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数学试题
卷一
一、选择题(本大题20个小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上)
1. 已知集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：根据交集的定义求解.
详解：因为，，所以
选B.
点睛：集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
2. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析：根据偶次根式下被开方数非负以及分母不为零列方程组，解方程组得定义域.
详解：因为，所以
所以定义域为，
选D.
点睛：求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为零，对数真数大于零，实际意义等.
3. 奇函数的局部图像如图所示，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根据奇函数性质将，转化到，,再根据图像比较大小得结果.
详解：因为奇函数，所以,
因为>0>，所以,即，
选A.
点睛：奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．
4. 不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根据对数函数单调性化简不等式，再根据绝对值定义解不等式.
详解：因为，所以
所以
因此，
选A.
点睛：解对数不等式，不仅要注意单调性，而且要注意真数大于零的限制条件.
5. 在数列中， ，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：由递推关系依次得.
详解：因为，所以,
选C.
点睛：数列递推关系式也是数列一种表示方法，可以按顺序求出所求的项.
6. 在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析：先根据图形得A,B坐标，再写出向量AB.
详解：因为A(2,2),B(1,1)，所以
选D.
点睛：向量坐标表示：向量平行：，向量垂直：，向量加减：
7. 的圆心在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
分析：先根据圆方程得圆心坐标，再根据坐标确定象限.
详解：因为的圆心为(-1,1)，所以圆心在第二象限,
选B.
点睛:圆的标准方程中圆心和半径；圆的一般方程中圆心和半径.
8. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
分析：根据指数函数单调性可得两者关系.
详解：因为为单调递增函数，所以
因此“”是“”的充要条件，
选C.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
9. 关于直线，下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角为 B. 向量是直线的一个方向向量
C. 直线经过点 D. 向量是直线的一个法向量
【答案】B
【解析】
分析：先根据方程得斜率，再根据斜率得倾斜角以及方法向量.
详解：因为直线，所以斜率倾斜角为，一个方向向量为，因此也是直线的一个方向向量，
选B.
点睛：直线斜率,倾斜角为，一个方向向量为.
10. 景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是（ ）
A. 6 B. 10 C. 12 D. 20
【答案】C
【解析】
分析：根据乘法原理得不同走法的种数.
详解：先确定从那一面上，有两种选择，再选择上山与下山道路，可得不同走法的种数是
因此选C.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
11. 在平面直角坐标系中，关于的不等式 表示的区域(阴影部分)可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析：根据A,B符号讨论不等式 表示的区域，再对照选择.
详解：当时，所以不等式 表示的区域直线上方部分且含坐标原点，即B；当时，所以不等式 表示的区域直线方部分且不含坐标原点；当时，所以不等式 表示的区域直线上方部分且不含坐标原点；当时，所以不等式 表示的区域直线方部分且含坐标原点；选B.
点睛：讨论不等式 表示的区域，一般对B的正负进行讨论.
12. 已知两个非零向量与的夹角为锐角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根据向量数量积可得结果.
详解：因为，两个非零向量与的夹角为锐角，所以,
选A.
点睛：求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.
13. 若坐标原点到直线的距离等于，则角的取值集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析：先根据点到直线距离公式得角关系式，再解三角方程得结果.
详解：因为坐标原点到直线的距离为，所以所以，即，选A.
点睛：由 求最值，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足.
14. 关于的方程，表示的图形不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析：先化方程为标准方程形式，再根据标准方程几何条件确定可能图像.
详解：因为，所以
所以当时，表示A; 当时，表示B; 当时，表示C;
选D.
点睛：对于，有当时，为圆；当时，为椭圆；当时，为双曲线.
15. 在的展开式中，所有项的系数之和等于（ ）
A. 32 B. -32 C. 1 D. -1
【答案】D
【解析】
分析：令x=y=1，则得所有项的系数之和.
详解：令x=y=1，则得所有项的系数之和为，
选D.
点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.
16. 设命题，命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：先确定p,q真假，再根据或且非判断复合命题真假.
详解：因为命题为真，命题为真，所以为真， 、为假，
选A.
点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.
17. 已知抛物线的焦点为，准线为，该抛物线上的点到轴的距离为5，且，则焦点到准线的距离是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
分析：根据条件以及抛物线定义得|a|，即可得焦点到准线的距离.
详解：因为，点到轴的距离为5，所以,
因此焦点到准线的距离是，
选C.
点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
18. 某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：先求三辆车皆不相邻的概率，再根据对立事件概率关系求结果.
详解：因为三辆车皆不相邻的情况有，所以三辆车皆不相邻的概率为,
因此至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是
选C.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
19. 己知矩形，，把这个矩形分别以所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为，则与的比值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：根据圆柱侧面积公式分别求，再求比值得结果.
详解：设，所以，
选B.
点睛：旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用，多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
20. 若由函数的图像变换得到的图像，则可以通过以下两个步骤完成:第一步，把图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变:第二步，可以把所得图像沿轴（ ）
A. 向右移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 同左平移个单位
【答案】A
【解析】
分析：根据图像平移“左正右负”以及平移量为确定结果.
详解：因为，所以所得图像沿轴向右平移个单位,
选A.
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.

