2023年新知杯上海市初中数学竞赛试题.docx

2023年新知杯上海市初中数学竞赛试题
一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）
1、对于任意实数a,b，定义,a∗b=a(a+b) +b, 已知a∗2.5=28.5，则实数a的值是 。
2、在三角形ABC中，，其中a,b是大于1的整数，则b-a= 。
3、一个平行四边形可以被提成92个边长为1的正三角形，它的周长也许是 。
4、已知关于x的方程有实根，并且所有实根的乘积为−2，则所有实根的平方和为 。
5、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为 。
6、设a，b是方程的两个根，c，d是方程的两个根，则(a+ c)( b + c)( a − d)( b − d)的值 。
7、在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2)，函数y=kx−1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不涉及Q），则实数k的取值范围是 。
8、方程xyz=2023的所有整数解有 组。
9、如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC延长线交于E ，则∠AEB= 。

10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD= 90°，AB=BC=10。点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和是 。
二、（本题15分）如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D在CA上，使得CD=1, AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。

三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数，其中数字c可以是0。

四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2023的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。

五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,与都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。
①试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；
②证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；
③证明：若(a，b)是和谐的，且是有理数，则a,b都是有理数；