超几何分布与二项分布专题研究应用.doc

专项：超几何分布与二项分布
[知识点]核心是判断超几何分布与二项分布
判断一种随机变量与否服从超几何分布,核心是要看随机变量与否满足超几何分布特性:一种总体(共有个)内具有两种不同事物、,任取个,其中恰有个.符合该条件即可断定是超几何分布,按照超几何分布分布列（）进行解决就可以了.
二项分布必要同步满足如下两个条件:①在一次实验中实验成果只有与这两个,且事件发生概率为,事件发生概率为；②实验可以独立重复地进行,即每次重复做一次实验,事件发生概率都是同一常数,事件发生概率为.
1、(北京海淀一模)某厂生产产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测概率为.既有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.
(Ⅰ) 随机选用1件产品，求可以通过检测概率；
(Ⅱ) 随机选用3件产品，其中一等品件数记为，求分布列；
(Ⅲ) 随机选用3件产品，求这三件产品都不能通过检测概率.
【解析】（Ⅰ）设随机选用一件产品，可以通过检测事件为 …………………………1分
事件等于事件 “选用一等品都通过检测或者是选用二等品通过检测” ……………2分
…………………………4分
(Ⅱ) 由题可知也许取值为0,1,2,3.
,,
,. ………………8分

0
1
2
3

故分布列为
… ……………9分

(Ⅲ)设随机选用3件产品都不能通过检测事件为 ……………10分
事件等于事件“随机选用3件产品都是二等品且都不能通过检测”
因此，. ……………13分
2、(深圳一模)第26届世界大学生夏季运动会将于8月12日到23日在深圳举办,为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者身高编成如右所示茎叶图（单位:cm）：若身高在175cm以上（涉及175cm）定义为
“高个子”，身高在175cm如下（不涉及175cm）定义为“非高个子”,
且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.
（Ⅰ）如果用分层抽样办法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人,
再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表达所选志愿者中能担
任“礼仪小姐”人数，试写出分布列，并求数学盼望.
【解析】（Ⅰ）依照茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，…………1分
用分层抽样办法，每个人被抽中概率是， ………………2分
因此选中“高个子”有人，“非高个子”有人．…………3分
用事件表达“至少有一名“高个子”被选中”，则它对立事件表达“没有一名“高个子”被选中”，
　 则 ．……5分 因而，至少有一人是“高个子”概率是．…6分
（Ⅱ）依题意，取值为．　　　　　　　　　　………………7分
　 ，　　　，
　 ， ． …………………9分
　因而，分布列如下：

……10分
． …………12分
3、(广州二模)某地区对12岁小朋友瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力涉及听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力调查成果.例如表中听觉记忆能力为中档,且视觉记忆能力偏高学生为3人.
听觉
视觉
视觉记忆能力
偏低
中档
偏高
超常
听觉
记忆
能力
偏低
0
7
5
1
中档
1
8
3

偏高
2

0
1
超常
0
2
1
1
由于某些数据丢失，只懂得从这40位学生中随机抽取一种,视觉记忆能力恰为中档,且听觉记忆能力为中档或中档以上概率为.
（Ⅰ）试拟定、值；
（Ⅱ）从40人中任意抽取3人,设具备听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常学生人数为,求随机变量分布列.
【解析】（Ⅰ）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中档，且听觉记忆能力为中档或中档以上学生共有人.记“视觉记忆能力恰为中档，且听觉记忆能力为中档或中档以上”为事件，
则，解得，从而.
（Ⅱ）由于从40位学生中任意抽取3位成果数为,其中具备听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常学生共24人,从40位学生中任意抽取3位,其中恰有位具备听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常成果数为，因此从40位学生中任意抽取3位,其中恰有位具备听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常概率为.也许取值为0、1、2、3.
由于,,,，因此分布列为

0
1
2
3

4、(北京朝阳一模)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球概率都是．
（Ⅰ）记教师甲在每场6次投球中投进球个数为X，求X分布列及数学盼望；
（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖概率；
（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中正好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖概率；教师乙在这场比赛中获奖概率与教师甲在一场比赛中获奖概率相等吗？
【解析】（Ⅰ）X所有也许取值为0，1，2，3，4，5，6. 依条件可知X~B(6，).
()
因此X分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
6
P

