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第三章 正弦交流电路
3.1 两同频率正弦电压，，求出它们有效值和相位差。
解：将两正弦电压写成原则形式
，
其有效值为
，
3.2 已知相量，试写出它们极坐标表达式。
解：
3.3 已知两电流 ,若，求i并画出相图。
解：，两电流幅值相量为
，
总电流幅值相量为
相量图如右图所示。
3.4 某二端元件，已知其两端电压相量为，电流相量为，f=50HZ，试拟定元件种类，并拟定参数值。
解：元件阻抗为
元件是电感，，
3.5 有一10μF电容，其端电压为，求流过电容电流i无功功率Q和平均储能WC，画出电压、电流相量图。
解：，
电流超前电压90°，相量图如右图所示。
QC=-UI=-220×0.69=-152Var
3.6 一线圈接在120V直流电源上，流过电流为20A，若接在220V，50HZ交流电源上，流过电流为22A，求线圈电阻R和电感L。
解：线圈可看作是电感L与电阻R串联，对直流电，电感感抗等于0，故电阻为
通以50Hz交流电时，电路相量模型如右图所示
3.7 在题3.7图所示电路中，电流表A1和A2读数分别为I1=3A，I2=4A，
（1）设Z1=R，Z2=-jXC，则电流表A0读数为多少？
（2）设Z1=R，则Z2为什么种元件、取何值时，才干使A0读数最大？最大值是多少？
（3）设Z1=jXL，则Z2为什么种元件时，才干使A0读数为最小？最小值是多少？
解：Z1、Z2并联，其上电压相似
（1）由于Z1是电阻，Z2是电容，因此Z1与Z2中电流相位相差90°，故总电流为，A0读数为5A。
（2）Z1、Z2中电流同相时，总电流最大，因而，Z2为电阻R2时，A0读数最大，最大电流是7A，且满足RI1=R2I2，因而
（3）Z1、Z2中电流反相时，总电流最小，现Z1为电感，则Z2为容抗为XC电容时，A0读数最小，最小电流是1A，且满足3XL=4XC，因而
3.8 在题3.8图所示电路中，I1=5A，I2=5A，U=220V，R =XL，求XC、XL、R和I。
解：由于R=XL，故滞后，各电压电流相量图如图所示。由于I1=I2sin45º,因此I1、I2和I构成直角三角形。与同相，且I=I1=5A。
，
3.9 在题3.9图所示电路中，已知R1=R2=10Ω，L=31.8mH，C=318μF，f=50HZ,U=10V ，求各支路电流、总电流及电容电压。
解：XL=ωL=314×31.8×10-3=10Ω，
电路总阻抗
Z=（R1+jXL）||（R2-jXC）
=
设，则
，
3.10 阻抗Z1=1+jΩ，Z2=3-jΩ并联后与Z3=1-j0.5Ω串联。求整个电路等效阻抗和等效导纳。若接在电源上，求各支路电流，并画出相量图。
解：等效阻抗
等效导纳
接上电源后
电压、电流相量图如图所示。
3.11 在题3.11图所示移相电路中，若C=0.318μF，输入电压为，欲使输出电压超前输入电压，求R值并求出。
解：
由分压公式得
欲使超前，复数R-j10000辐角应为-30°，即
3.12 已知阻抗Z1=2+j3Ω和Z2=4+j5Ω相串联，求等效串联组合电路和等效并联组合电路，拟定各元件值。设ω=10rad/s。
解：Z=Z1+Z2=6+j8Ω，等效串联组合电路参数为
R=6Ω，X=8Ω
电抗元件为电感，
等效并联组合电路参数
，
，
电抗元件为电感，
3.13 在题3.13图所示电路中，U=20V，I1=I2=2A，u与i 同相， 求I、R、XC和XL。
解：与相位相差90°，故，由I1=I2得，超前45°，由于与同相，而垂直，因此垂直，又 =+，因此、、构成直角三角形，相量图如图所示。
