基于Kaczmarz算法的磁粒子成像快速重建算法研究.pdf

窑医疗卫生装备窑 2024年1月第45卷第1期悦澡蚤灶藻泽藻 酝藻凿蚤糟葬造 耘择怎蚤责皂藻灶贼 允燥怎则灶葬造 窑 灾燥造援 45 窑 晕燥援 1 窑 January 窑 2024基于Kaczmarz算法的磁粒子成像快速重建算法研究谌继超，柯丽*，白石（沈阳工业大学电气工程学院，沈阳110870）摘要目的院为了解决磁粒子断层成像中系统矩阵方法成像时间长、计算复杂的问题，提出一种基于Kaczmarz算法的磁粒子成像快速重建算法。方法院首先，分析经典Kaczmarz算法及其变体算法的收敛速度，并计算在任意矩阵下的迭代次数和计算时间；其次，比较欧氏距离和余弦距离对系统数据的区分能力，并运用基于余弦距离的K-means算法来增强块Kaczmarz算法的运算能力，缩短系统矩阵重建时间并最终实现磁粒子成像快速重建。最后，通过计算机仿真实验验证提出的算法的有效性。结果院提出的算法大幅缩短了重建时间，提高了重建图像的空间分辨力和质量。结论院提出的算法可以实现磁粒子成像的快速重建，并且在处理含有噪声的数据时具备较强的重建能力。关键词磁粒子成像；系统矩阵；Kaczmarz算法；块Kaczmarz算法；图像重建；余弦聚类中国图书资料分类号R318文献标志码A文章编号1003-8868渊2024冤01-0009-06DOI院10.19745/j.1003-8868.2024002Fast reconstruction algorithm of magnetic particle imaging based onKaczmarz algorithmSHEN Ji-chao,KE Li*,BAI Shi(School of Electrical Engineering,Shenyang University of Technology,Shenyang 110870,China)AbstractTo propose a Kaczmarz algorithm-based fast reconstruction method of magnetic particle imaging tosolve the problems of magnetic particle tomography in prolonged imaging time and computational complexity.Firstly,the convergence speeds of the classical Kaczmarz algorithm and its variant algorithms were analyzed,and the numberof iterations and computational time under arbitrary matrices were calculated.Secondly,the abilities of Euclidean distanceand cosine distance in differentiating system data were compared,and the cosine distance-based K-means algorithm wasemployed to enhance the computational capability of block Kaczmarz algorithm,shorten the system matrix reconstructiontime,and ultimately fast reconstruction of magnetic particle imaging was realized.The effectiveness of the proposed algorithmwas verified through computer simulation.The proposed algorithm reduced greatly the reconstruction time andimproved the spatial resolution and quality of the reconstructed images.The proposed algorithm enables fastreconstruction of magnetic particle imaging and behaves well in reconstruction of data containing noise.