因此=.
或由于X~B(6，)，因此. 即X数学盼望为4．
（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则
答：教师甲在一场比赛中获奖概率为
（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B，则.(此处为会更好!由于样本空间基于:已知6个球中正好投进了4个球)即教师乙在这场比赛中获奖概率为.
显然，因此教师乙在这场比赛中获奖概率与教师甲在一场比赛中获奖概率不相等．
5、(•北京石景山一模)为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件名志愿者中随机抽样名志愿者年龄状况如下表所示．
（Ⅰ）频率分布表中①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再依照频率分布直方图预计这名志愿者中年龄在岁人数；
（Ⅱ）在抽出名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取人参加中心广场宣传活动，从这人中选用名志愿者担任重要负责人，记这名志愿者中“年龄低于岁”人数为，求分布列及数学盼望．
分组
（单位：岁）
频数
频率

①

②

共计

20 25 30 35 40 45 年龄 岁

20 25 30 35 40 45 年龄 岁
【解析】（Ⅰ）①处填，②处填；
补全频率分布直方图如图所示.
名志愿者中年龄在
人数为 人．…6分
（Ⅱ）用分层抽样办法，从中选用人,
则其中“年龄低于岁”有人，
“年龄不低于岁”有人． …………7分
故也许取值为，，；
，
， ，……11分
因此分布列为：

P

∴ ． …………13分
6、(北京朝阳二模)为了防止受到核污染产品影响国内民众身体健康，规定产品在进入市场前必要进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才干进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格概率为，第二轮检测不合格概率为，两轮检测与否合格互相没有影响.
（Ⅰ）求该产品不能销售概率；
（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X分布列，并求出均值E(X).
【解析】（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，则.
因此，该产品不能销售概率为. ……………………………………4分
（Ⅱ）由已知，可知X取值为. ………………………5分
， ，
，，
. ……………………………………10分
因此X分布列为
X
-320
-200
-80
40
160
P

……………………………………11分
E(X)，故均值E(X)为40.……12分
7、(北京丰台二模)张先生家住H社区，她在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯概率依次为，．
H
C
A1
A2
B1
B2
L1
L2
A3
（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯概率；
（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数数学盼望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数至少”规定，请你协助张先生
从上述两条路线中选取一条最佳上班路线，并阐明理由．
【解析】（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则．…4分
因此走L1路线，最多遇到1次红灯概率为．
（Ⅱ）依题意，也许取值为0，1，2． …………5分
，，．…8分
故随机变量分布列为：

0
1
2
P

． ………………10分
（Ⅲ）设选取L1路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，，
因此．……12分 由于，因此选取L2路线上班最佳．……14分
8、(北京海淀二模)某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等也许.
(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯概率；
(Ⅱ) 用表达4名乘客在第4层下电梯人数，求分布列和数学盼望.
【解析】（Ⅰ）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯事件为,……………………1分
由题意可得每位乘客在第2层下电梯概率都是， ……………………………3分
则 .……………………………6分
(Ⅱ) 也许取值为0,1,2,3,4， ………………………7分
由题意可得每个人在第4层下电梯概率均为，且每个人下电梯互不影响，因此.…9分

0
1
2
3
4

………………………………11分
.………………………13分
9、(福建福州3月质检)“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于国内民间古老游戏，其规则是：用三种不同手势分别表达石头、剪刀、布；两个玩家同步出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示手势相似时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等也许．
（Ⅰ）求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙概率；
（Ⅱ）若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙次数记作随机变量，求分布列及其盼望．
【解析】（Ⅰ）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势所有也许成果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布）．共有9个基本领件，--------------------3分
玩家甲胜玩家乙基本领件分别是：（石头，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头），共有3个．因此，在1次游戏中玩家甲胜玩家乙概率．--------------------6分
（Ⅱ）也许取值分别为0，1，2，3．
，，
，．--------------------10分
分布列如下：-------------------11分

