2023年新知杯上海市初中数学竞赛试题.docx

2023年新知杯上海市初中数学竞赛试题一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数a,b，定义,ab=a(a+b) +b, 已知a2.5=28.5，则实数a的值是 。2、在三角形ABC中，其中a,b是大于1的整数，则b-a= 。3、一个平行四边形可以被提成92个边长为1的正三角形，它的周长也许是 。4、已知关于x的方程有实根，并且所有实根的乘积为2，则所有实根的平方和为 。5、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PEBC，PFCA，则线段EF长的最小值为 。6、设a，b是方程的两个根，c，d是方程的两个根，则(a+ c)( b + c)( a d)( b d)的值 。7、在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2)，函数y=kx1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不涉及Q），则实数k的取值范围是 。8、方程xyz=2023的所有整数解有 组。9、如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，ABC=78，BCD=162。设AD,BC延长线交于E ，则AEB= 。 10、如图，在直角梯形ABCD中，ABC=BCD= 90，AB=BC=10。点M在BC上，使得ADM是正三角形，则ABM与DCM的面积和是 。二、（本题15分）如图，ABC 中ACB =90，点D在CA上，使得CD=1, AD=3，并且BDC=3BAC，求BC的长。三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数，其中数字c可以是0。四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2023的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,与都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；证明：若(a，b)是和谐的，且是有理数，则a,b都是有理数；