2013高三数学二轮复习专题—数列1.doc

2013高三数学二轮复习专题—数列
【高频考点解读】
一、等差数列的性质
1.等差数列的定义：（d为常数）（）；
2．等差数列通项公式：
推广： ．
3．等差中项
（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或
（2）数列是等差数列
4．等差数列的前n项和公式：

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项
（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若或(常数) 是等差数列．
（2）数列是等差数列．
⑶ 数列是等差数列（其中是常数）。
（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。
6．等差数列的证明方法
定义法：若或(常数) 是等差数列．
7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项
②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；
③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）
8..等差数列的性质：
（1）当公差时，
等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；
前和是关于的二次函数且常数项为0.
（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
（3）当时,则有，特别地，当时，则有.
（4）若、为等差数列，则都为等差数列
(5) 若{}是等差数列，则 ，…也成等差数列
（6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列
（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和
1.当项数为偶数时，

2、当项数为奇数时，则

（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．
（8）、的前和分别为、，且，
则.
（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和
(10)求的最值
法一：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和
即当 由可得达到最大值时的值．
（2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。
即 当 由可得达到最小值时的值．
或求中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为
二、等比数列的性质
1. 等比数列的定义：，称为公比
2. 通项公式：
， 推广：，
3. 等比中项
（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项．即：或
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列是等比数列
4. 等比数列的前n项和公式：
(1) 当时，
(2) 当时，（为常数）
5. 等比数列的判定方法
（1）用定义：对任意的n,都有为等比数列
（2） 等比中项：（0）为等比数列
（3） 通项公式：为等比数列
（4） 前n项和公式：为等比数列
6. 等比数列的证明方法
依据定义：若或为等比数列
7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；
如奇数个数成等差，可设为…，…（公比为，中间项用表示）；
8. 等比数列的性质
(1) 当时
①等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比
②前n项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比
(2) 对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),则.特别的,当n+m=2k时,得
注：
(4) 列,为等比数列,则数列,,, (k为非零常数) 均为等比数列.
(5) 数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列
(6) 如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列
(7) 若为等比数列,则数列，，，成等比数列
(8) 若为等比数列,则数列, , 成等比数列
(9) ①当时， ②当时，
,
③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;
④当q<0时,该数列为摆动数列.
(10)在等比数列中, 当项数为2n (n)时,,.
(11)若是公比为q的等比数列,则
三、递推数列
类型1
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列满足，，求。
类型2
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列满足，，求。
类型3 （其中p，q均为常数，）。
例:已知数列中，，，求.
类型4 （其中p，q均为常数，）。 （,其中p，q, r均为常数） 。
例:已知数列中，,，求。
类型5 递推公式为与的关系式。(或)
解法：这种类型一般利用
例：已知数列前n项和.
（1）求与的关系；（2）求通项公式.
类型6递推关系形如
这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为类型2的解法.
例、已知数列满足,求.
【高频强化】
考点一：数列的对称性原理
例1.等差数列{an}前四项和为40，末四项和为72，所有项和为140，则该数列共有（ ）
A.9项 B.12项 C.10项 D.13项
例2.在正项等比数列{an}中，a1、a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a40·a50·a60的值为( )
A.32 B.64 C.±64 D.256
例3.已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则 （ ）
（A）1 （B） （C） （D）
考点二；函数法
例1.已知数列{an}的通项为an=26-2n,若要使此数列的前n项之和Sn最大,则n的值是( )
A.12 B.13 C.12或13 D.14
例2.已知{an}是递增数列，对任意的n∈N*，都有an＝n2＋λn恒成立，则λ的取值范围是 (　　)
A．(－，＋∞) B．(0，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－3，＋∞)
例3.数列{an}的前n项和Sn=3n+a,要使{an}是等比数列，则a的值为（ ）
A.0 B.1 C.-1 D.2
例4.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}前n项和Sn的取值范围是（ ）
A.［，2) B.［，2］ C.［，1) D.［，1］
例5.设函数=+的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设的前项和为，求。

考点三：周期数列
例1.若数列{an}满足an+1=若a1=,则a2 006的值为( )
A. B. C. D.
例2：数列{an}的通项公式，其前n项和为Sn，则S2012等于( )
A.1006 B.2012 C.503 D.0
考点四：数列分段和原理
例1：等比数列前项和为54，前项和为60，则前项和为 ( )
（A）66 （B）64 （C） （D）
例2：在等差数列{an}中，a1+a2+a3=3,a28+a29+a30=165，则此数列前30项的和等于（ ）
A.810 B.840 C.870 D.900
考点五：数列累加法
例1：在数列中，， ，则（ ）
A． B． C． D．
例2.：在数列中,
考点六：定义法
例1.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,又数列{}是等差数列,则a11等于( )
A.0 B. C. D.-1
例2.数列中，…是首项为1,公比为的等比数列，则等于( )
（A）（1－） （B）（1－） （C）（1－） （D）（1－）
例3：设数列满足且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，记，证明：.

例4：已知公差不为0的等差数列的首项为，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）对，试比较与的大小．

考点七：递推法：
例1.数列的前项为，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.

例2. 设数列的前项和为 已知
（I）设，证明数列是等比数列
（II）求数列的通项公式。

例3：已知数列满足， .
令，证明：是等比数列；
(Ⅱ)求的通项公式。

考点八：构造法+错位相减
例1.在数列中，，．
（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．

例2.在数列中，
（I）设，求数列的通项公式
（II）求数列的前项和

考点九：基本量法+裂项相消
例1.数列是首项为的等比数列，为前项和，且成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，设为数列的前项和，求证：.

例2：数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.
（1）求；
（2）求证.

考点十：分组求和法
例1：已知是各项均为正数的等比数列，且
，
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。