悦澡蚤灶藻泽藻 酝藻凿蚤糟葬造耘择怎蚤责皂藻灶贼 允燥怎则灶葬造袁2024袁45渊1冤院9-14Key wordsmagnetic particle imaging;system matrix;Kaczmarz algorithm;block Kaczmarz algorithm;image reconstruction;cosine clustering基金项目院辽宁省科技重大重点项目（2021JH2/10300134）；沈阳市重大项目（21-172-9-01，22-321-32-11）作者简介院谌继超（1997），男，硕士研究生，研究方向为生物医学电磁检测与图像处理。通信作者院柯丽，E-mail：0引言磁粒子成像（magnetic particle imaging，MPI）是一种新的断层扫描成像模式，是基于超顺磁性氧化铁纳米粒子（super paramagnetic iron oxide nanoparti原cles，SPIONs）对外加磁场的非线性响应对其分布进行成像1-2。基于系统矩阵的MPI重建算法是MPI重建的重要组成部分，其是先构建MPI系统的系统矩阵，再通过接收线圈检测到的感应信号及系统矩阵进行图像重建3，所以能够以更加准确的形式描述矩阵信息，重建结果也更加令人信服，但系统矩阵烦琐复杂，计算时间长且矩阵往往是病态的4，因此进行MPI的快速重建一直是国内外的研究重点。为实现磁粒子快速重建，文献5和文献6提出快速二维编码的MPI，实验结果显示MPI检测线圈的灵敏度、图像分辨力和成像速度显著提高。文献7提出使用零场线（field free line，FFL）代替零场点（fieldfree point，FFP），进一步缩短编码时间，提高信噪比（signal to noise ratio，SNR），为快速成像做出了更大的努力。文献8通过加权迭代的算法，利用最小二乘解来获得线性系统的数学解，该方法不仅提升了最小二乘法9的图像质量、提高了图像清晰度，而且大栽澡藻泽蚤泽论著谌继超，柯丽，白石.基于Kaczmarz算法的磁粒子成像快速重建算法研究J.医疗卫生装备，2024，45（1）：9-14.9 窑医疗卫生装备窑 2024年1月第45卷第1期悦澡蚤灶藻泽藻 酝藻凿蚤糟葬造 耘择怎蚤责皂藻灶贼 允燥怎则灶葬造 窑 灾燥造援 45 窑 晕燥援 1 窑 January 窑 2024大缩短了重建时间。这一方法的提出为解决系统矩阵成像时间过长提出了一个新的方向。系统矩阵成像算法中广泛使用的一种重建方法是正则化代数重建技术，也称为Kaczmarz算法（KA算法）。文献10证明了KA算法的收敛性。文献11为一致的超定线性方程引入随机Kaczmarz（randomizedKaczmarz，RK）算法，并证明其能以预期的指数速率收敛。文献12提出贪婪随机Kaczmarz（greedy ran-domized Kaczmarz，GRK）算法，在RK算法的基础上引进全新且有效的概率准则来选取投影行，并证明GRK算法的收敛速度明显快于RK算法。为了进一步提高KA算法的收敛速度，文献13和文献14使用欧式聚类算法对KA算法进行扩展，提出块Kacz原marz（block Kaczmarz，BKA）算法，并证明了该算法的收敛性，但传统的欧氏距离并不能很好地对系统数据进行分类。因此，为了缩短成像时间，更好地解决系统数据分类的问题，本文提出基于余弦聚类思想的BKA算法，利用余弦聚类的方法增强BKA算法的运算能力，削减计算量，减少迭代次数，以实现对系统矩阵算法的快速重建。1MPI系统成像及重建原理在MPI系统中，接收线圈检测到的感应信号是MPI的原始信号，磁粒子的浓度分布信息隐藏在感应信号频谱中的高次谐波内，重建算法利用这些高次谐波进行图像重建。