卷二
二、填空题(本大题5个小题，每小题4分，共20分。请将答案填在答题卡相应题号的横线上)
21. 已知函数，则的值等于__________．
【答案】
【解析】
分析：根据自变量对应解析式代入求值,再根据求得函数值对应解析式代入求结果.
详解：因为，所以.
点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.
22. 已知，若，则等于__________．
【答案】
【解析】
分析：根据平方关系得，再根据范围取负值.
详解：因为，所以
因为，所以
点睛：三角函数求值的三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
23. 如图所示，已知正方体， 分别是上不重合的两个动点，给山下列四个结论：

①； ②平面平面；
③； ④平面平面.
其中，正确结论的序号是__________．
【答案】③④
【解析】
分析：取E,F特殊位置可否定①②，根据线面垂直关系可得③④正确.
详解：当E=D1，F=A1时平面平面，所以①②错；
因为，在内，所以；
因为平面，所以平面平面.因此③④正确.
点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
24. 已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点的坐标是，若点在椭圆上，则椭圆的离心率等于__________．
【答案】
【解析】
分析：根据椭圆几何条件得b=4,c=3,解得a,以及离心率.
详解：因为b=4,c=3，所以a=5,e=.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
25. 在一批棉花中随机抽测了500根棉花纤维的长度(精确到)作为样本，并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，样本中棉花红维的长度大于的频数是__________．

【答案】
【解析】
分析：根据频率分布直方图得长度大于的频率，再根据频数等于总数与频率的乘积得结果.
详解：因为长度大于的频率为，所以长度大于的频数是.
点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.
三、解答题(本大题5个小题，共40分)
26. 已知函数，其中为常数.
(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围:
(2)若，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
分析：(1)根据二次函数性质得对称轴不在区间 内，解不等式可得实数的取值范围，(2) 根据二次函数图像得得在x轴上方，即，解得实数的取值范围.
详解：(1)因为开口向上，
所以该函数的对称轴是
因此
解得
所以的取值范围是.
(2)因为恒成立，
所以
整理得
解得
因此， 的取值范围是.
点睛：研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆（A⊆）即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．
27. 己知在等比数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
分析：(1)根据条件列关于首项与公比的方程组，解得首项与公比后代入等比数列通项公式即可，(2)利用分组求和法，根据等差数列以及等比数列求和公式即得结果.
详解：(1)由等比数列的定义可知，公比
解得
由得
因此，所求等比数列的通项公式为
(2)由上题可知，
因为是等差数列，所以设
的前项和公式
的前项和公式
所以
点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型　（如 ）
28. 如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面，平面，且，.

(1)求证: 面；
(2)求棱锥的体积.
【答案】（1）见解析（2）.
【解析】
分析：(1) 取中点，根据平几知识得四边形为矩形，即得，再根据线面平行判定定理得结论， (2)先证AD垂直平面ABNM，再根据等体积法以及锥体体积公式得结果.
详解：
(1) 平面，取中点，
连接
平面，，
四边形为矩形
平面，
，
四边形为平行四边形

平面
平面
(2)以平面为底，为高
，

点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
29. 如下图所示，在中，，在上，且.求线段的长.

【答案】
【解析】
分析：先根据余弦定理得AC，AB,再根据余弦定理求角B,由角平分线性质定理得PB，最后根据余弦定理求AP.
详解：
由余弦定理可知

，
由余弦定理可知

由正弦定理可知

所以
因此
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
30. 双曲线的左、右焦点分别是，抛物线的焦点与点重合，点是抛物线与双曲线的一个交点，如图所示.

(1)求双曲线及抛物线的标准方程；
(2)设直线与双曲线的过一、三象限的渐近线平行，且交抛物线于两点，交双曲线于点，若点是线段的中点，求直线的方程.
【答案】（1），（2）
【解析】
分析：(1)先根据M坐标求p,得焦点坐标，再将M坐标代入双曲线方程，联立方程组解得a,b，(2)先求渐近线方程，设直线方程，分别与抛物线方程、双曲线方程联立方程组，利用韦达定理以及中点坐标公式列方程，解得直线的方程.
详解：
(1) 代入得

解得
因为焦点为
所以，双曲线的焦点在轴上
将代入
所以或 (舍去)
所以
所以她物线的标准方程为
曲线的标准方程为
(2)渐近线

设直线，

别消去得

将代入得
，解得或，经验证，不合题意，故舍去.
所以
点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.