高二数学竞赛班一试讲义.doc

高二数学竞赛班一试讲义第6讲 平面向量与空间向量班级 姓名 一、知识要点：1.叫做在方向上的投影； 叫做在方向上的投影。的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影 的乘积2.向量处理方法：（建系、几何、取基底）3.向量的插点： 4.三点共线5.点是内任一点，则有：点在外时，面积有正负，则等式仍成立6.可以进行合情推理，空间中也有点是四面体内任一点，则有：7.内各种心的向量关系利用第5点结论有：1）是重心： 2）是内心：3）是外心：，另有，4）是垂心：，二、例题精析例1已知平面向量满足，且与的夹角为120， 求的取值范围。例2已知是锐角的外心，若， 且，则= 例3在ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上若ABC的面积为2， 则的最小值是_例4(1)已知是棱长为的正方体内切球的直径，是该正方体表面上一点， 则的最大值为 (2)若满足，且， 则的取值范围是 例5(1)在中，是的中点若， 则 (2)在正中，已知，则与的夹角是_例6已知直线与抛物线交于两点，为的中点，为抛物线上一个动点，若满足，则下列一定成立的是 （ ）A. B. 其中是抛物线过的切线C. D. 例7已知椭圆：的左焦点为，过作动直线与椭圆交于两点，点在椭圆上运动，为坐标原点，若点满足，则称点为“好点”，则椭圆上“好点”的个数有 （ ）（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个三、精选习题1已知非零向量满足，且, 则ABC为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形2已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的 最大值是 （ ） A B C D3已知ABC平面内一点O满足, 则O一定 为ABC的 ( )A外心 B内心 C重心 D垂心4若非零向量满足，则 （ ） 5已知向量，。则的最小值为 （ ）（A） （B） （C） （D）6如图，在直角梯形ABCD中，ABAD，AB/CD，ADCD1，AB3，动点P在BCD内运动(包含边界)，设，则的取值范围是 ( ) A. 1， B. ， C. ， D. 1，7已知向量满足，则的最小值为( )A B C D8设是边上一定点，满足，且对于边上任一点， 恒有。则 （ ）A. B. C. D.9已知向量，,则是（ ）ABC D10在直角三角形中，点是斜边上的一个三等分点，则 11在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上且，则 12在ABC中，若，则 13如图2, , 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且,则的取值范围是_; 当时, 的取值范围是_. 14如上右图所示，O、A、B是平面上的三点，向量a，b点P是线段AB的垂直平分线上任意一点，p ，若|a|=4，|b|=2，则 15在中，设是的内心，若，则 的值为 来源:学_科_网16若等边的边长为，平面内一点M满足，则 17设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于_。18已知ABC中，点是线段（含端点）上的一点，且，则的最小值为 19已知中，点是外心，则_。20设向量满足|=|=1, ,，则的最大值是 21已知向量 a = ( 1, 2)，又点A ( 8, 0), B ( n, t ),C(ksinq, t)，(0 q ).(1) 若a ，且|=|，求向量;(2) 若向量与向量a 共线，当k4时，且tsinq取最大值为4时，求 .高二数学竞赛班一试讲义第6讲 平面向量与空间向量例1【解】方法一：几何，圆周角 表示，表示，表示与的夹角为120故点在图示圆弧（半径为）上运动故方法二：法令，与的夹角为120故例2 同理：联立 得例3【解】ABCPEFD方法一 如图，设PD，BDx，DCy则 h(xy)4 方法二 设PBC中点P，B，C所对的边分别为由题设知， 设 ，则 ，即 此时 的最小值为方法三 如图建立平面直角坐标系，过点P作PD垂直BC于D，则设，例4(1)2(2)） 设，点在以为直径的圆上，设的中点为，则有，则，解不等式得例5(1) (2)例6B提示：。例7C提示：由知四边形为平行四边形，则相互平分，设中点为，有点差法得，即，又，解得 1D 2C 3D 4A 5B 6D 7A 8D 9D 104 11 12 提示：由已知得： 得：5：3：4，由余弦定理得：13, 146 15 12 172 18 19 20. 21.(1)或 （2）， 7