河南省初中数学竞赛预赛试题及答案.doc

2014年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（竞赛时间：2014年3月2日上午9:00-11:00）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则的值为【 】（A）2013 （B）2014 （C）2015 （D）0【答】D 解：最大的负整数是1，=1；绝对值最小的有理数是0，=0；倒数等于它本身的自然数是1，=1.=0.2. 已知实数满足则代数式的值是【 】（A） （B）3 （C） （D）7【答】A解：两式相减得3如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1中的线段MN在图2中的对应线段是【 】（A） （B） （C） （D） （第3题图） 【答】C解：将图1中的平面图折成正方体，MN和线段c重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，AMN和ABM所在的面为组合面，则AMN和ABM所在的面为两个相邻的组合面，比较图2，首先确定B点，所以线段d与AM重合，MN与线段c重合.4. 已知二次函数的图象如图所示，则下列7个代数式，中，其值为正的式子的个数为【 】（第4题图）（第5题图）（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）4个以上 【答】C解：由图象可得：，.抛物线与轴有两个交点，.当=1时，即.当=时，即.从图象可得，抛物线对称轴在直线=1的左边，即，.因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个.5. 如图，RtOAB的顶点O与坐标原点重合，AOB=90，AO=2BO，当A点在反比例函数 （x0）的图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为【 】 （A） （x0） （B）（x0） （C） （x0） （D）（x0）【答】B解：如图，分别过点分别做轴的垂线，那么，则，故.6如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【 】（A）1 （B）2 （C）3 （D）6【答】B解：设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形，G为PS的中点, 即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，所以G的运行轨迹为CSD的中位线,CD=ABACBD=611=4，点G移动的路径长为=2.二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7已知，化简得 .【答】解：， 原式=.8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为 . 【答】解：设口袋中蓝色玻璃球有个，依题意，得，即=10，所以P（摸出一个红色玻璃球）=.9. 若，则= .【答】8解：，.则，即.10如图，在RtOAB中，AOB=30，AB=2，将RtOAB绕O点顺时针旋转90得到RtOCD，则AB扫过的面积为 .（第10题图）【答】解：RtOAB中，AOB=30，AB=2， AO=CO=，BO=DO=4，阴影部分面积= =.11如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在BCD的平分线上时，CA1= .【答】 解：过A1作A1MBC，垂足为M，设CM=A1M=x，则BM=4x，在RtA1BM中，=，x =A1M=，在等腰RtA1CM中，C A1=.12已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若m是关于x的方程（xa）（xb）（xc）（xd）=2014中大于a、b、c、d的一个整数根，则m的值为 .【答】20解：（ma）（mb）（mc）（md）=2014，且a、b、c、d是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，（ma）、（mb）、（mc）、（md）是四个不同的正整数. 2014=121953，（ma）+（mb）+（mc）+（md）=1+2+19+53=75.又a+b+c+d =5，m =20.三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，则有，.易知0x69，0y49，0z34, 4分，即.x，y，z均为正整数，0，即0z14z只能取14，9和4. 8分当z为14时， =2，=28. .当z为9时， =26，=18. .当z为4时， =50，=8. .综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支. 14分14. 如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE=6. （1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式； （2）若AE=2EB. 求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的O的半径长； 圆心在直线BC上，且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.）14、解：（1）在Rt中，5分（2）.7分若与直线DE、AB都相切，且圆心在AB的左侧，过点作于，则可设. 解得10分若与直线DE、AB都相切，且圆心在AB的右侧，过点作于，则可设解得即满足条件的圆的半径为或6.13分6个.16分15. 如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，ABOC，O为坐标原点，OA = AB =BC，AOC=60，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点. （1）连接PA、PE，求证：PA=PE； （2）连接PC，若PC+PE=，试求AB的最大值；（3）在（2）在条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为（0，1），点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当MNC为钝角三角形时，求m的范围.解：（1）证明：如图1，连接AE.5分 (2)PC+PE=，PC+PA=.显然有OB=ACPC+PA=.7分在RtBOC中,设AB=OA=BC=x，则OC=2x，OB=，2.即AB的最大值为2. 10分 (3) 当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4. 分三种情况讨论：当N点在OA上时，如图2，若CNMN时，此时线段OA上N点下方的点（不包括N、O）均满足MNC为钝角三角形.过N作NFx轴，垂足为F，A点坐标为（1，），可设N点坐标为（，），则DF=am，NF=，FC=4a. OMDFNDFCN， .解得，即当0时，MNC为钝角三角形；14分当N点在AB上时，不能满足MNC为钝角三角形；15分当N点在BC上时，如图3，若CNMN时，此时BC上N点下方的点（不包括N、C）均满足MNC为钝角三角形.当4时，MNC为钝角三角形.综上所述，当0或4时，MNC为钝角三角形. 18分