1.1MPI系统成像原理MPI系统成像过程中需要2个不同的磁场，即选择场和驱动场，其中选择场为静态梯度磁场，驱动场为动态均匀磁场。SPIONs在驱动场的激励下产生非线性磁化响应，并在接收线圈中产生电压信号。MPI系统成像的基本原理如图1所示，其中（a）显示了施加在SPIONs上随时间变化的驱动场HD（t），（b）显示了SPIONs的非线性磁化曲线M（H），（c）显示了磁粒子在驱动场的作用下随时间变化的磁化响应M（t），（d）显示了经过傅里叶变换的信号频谱u 赞（f）。FFL由2个相反的磁场产生，只有在FFL内或在FFL附近的粒子可以被激发，从而产生相应激励频率的谐波。在左图中，驱动场刺激FFL附近的SPIONs，在右图中，SPIONs处于饱和状态，其中磁化强度随时间几乎没有变化。1.2基于系统矩阵的MPI重建原理SPIONs在驱动场的作用下产生含有粒子信息的电压信号u（t），并经过离散傅里叶变换表示为u 赞k。在空间赘中，粒子浓度c（r）、系数u 赞k和系统矩阵s 赞k（r）的积分表达式为u 赞k=赘乙s 赞k（r）c（r）dr（1）为了计算简便，将空间赘离散为N个点rn沂赘，表示磁粒子在空间中的N个位置，其中n沂 0，1，N-1，则公式（1）可以表示为15u 赞k=移n沂Ns 赞k，ncn（2）式中，s 赞k，n：=棕ns 赞k（rn），cn：=c（rn），分别表示在空间位置rn处的系统矩阵值和浓度，其中棕n为正交权重。感应电压信号u、系统矩阵S和浓度c之间的重建问题用矩阵形式表示为u=Sc（3）公式（1）（3）表明系统矩阵将系统中的电压信号与区域的各个编码点的粒子浓度信息联系起来，将MPI问题转化为矩阵方程的求解问题，利用迭代算法求解系统矩阵，实现粒子空间分布状况的精确成像。2求解线性方程组的BKA算法2.1经典KA算法经典KA算法通常用于解决以下形式的一致线性问题：Ax=b（4）式中，矩阵A（A沂CM伊N）用于对系统矩阵进行建模；向量b（b沂CM）包含测量值；x（x沂CN）表示要恢复的未知向量。公式（4）的KA算法迭代步骤由下式给出：xk+1=xk+bi-aixk椰ai椰22aiH（5）式中，ai沂C1伊N，表示矩阵A的第i行；bi是b的第i个分量；xk为当前迭代点；H为系数矩阵目标行所形成的超平面。KA算法循环遍历线性系统的行，每次迭代都是通过将当前点投影到由目标行形成的超平面来形成12，其中i沂1，2，M。为了实现快速重建，本文对比分析KA、RK和GRK算法对系统矩阵的收敛速度和加速效果。在本文注：左图中（a）示随时间变化的驱动场HD（t）；（b）示FFL范围内SPIONs未饱和，发生非线性磁化响应行为；（c）示MPI信号接收部分感应出粒子信号；（d）示对粒子信号进行傅里叶变换。右图中（a）示随时间变化的驱动场HD（t）；（b）示FFL范围外SPIONs饱和，对激发场没有明显的非线性磁化响应行为；（c）示MPI信号接收部分未感应出粒子信号；（d）示对粒子信号进行傅里叶变换。图1MPI系统成像基本原理图M（H）M（t）M（H）M（t）HtHt（b）（c）（b）（c）（a）（d）（a）（d）u 赞（f）u 赞（f）HD（t）HD（t）f/f0f/f0傅里叶变换傅里叶变换tt栽澡藻泽蚤泽论著谌继超，柯丽，白石.基于Kaczmarz算法的磁粒子成像快速重建算法研究J.医疗卫生装备，2024，45（1）：9-14.10 窑医疗卫生装备窑 2024年1月第45卷第1期悦澡蚤灶藻泽藻 酝藻凿蚤糟葬造 耘择怎蚤责皂藻灶贼 允燥怎则灶葬造 窑 灾燥造援 45 窑 晕燥援 1 窑 January 窑 2024的数值模拟中，所有实验均在2.60 GHz中央处理器、16 GiB内存的个人计算机上使用MATLAB R2018a进行。数值模拟实验为一个行为1 000、列为101的矩阵，该矩阵的元素为从0到1的均匀分布中随机抽取的数。然后，应用经典KA算法、RK算法和GRK算法绘制最小二乘误差椰x-xk椰2与迭代次数的关系，在迭代次数达到700次时终止迭代，结果如图2所示。显然，GRK算法明显优于经典KA算法和RK算法。