广州市高二数学竞赛试卷含答案及解析.doc

2008年广州市高二数学竞赛试卷
考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；
⒉不准使用计算器；
⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．
一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．
1．若集合有4个子集，则实数的取值范围是（ ）
A． B．R
C．R D．且R
2. 已知函数 则等于( )
A． B． C． D．
3．在空间直角坐标系中，点的坐标分别为、、、，则三棱锥的体积是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．10
4. 已知直线与圆R有交点, 则
的最小值是 ( )
A． B． C． D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．
5. △的三个内角所对的边分别为, 若,
则 .
6．已知直角梯形的顶点坐标分别为，
则实数的值是 .
7. 在数列中，＝2，N，设为数列的前n项和，则
的值为 .
8．已知三点在同一条直线上，为直线外一点，若0，
R，则 .
9．一个非负整数的有序数对，如果在做的加法时不用进位，则称为“奥运数对”，称为“奥运数对”的和，则和为的“奥运数对”的个数有___________个.
10.如图1所示, 函数的图象是圆心在点,半径为1的两段
圆弧, 则不等式的解集是 .

三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程． 图1
11．（本小题满分15分）
已知函数(R，)的部分图象如图2所示．
(1) 求的值；
（2）若关于的方程在内有解,求实数m的取值范围．

图2

12．（本小题满分15分）
如图3所示, 在三棱柱中, 底面，
.
（1）若点分别为棱的中点，求证：平面；
(2) 请根据下列要求设计切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一条侧棱的平面去截此三棱柱,切开后的两个几何体再拼接成一个长方体. 简单地写出一种切割和拼接方法，

并写出拼接后的长方体的表面积（不必计算过程）.

图3

13．（本小题满分20分）
已知点，是椭圆：上不同的两点，线段的中点为.
（1）求直线的方程；
（2）若线段的垂直平分线与椭圆交于点、，试问四点、、、是否在同一个圆
上，若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.

14．（本小题满分20分）
已知在数列中，，(ÎR,ÎR 且¹0,N).
（1）若数列是等比数列，求与满足的条件；
（2）当，时，一个质点在平面直角坐标系内运动，从坐标原点出发，第1次向右运动，第2次向上运动，第3次向左运动，第4次向下运动，以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，设第次运动的位移是，第次运动后，质点到达点,求数列的前项和.

15．（本小题满分20分）
已知函数R，且.
（1）当时，若函数存在单调递减区间，求的取值范围；
（2）当且时，讨论函数的零点个数.

2008年广州市高二数学竞赛参考答案
一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．
1．D 2．C 3．A 4．B

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．
5． 6． 7． 8．0 9．27 10．
三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．
11．（本小题满分15分）
解：(1) 由图象可知函数的周期为()=，
∴．
函数的图象过点，
∴且.
∴
解得：.
∴ .
（2）由（1）得.
当时，，得.
令，则.
故关于的方程在内有解等价于关于的方程
在上有解.
由，得.
，
∴.
∴实数m的取值范围是.
12．（本小题满分15分）
（1）证法一：以点为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，依题意得、
.
∴ ， ， .

∴.
∴.
平面，平面，.
∴平面.
证法二：连结，
底面，平面，
∴.
，分别为棱的中点，
∴.
，
∴Rt△ Rt△.
∴.
,
∴.
∴.

∴
，
∴平面.
∴.
，
∴平面.
平面，
∴.
同理可证.
，
∴平面.

（2）切割拼接方法一：如图甲所示，分别以的中点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为长方形如图①所示，），此时所拼接成的长方体的表面积为16.

图甲 图①

切割拼接方法二：如图乙所示，设的中点分别为，以四点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为正方形），此时所拼接成的长方体的表面积为.

图乙 图②
13．（本小题满分20分）
解一：（1）点，是椭圆上不同的两点，
∴，.
以上两式相减得：，
即，，
∵线段的中点为，
∴.
∴，
当，由上式知， 则重合，与已知矛盾，因此，
∴.
∴直线的方程为，即.
由 消去，得，解得或.
∴所求直线的方程为.
解二: 当直线的不存在时, 的中点在轴上, 不符合题意.
故可设直线的方程为, .
由 消去，得 (*)
.
的中点为,
.
.
解得.
此时方程(*)为,其判别式.
∴所求直线的方程为.
（2）由于直线的方程为，
则线段的垂直平分线的方程为，即.
由 得，
由消去得，设
则.
∴线段的中点的横坐标为，纵坐标.
∴.
∴.
∵，
，
∴四点、、、在同一个圆上，此圆的圆心为点，半径为，
其方程为.
14．（本小题满分20分）
解:（1），，¹0，
① 当时，，显然是等比数列；
② 当时，.
数列是等比数列，
∴，即，化简得.
此时有，得，
由 ，¹0, 得（N)，则数列是等比数列.
综上，与满足的条件为或（）.
（2）当，时，
∵，
∴，
依题意得：，，…，
∴.
∴.
∴.
∴

.
令 ①
②
①-②得
.
∴.
∴.
15．（本小题满分20分）
解：（1）当时，函数，其定义域是，
∴.
函数存在单调递减区间，
∴在上有无穷多个解.
∴关于的不等式在上有无穷多个解.
① 当时，函数的图象为开口向上的抛物线，
关于的不等式在上总有无穷多个解.
② 当时，函数的图象为开口向下的抛物线，其对称轴为
.要使关于的不等式在上有无穷多个解.
必须，
解得，此时.
综上所述，的取值范围为.
另解：分离系数：不等式在上有无穷多个解，
则关于的不等式在上有无穷多个解，
∴，即，而.
∴的取值范围为.
（2）当时，函数，其定义域是，
∴.
令，得，即，
，
，，则，
∴
当时，；当1时，.
∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
∴当时，函数取得最大值，其值为.
① 当时，，若, 则, 即.
此时，函数与轴只有一个交点，故函数只有一个零点；
② 当时，，又,
,
函数与轴有两个交点，故函数有两个零点；
③ 当时，，函数与轴没有交点，故函数没有零点.