，，
，
3.14 用电源等效变换办法求题3.14图所示电路中，已知。
解：等效电路如图所示
3.15 求题3.15图所示电路戴维宁等效电路和诺顿等效电路。
解：（a）由弥尔曼定理可得
（b）ab端开路时，，故
用短路电流法求等效阻抗，电路如图所示，对大回路有：
，
，，
3.16 求题3.16图所示电桥平衡条件。
解：由电桥平衡条件公式得
由复数运算规则得
，即
3.17 题3.17图所示电路中，，，用叠加定理求。
解：单独作用时
单独作用时，由分流公式得
3.18 题3.18图所示电路中，IS=10A，ω=5000rad/s，R1=R2=10Ω,C=10μF，μ=0.5，求电阻R2中电流I。
解：设，则
对右边一种网孔，有
3.19 题3.19图所示电路中，U=120V，求（1）各支路电流及总电流；（2）电路平均功率、无功功率、视在功率和功率因数。
解：设，则
（1） ，
，
电流超前电压36.9º，电路呈容性。
（2）
3.20 题3.20图所示电路中，,,C=20μF，求总电路和二端电路N有功功率、无功功率和功率因素。
解：，，
由于电容有功功率等于0，无功功率
，
故
，
3.21 三个负载并接在220V正弦电源上，其功率和电流分别为P1=4.4kW，I1=44.7A(感性),P2=8.8kW，I2=50A(感性)，P3=6.6kW，I=66A(容性)。求各负载功率因数、整个电路功率因数及电源输出电流。
解：设各负载视在功率为S1、S2和S3，则
，
，
负载为容性，故
各负载无功功率为
，
，
依照有功功率守恒和无功功率守恒，得：
，
总电流即电源电流为
3.22 一额定容量为10kAV，额定电压为220V，额定频率为50HZ交流电源，如向功率为8kW、功率因数数为0.6感性负载供电，电源电流与否超过额定电流值？如要将功率因数提高到0.95，需并联多大电容？并联电容后，电源电流是多少？还可以接多少只220V，40W灯泡？
解：电源额定电流为，负载电流为，超过电源额定电流。
将负载功率因数从0.6提高到0.95，需并联电容容量为
并联电容后，电源电流为
设并联电容后还可接入n只40W灯泡，接入n只灯泡后功率因数角为，则
有功功率 8000+40n≤104cos
无功功率 8000sin(arccos0.95)=104sin
解得 =14.5°，n≤42.07
故还可接42只灯泡。
3.23 有一RLC串联电路，与10V、50HZ正弦交流电源相连接。已知R=5Ω，L=0.2H，电容C可调。今调节电容，使电路产生谐振。求（1）产生谐振时电容值。（2）电路品质因数。（3）谐振时电容电压。
解：（1）由
（2）
（3）
3.24 一种电感为0.25mH，电阻为13.7Ω线圈与85pF电容并联，求该并联电路谐振频率、品质因数及谐振时阻抗。
解：由于，故谐振频率为
品质因数
谐振时，等效电导为
等效阻抗为
3.25 题3.25图电路中，，电源电压为110V，频率为50HZ，与同相。求：（1）各支路电流及电路平均功率，画出相量图。（2）电容容量C。
解：由于Z阻抗角为45°，故滞后45°，各支路电流及电压相量图如图所示。
（1），
，
（2）由得：
3.26 写出题3.26图所示电路两端伏安关系式。
解：（a）图中，与为非关联参照方向，故线圈1自感电压取负号，又、均从同名端流出，故两线圈中互感电压与自感电压符号相似。
，
（b）图中与为非关联参照方向，故线圈2中自感电压取负号，又、均从同名端流入，故两线圈中互感电压与自感电压符号相似。
，
3.27 求题3.27图所示电路等效阻抗。已知R1=18Ω，，ωL2=10Ω，ωM=6Ω。