数值模拟实验实现了RK算法和GRK算法，并表明GRK算法在迭代步骤数（表示为“IT”）和以秒为单位的计算时间（表示为“CPU”）方面优于KA和RK算法（这里的CPU和IT是指相应方法重复运行50次所需时间的算术平均值和达到收敛时所需迭代步数的算术平均值），并计算了GRK算法相对于RK算法的加速来度量二者之间的收敛速度S1，其定义为S1=CPURKCPUGRK（6）从表1、2中可以看出，GRK算法在迭代次数和计算时间方面都远远优于KA、RK算法，并且无论系数矩阵A沂Rm伊n是超定还是欠定，加速速度都显著提高。为了体现本文算法的加速效果，本文提出的算法分析都是基于RK算法和GRK算法进行的。2.2BKA算法BKA算法是经典KA算法的扩展，该算法在每次迭代时都会进行强制约束。在第k+1次迭代时，选择矩阵A的行索引子集JK，并将当前迭代点xk正交投影到x沂Rn|AJKx=bJK的解空间上16。因此，BKA算法可以表述为xk+1=xk+（bJK-AJKx）AJK覮（7）式中，AJK和AJK覮分别代表A的由JK索引的行子矩阵，即AJK=A（JK，：）及其Moore-Penrose伪逆；而bJK是b的子向量，其分量在JK中列出。BKA算法的核心在于使系统矩阵分块更加集中且均匀。2.3余弦聚类算法K-means聚类算法是一种经典的聚类算法，因其简单快速，得到广泛应用17。传统的BKA算法是基于欧氏距离进行的，图3显示了基于欧氏距离的分类算法和基于余弦距离的分类算法的比较，可以看出基于欧氏距离的K-means聚类算法并不能较好地对系统数据进行分类，基于余弦的K-means聚类算法得到的聚类结果能够充分考虑系统数据之间的内部关系，能将系统数据进行更加均匀的分类，使块与块之间的差异更小。因此，为了更好地反映矩阵之间的相似性，本文采用余弦距离代替欧氏距离。余弦距离的定义如下：dc（x，y）=1-cos（x，y）=1-（x，y）椰x 椰 椰y椰（8）2.4基于余弦聚类的BKA算法本节比较分析基于欧氏距离的块Kaczmarz（eu-ropean distance block Kaczmarz，BKAE）算法和基于余弦距离的块Kaczmarz（cosinedistanceblockKaczmarz，BKAC）算法的收敛速度。首先，分别采用欧氏距离和余弦距离对系统矩阵进行分类，实现系数矩阵的BKAE算法和BKAC算法。然后，对比分析GRK、BKAE和BKAC算法的收敛速度，并分别用S2与S3来衡量算法之间的收敛速度。其中，BKAE算法对于GRK算法的加速比定义为S2=CPUGRKCPUBKAE（9）BKAC算法对于BKAE算法的加速比定义为图2在达到终止迭代次数之前KA尧RK和GRK 3种算法达到收敛时的迭代次数1614121086420-27006004003002001000迭代次数/次500KA算法RK算法GRK算法表1矩阵A在RK和GRK算法下达到收敛时的迭代次数和计算时间渊m=50袁n为任意冤矩阵（行伊列）加速比迭代次数/次计算时间/s迭代次数/次计算时间/s50伊5004 2566.8472 5414.2311.6250伊1 0003 9587.8432 2134.3441.8150伊1 5003 5417.9451 9545.0101.5950伊2 0002 9848.9711 6875.2681.7050伊2 5002 86411.3791 4215.6312.02RK算法GRK算法矩阵（行伊列）RK算法加速比迭代次数/次计算时间/s迭代次数/次计算时间/s500伊505 4128.9432 7454.3402.061 000伊505 0128.2132 5414.0212.041 500伊504 8647.5692 2143.8101.992 000伊504 6547.0011 9043.5141.992 500伊504 2136.5401 7742.5132.60GRK算法表2矩阵A在RK和GRK算法下达到收敛时的迭代次数和计算时间渊m为任意袁n=50冤栽澡藻泽蚤泽论著谌继超，柯丽，白石.基于Kaczmarz算法的磁粒子成像快速重建算法研究J.