高二数学竞赛系列四.doc

高二数学竞赛系列四
立 体 几 何
1. (2011全国6) 已知直二面角，点,C为垂足，为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于
(A) (B) (C) (D) 1
2. （2011全国）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 （ ）
(A)7 (B)9 (C)11 (D)13
3. 已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。
4. （2011重庆15）高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为
（A） （B） (C) (D)
5. 如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，
，
（Ⅰ）证明：四点共面；
（Ⅱ）设，求二面角的大小；
故，即与重合

6. 如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知．
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角的大小．
所以二面角的大小为．

7. 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.

8. 如图，在直三棱柱中，平面侧面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.

9. F
C
P
G
E
A
B
图5
D
如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．
（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；
（3）当时，求的面积．

10. （2011江西21）（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依
次排列的四个相互平行的平面 ，使
得（i=1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间
的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体的四个顶点满足：（i=1,2,3,4），求该正四面体的体积.

后续
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
解: 解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，
△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,
所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以
PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.
过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知
平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，
所以，AF=2AB=2=AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.
则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，
PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.
在等腰Rt△PAF中，
在Rt△PAB中，
所以，在Rt△AHG中，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是

解法二: 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），
P（0，0，2）,
（Ⅰ）因为，
平面PAB的一个法向量是，
所以共线.从而BE⊥平面PAB.
又因为平面PBE，
故平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)易知
设是平面PBE的一个法向量，则由得
所以
设是平面PAD的一个法向量，则由得
所以故可取
于是，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是

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