解：各支路电压、电流如图所示，由于和一种从同名端流出，一种从同名端流入，故两线圈中互感电压与自感电压符号相反
，
又：
代入数据可解得
电路等效阻抗
3.28 求题3.28图所示电路等效阻抗Zab。
解：，
反映阻抗
3.29 题3.29图所示电路中，R1=R2=10Ω，ωL1=30Ω，ωL2=ωM=20Ω,,求输出电压和R2功率P2。
解：，
，
3.30 题3.30图所示电路中，抱负变压器变比为10:1，uS=10sinωt,求u2。
解：各电流、电压如图所示，其关系如下：
，，，
由此解得
3.31 题3.31图所示电路中，如要使8Ω负载电阻获得最大功率，抱负变压器变比应为多少？
解：8Ω负载折合至一次侧后阻抗为8n2Ω，依照最大功率传播原理，当其等于50Ω时，负载得到最大功率，即有8n2=50，故
3.32 对称星形连接三相负载Z=6+j8Ω，接到线电压为380V三相电源上，设，求各相电流、相电压（用相量表达）。
解：线电压为380V，相电压为220V，各相电压为：
各相电流为
，
3.33 对称三角形连接三相负载Z=20+j34.6Ω，接到线电压为380V三相电源上，设，求各相电流和线电流（用相量表达）。
解：
各相电流为
，
各线电流为
，
3.34 两组三相对称负载，Z1=10Ω，星形连接，Z2=10+j17.3Ω，三角形连接，接到相电压为220V三相电源上，求各负载电流和线电流。
解：设，则
连接Z1线电流为
亦为Z1中电流。
三角形联结负载Z2中电流为
，
连接Z2线电流
总线电流
3.35 题3.35图所示电路是一种拟定相序仪器，叫相序批示仪，。证明：在线电压对称状况下，假定电容器所连接那相为U相，则灯泡较亮为V相，较暗为W相。
解：设电源中点为N，负载中点为N′，由弥尔曼定理得
，由此得各电压相量图。从图中可看出，只要，则，即V相负载电压不不大于W相负载电压，因而，较亮是V相，较暗是W相。
3.36 题3.36所示电路中，三相对称电源相电压为220V，白炽灯额定功率为60W，日光灯额定功率为40W，功率因数为0.5，日光灯和白炽灯额定电压均为220V，设 ，求各线电流和中线电流。
解：为简便计，设中线上压降可忽视，这样，各相负载电压仍对称，故三个灯炮中电流相等，均为，因而
，；
W相灯泡电流
，
日光灯中电流
，
由于是感性负载，电流滞后W相电压，即
W相线电流
中线电流
3.37 阻抗均为10Ω电阻、电容、电感，分别接在三相对称电源U相、V相和W相中，电源相电压为220V，求（1）各相电流和中线电流；（2）三相平均功率。
解：由题意知，负载是星形联结，设
（1） ，
（2）由于电容、电感不消耗功率，故三相平均功率等于电阻功率，即
3.38 功率为3kW，功率因数为0.8（感性）三相对称负载，三角形连接在线电压为380V电源上，求线电流和相电流。
解：由得
3.39 求题3.34电路总功率和功率因数。
解：由3.34题知，时，，即阻抗角为，线电流为47.9A，因而
总功率：
功率因数：
3.40 证明：如果电压相等，输送功率相等，距离相等，线路功率损耗相等，则三相输电线（设负载对称）用铜量为单相输电线用铜量3/4。
证明：设电压为U，输送功率为P，负载功率因数为cosφ,距离为l，铜电阻率为ρ，三相输电线截面为S，单相输电线截面为S′，则三相输电线中电流
，
线路功率损耗
单相输电线中电流：，线路功率损耗为
现规定功率损耗相等，即：
，
由此得
三相输电线用铜量为3Sl，单相输电线用铜量为，即三相输电线用铜量为单相输电线用铜量3/4。
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