0
1
2
3

（或：，）．-----13分
10、(•湖北黄冈3月质检)某射击小组有甲、乙两名射手，甲命中率为，乙命中率为，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完毕一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；
（Ⅰ）若,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”概率；
（Ⅱ）筹划在每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”次数，如果,求取值范畴.
【解析】（Ⅰ）---------6分[来源:学科网ZXXK]
（Ⅱ）该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”概率

而，因此,由知,解得.-------12分
11、(湖北某些重点中学第二次联考)一射击测试每人射击三次，每击中目的一次记10分。没有击中记0分，某人每次击中目的概率为
（Ⅰ）求此人得20分概率； （Ⅱ）求此人得分数学盼望与方差。
【解析】（Ⅰ）此人得20分概率为 ……4分
（Ⅱ）记此人三次射击击中目的次得分为分，则～，=10…6分
∴ ……9分
……12分
12、(•江西八校4月联考)设不等式拟定平面区域为,拟定平面区域为．
（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数点为“整点”，在区域内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域概率；
（Ⅱ）在区域内任取3个点，记这3个点在区域个数为，求分布列和数学盼望．
【解析】（Ⅰ）依题可知平面区域整点为共有13个，
平面区域整点为共有5个， ∴
（Ⅱ）依题可得：平面区域面积为，平面区域面积为：，
在区域内任取1个点，则该点在区域内概率为，
易知：也许取值为，且
，

∴分布列为：

0
1
2
3

∴数学盼望：……12分
（或者： ，故）
13、(山东淄博二模) 、是治疗同一种疾病两种药，用若干实验组进行对比实验。每个实验组由4只小白鼠构成，其中2只服用，另2只服用，然后观测疗效。若在一种实验组中，服用有效小白鼠只数比服用有效多，就称该实验组为甲类组。设每只小白鼠服用有效概率为,服用有效概率为.
（Ⅰ）求一种实验组为甲类组概率；
（Ⅱ）观测3个实验组，用表达这3个实验组中甲类组个数，求分布列和数学盼望。
【解析】（Ⅰ）设表达事件“一种实验组中，服用有效小白鼠有只”，i=0，1，2；
表达事件“一种实验组中，服用有效小白鼠有只”，i=0，1，2
依题意有,,,,
所求概率为
（Ⅱ）x也许取值为0，1，2，3，且 x~ B(3,)，
∴ x分布列为
x
`0
1
2
3

因此数学盼望.
14、(•温州一模)盒子中装有大小相似10只小球，其中2只红球，4只黑球，4只白球．规定：一次摸出3只球，如果这3只球是同色，就奖励10元，否则罚款2元．
（Ⅰ）若某人摸一次球，求她获奖励概率；
（Ⅱ）若有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量为获奖励人数，
（i）求 （ii）求这10人所得钱数盼望．
（成果用分数表达，参照数据：）
【解析】（Ⅰ）
（Ⅱ）（i）由题意知，则
（ii）设为在一局中输赢，则,
因此,即这10人所得钱数盼望为.
15、(•天津高考)学校游园活动有这样一种游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相似，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戏中：
①摸出3个白球概率； ②获奖概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数分布列与数学盼望.
【解析】（Ⅰ）①设“在1次游戏中摸出个白球”为事件，则.
②设“在1次游戏中获奖”为事件，则，又，
且、互斥，因此.
（Ⅱ）法1：由题意可知所有也许取值为0、1、2.
；；.
因此分布列是：

0
1
2

数学盼望.
法2：由于，得分布列同上,数学盼望.
16、(全国高考)依照以往记录资料，某地车主购买甲种保险概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险概率为0.3，设各车主购买保险互相独立.
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中l种概率；
（Ⅱ）表达该地l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买车主数，求盼望.
【解析】记表达事件：该地1位车主购买甲种保险；表达事件：该地1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；表达事件：该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中1种；表达事件：该地1位车主甲、乙两种保险都不购买.
（Ⅰ），.由于，且、互斥，因此.
（Ⅱ）由于，因此.而，即服从二项分布，因此 盼望为.