期为5，若，则的值为A5 B1 C0 D4已知函数有两个零点，则有A. B. C. D. 5.一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 11 m的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有A. 个 B. 个 C. 个 D. 个二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分6.设，则 7.以、为焦点的椭圆（）上一动点P，当最大时的正切值为2，则此椭圆离心率e的大小为 。(第7题)CABDD1C1B1A1PQR8.已知ABCDA1B1C1D1是边长为3的正方体，点P、Q、R分别是棱AB、AD、AA1上的点，APAQAR1，则四面体C1PQR的体积为 9.已知等差数列的前项和为，且，则过点和N*)的直线的斜率是_。10.已知定点，点的坐标满足当（为坐标原点）的最小值是时，实数的值是 11.在平面直角坐标系中定义两点之间的交通距离为。若到点的交通距离相等，其中实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长之和为 。班级 座号 姓名 三题 号 一 二 总 成 绩13 14 15 16得 分一、选择题（本题满分36分，每小题6分）题号12345答案二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.67。 8.9 10。 11三、解答题：本大题共4小题，满分84分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤12.（本小题满分20分）已知函数f（x）=2x+alnx（1）若a0，证明：对于任意两个正数x1，x2，总有f()成立；（2）若对任意x1，e，不等式f（x）（a+3）xx2恒成立，求a的取值范围。13. (本小题满分21分)如图所示,等腰的底边,高,点是线段上异于、的动点.点在边上,且.现沿将折起到的位置，使。记,表示四棱锥的体积(1)求的表达式；(2)当为何值时，取得最大值？(3) 当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值.14. (本小题满分21分) 已知抛物线的对称轴为，且与坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为.(1) 求实数的取值范围；(2) 设抛物线与轴的左交点为A，直线是抛物线在点A处的切线，试判断直线是否也是圆的切线？并说明理由. 15. (本小题满分22分) 已知数列满足递推关系式：，.（1）若，证明：（）当时，有；（）当时，有.（2）若，证明：当时，有.高二数学竞赛参考答案DAADD4函数的两个零点，即方程的两根，也就是函数与的图象交点的横坐标，如图易得交点的横坐标分别为 显然，则 ，故选D.5.答: D 解：铺第一列(两块地砖)有 种方法；其次铺第二列设第一列的两格铺了 、两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺 色若铺 色，则有 种铺法；若不铺 色，则有 种方法. 于是第二列上共有 种铺法. 同理， 若前一列铺好，则其后一列都有 种铺法因此，共有 种铺法 故选 D6.8 7. 8.9. 4 10. 2 11. 6.令得，令得 87.解析：当最大时P为椭圆与y轴的交点，的正切值为2，即，则椭圆离心率e为。8.答案：简解：因为C1C面ABCD，所以C1CBD又因为ACBD，所以BD面ACC1，所以AC1BD又PQBD，所以AC1PQ同理AC1QR所以AC1面PQR因为APAQAR1，所以PQQRRP因为AC13，且VAPQR 121，所以VCPQR ()23VAPQR 9.解析：由消去得。直线的斜率为，填410.表示向量在上的射影长，画出可行域，知当P点落在直线上时，取得最小值为，故11.答 。由条件得。当时，无解；当时，无解；当时，无解；当时，线段长为。当时，线段长为。当时，线段长为。当时，无解。当时，无解。当时，无解。综上所述，点的轨迹构成的线段的长之和为。12解：（I）.（5分）因为 所以, ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又， 故，所以，（10分）（）因为对恒成立，故， ，因为,所以，因而 ，（15分）设 因为，当时, ,，所以，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又因为在和处连续 ，所以在时为增函数，所以 （20分）13.（1）又， 平面且，四棱锥的底面积为 ， 8分（2），时，时，在上增，在上减，故在时，取最大值为14分（3）过作交于，则是直线与所成角且是等腰三角形，由（2）知在，所以异面直线与所成角的余弦值为21分14. 解：（）由抛物线的对称轴为知-2分抛物线与坐标轴有三个交点，否则抛物线与坐标轴只有两个交点，与题设不符由知，抛物线与轴有一个非原点的交点，故抛物线与轴有两个不同的交点，即方程有两个不同的实根即的取值范围是或-6分（）设抛物线与轴的交点为C,与轴的另一交点为B,令得，-4分令得解得, -10分解法：直线的斜率-12分圆过A、B、C三点，圆心M为线段AB与AC的垂直平分线的交点AB的垂直平分线即抛物线的对称轴线段AC的中点为，直线AC的斜率线段AC的垂直平分线方程为-()-16分将代入()式解得，即-18分，若直线也是圆的切线，则即解得这与或矛盾-20分直线不可能是圆的切线-21分解法：直线的斜率设圆的方程为圆过,，解得圆心，若直线也是圆的切线，则即解得这与或矛盾分直线不可能是圆的切线15.证明： 因为，故，即数列为递增数列.（1）（）由及可求得，于是当时，于是，即当时，. 6分（）由于时，所以时，.由可得.先用数学归纳法证明下面的不等式成立： （）.）当时，结论成立.）假设结论对成立，即，则结合（）的结论可得，即当时结论也成立.综合），）可知，不等式对一切都成立.因此，当时，即.又，所以当时，有. 10分（2）由于，而数列为递增数列，故当时，有.由可得，而，于是.12分下面先证明：当时，有 （*）根据及计算易得，而，故，即当时，结论成立.）假设结论对成立，即.因为，而函数在时为增函数，所以，即当时结论也成立.综合），）可知，不等式对一切都成立.于是当时，故，所以. 22分15