医疗卫生装备，2024，45（1）：9-14.11 窑医疗卫生装备窑 2024年1月第45卷第1期悦澡蚤灶藻泽藻 酝藻凿蚤糟葬造 耘择怎蚤责皂藻灶贼 允燥怎则灶葬造 窑 灾燥造援 45 窑 晕燥援 1 窑 January 窑 2024图3行向量分块图S3=CPUBKAECPUBKAC（10）表3中系数矩阵为Florida稀疏矩阵数据库中的矩阵，分别使用GRK算法、BKAE算法和BKAC算法对大型线性方程组进行求解，其中对于同一种类的测量数据来说，生成簇类q是相等的。在迭代次数（IT）和计算时间（CPU）方面，GRK、BKAE与BKAC算法的数值结果见表3、4。由表3、4的数据结果可知，对于这5个测试矩阵GRK、BKAE、BKAC算法都可以达到良好的收敛效果，对测试矩阵都能达到近似解。BKAC算法的计算时间和迭代次数均小于BKAE与GRK算法，加速比S3最小为1.07（abb313），最大可达到2.20（well1850），且随着测试矩阵尺寸的增加，越能体现该算法的优越性。从迭代次数和计算时间来看，BKAC算法比BKAE算法收敛速度更快，基于余弦距离处理后的子矩阵更优，测试中系数矩阵的相邻行向量更有可能被均匀地划分到同一簇类。2.5仿真成像实验为了定量分析本文提出的BKAC算法对求解系统矩阵的快速成像和图像质量方面的性能，本文进行了Y型血管的仿真实验。在实验室搭建MPI线型零磁场仿真系统基础上，对一组亥姆霍兹线圈的中间检测区域进行二维空间编码，编码空间为31 mm伊31 mm，每个点之间相距1 mm，一共有961个空间编码点，数据量为961伊1 000。对成像区域采用RK、GRK、BKAC 3种算法进行图像重建，所有程序重复运行50次，取平均时间，并采用结构相似度（structural similarity，SSIM）来对本文提出的重建算法进行评估。SSIM的定义为SSIM=（2滋x滋y+c1）（滓xy+c2)（滋x2+滋y2+c1）（滓x2+滓y2+c2）（11）式中，滋x、滋y分别为x和y的平均值；滓x2、滓y2分别为x和y的方差；滓xy为协方差；c1、c2为常数。利用RK算法和GRK算法对仿真模型进行求解，二者均运行50次，取平均时间，实验结果如图4所示。由图4可以得出，RK算法的图像重建时间较长，图像分辨力较差，且图像出现断层和伪影。GRK算法的图像重建时间明显缩短，重建时间比RK算法减少了约3/5，空间分辨力明显增强。图像仿真实验证明GRK算法在缩短图像重建时间和增强空间分辨力方面的性能优于RK算法。表3矩阵A在GRK尧BKAE算法下达到收敛时的迭代次数和计算时间矩阵名称矩阵（行伊列）块数GRK算法加速比迭代次数/次计算时间/s迭代次数/次计算时间/sabb313313伊176515 4144.1788 0452.1401.95ash608608伊188103 4076.5222 5014.1031.59ash958958伊292255 0148.0012 2495.9971.33well10331 033伊3205050 14710.2311 4586.7411.52well18501 850伊712100198 72013.1021 9259.1241.44BKAE算法表4矩阵A在BKAE尧BKAC算法下达到收敛时的迭代次数和计算时间矩阵名称矩阵（行伊列）块数BKAE算法加速比迭代次数/次计算时间/s迭代次数/次计算时间/sabb313313伊17658 0452.1407 5141.9871.07ash608608伊188102 5014.1031 8042.0122.04ash958958伊292252 2495.9971 9473.8471.56well10331 033伊320501 4506.7419254.3561.54well18501 850伊7121001 9259.1241 1454.1302.20BKAC算法54321行数350300200150100500250欧氏距离（a）欧氏距离（b）余弦距离54321350300200150100500行数250余弦距离图4RK和GRK算法的仿真结果（a）RK算法（平均计算时间=0.910 23 s，SSIM=0.845 1）（b）GRK算法（平均计算时间=0.336 64 s，SSIM=0.924 7）栽澡藻泽蚤泽论著谌继超，柯丽，白石.