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高二数学竞赛班一试讲义
第6讲 平面向量与空间向量

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一、知识要点：
1.叫做在方向上的投影； 叫做在方向上的投影。
·的几何意义：数量积·等于的长度与在方向上的投影 的乘积
2.向量处理方法：（建系、几何、取基底）
3.向量的插点：
4.三点共线
5.点是内任一点，则有：

点在外时，面积有正负，则等式仍成立
6.可以进行合情推理，空间中也有
点是四面体内任一点，则有：

7.内各种心的向量关系
利用第5点结论有：
1）是重心：
2）是内心：
3）是外心：，
另有，，
4）是垂心：，
二、例题精析
例1．已知平面向量满足，且与的夹角为120°，
求的取值范围。

例2．已知是锐角的外心，，，若，
且，则= ．

例3．在△ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上．若△ABC的面积为2，
则的最小值是_____．

例4．(1)已知是棱长为的正方体内切球的直径，是该正方体表面上一点，
则的最大值为 ．
(2)若满足，，且，
则的取值范围是 ．

例5．(1)在中，，是的中点．若，
则 ．

(2)在正中，已知，则与的夹角是__________

例6．已知直线与抛物线交于两点，为的中点，为抛物线上一个动点，若满足，则下列一定成立的是 （ ）
A. B. 其中是抛物线过的切线
C. D.

例7．已知椭圆：的左焦点为，过作动直线与椭圆交于两点，点在椭圆上运动，为坐标原点，若点满足，则称点为“好点”，则椭圆上“好点”的个数有 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个

三、精选习题
1．已知非零向量满足，且, 则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
2．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的
最大值是 （ ）
A． B． C． D．
3．已知△ABC平面内一点O满足, 则O一定
为△ABC的 ( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
4．若非零向量满足，则 （　 ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．已知向量，，，。则的最小值为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
6．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB//CD，AD＝CD＝1，AB＝3，动点P在△BCD内运动(包含边界)，设，则的取值范围是 ( )
A. [1，] B. [，] C. [，] D. [1，]
7．已知向量满足，，则的最小值为( )
A． B． C． D．
8．设是边上一定点，满足，且对于边上任一点，
恒有。则 （ ）
A. B. C. D.
9．已知向量，，,则是（ ）
A． B． C． D．
10．在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则
11．在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上且
，则 ．
12．在△ABC中，若，则

13．如图2, , 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内 (不含
边界)运动, 且,则的取值范围是__________; 当时, 的
取值范围是__________.

14．如上右图所示，O、A、B是平面上的三点，向量a，b点P是线段AB的垂直平分线上任意一点，p ，若|a|=4，|b|=2，则
15．在△中，，．设是△的内心，若，则
的值为 ．[来源:学_科_网]
16．若等边的边长为，平面内一点M满足，
则 ．
17．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于________。
18．已知△ABC中，，，点是线段（含端点）上的一点，且，则的最小值为
19．已知中，点是外心，，，则________。
20．设向量满足||=||=1, ,，则的最大值是
21．已知向量 a = (– 1, 2)，又点A ( 8, 0), B ( n, t ),C(ksinq, t)，(0 £ q £ ).
(1) 若^a ，且||=||，求向量;
(2) 若向量与向量a 共线，当k>4时，且tsinq取最大值为4时，求 ×.

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第6讲 平面向量与空间向量
例1．【解】方法一：几何，圆周角
表示，表示，表示
与的夹角为120°

故点在图示圆弧（半径为）上运动
故
方法二：法
令，与的夹角为120°

故
例2．

同理：
联立 得
例3．【解】A
B
C
P
E
F
D
方法一 如图，设PD＝，BD＝x，DC＝y．则 h(x＋y)＝4．
∴

．
方法二 设△PBC中点P，B，C所对的边分别为．
由题设知，
∴ ．
设 ，则 ，即 ．
此时 的最小值为．
方法三 如图建立平面直角坐标系，过点P作PD垂直BC于D，则设，，．

例4．(1)2
(2)） 设，点在以为直径的圆上，设的中点为，则有，则
，解不等式得
例5．(1) (2)
例6．B提示：
。
例7．C提示：由知四边形为平行四边形，则相互平分，设中点为，有点差法得，即，
又，解得
1．D 2．C 3．D 4．A 5．B 6．D 7．A 8．D 9．D 10．4 11．
12． 提示：由已知得：
得：：：＝5：3：4，由余弦定理得：
13．, 14．6 15． 12．
17．2 18． 19． 20.
21.(1)或
（2），
，

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