基于Kaczmarz算法的磁粒子成像快速重建算法研究J.医疗卫生装备，2024，45（1）：9-14.12 窑医疗卫生装备窑 2024年1月第45卷第1期悦澡蚤灶藻泽藻 酝藻凿蚤糟葬造 耘择怎蚤责皂藻灶贼 允燥怎则灶葬造 窑 灾燥造援 45 窑 晕燥援 1 窑 January 窑 2024（d）块数为100图5不同块数时BKAC算法的仿真结果（a）块数为5（b）块数为10（c）块数为50为了评价本文提出的BKAC算法在求解系统矩阵的重建时间和空间分辨力方面的性能，对系统矩阵采用BKAC算法进行块数（q）生成，分别生成5、10、50、100块，仿真实验结果见表5、如图5所示。从表5中可以看出，随着块数的增加，图像重建时间在逐渐减少，当块数增加到100块时，图像重建时间相对于RK算法最多减少了9/10，比GRK算法的重建时间减少了7/10；由图5可知，随着块数的增加，系统矩阵仿真结果的空间分辨力略微下降，且图像质量随着迭代次数的增加而增加；重建时间随块数和迭代次数的改变而变化，因此必须在块数和迭代次数之间进行取舍，选择合适的块数与迭代次数。本文提出的BKAC算法在块数为100时，收敛速度高于RK算法和GRK算法，图像质量也与仿真图像更为相似，同时未出现断层和伪影，重建图像也更加清晰。综上，本文提出的算法缩短了成像时间，提高了重建速度。为进一步说明BKAC算法下块数对系统矩阵重建图像的空间分辨力的影响，本文绘制了BKAC算法下的SSIM表，结果见表6。在块数为5块和10块时，重建图像的空间分辨力无明显变化，当块数增加到50块和100块时，重建图像的空间分辨力略微有所下降。此外，对仿真数据添加信噪比为30 dB的随机噪声，分别使用GRK和BKAC算法进行图像重建，对比分析本文提出的BKAC算法对含噪数据的重建能力，BKAC算法的块数为100，仿真结果如图6和表7所示。GRK算法并不能很好地对含噪数据进行重建，重建结果出现伪影和断层，在重建次数增多时图像质量出现略微下降。BKAC算法在迭代250次时可以较好地对系统矩阵数据进行重建，从2D重建图像可以看出BKAC算法对含噪声的数据具有较好的重建能力，实验结果再一次验证了BKAC算法能够快速、稳健地重建系统矩阵数据。3结语基于系统矩阵的MPI图像重建算法是MPI图像重建研究中的重点方向。不同于X-Space算法的实时成像，系统矩阵中包含了视野（field of view，FOV）区域中更多的磁场特性和高频的粒子信息，所描述的系统信息也较为准确和全面，因此基于系统矩阵的重建图像也更加稳定，但由于图像重建的时间较长，且系统矩阵包含的信息也更加复杂，导致该方法对计算机的运行性能提出更高的要求，成像时间也更长。依据MPI的重建原理，确定磁纳米粒子在空间中的浓度和位置信息需要寻求解大型超定或欠定方程组，尽管使用Kaczmarz算法等迭代求解算法对MPI系统矩阵进行快速迭代已经取得了一定成效，但是由于MPI系统矩阵非常复杂而庞大，导致重建所需的时间相对较长。因此，在处理这些矩阵时，需要进一步探索更有效的算法和优化策表5不同块数尧不同迭代次数下BKAC算法的重建时间渊CPU冤迭代250次迭代500次52.638 55.366 8101.013 81.952 1500.169 90.286 21000.117 20.177 3块数单位：s注：左为迭代500次的仿真结果，右为迭代250次的仿真结果。表6BKAC算法迭代250次和500次时的重建图像的SSIM迭代250次迭代500次50.987 10.987 1100.986 20.986 5500.954 20.961 11000.941 10.941 1块数栽澡藻泽蚤泽论著谌继超，柯丽，白石.基于Kaczmarz算法的磁粒子成像快速重建算法研究J.医疗卫生装备，2024，45（1）：9-14.13 窑医疗卫生装备窑 2024年1月第45卷第1期悦澡蚤灶藻泽藻 酝藻凿蚤糟葬造 耘择怎蚤责皂藻灶贼 允燥怎则灶葬造 窑 灾燥造援 45 窑 晕燥援 1 窑 January 窑 2024略，以提高重建速度和精度。本文构建了基于线型零磁场的MPI仿真模型并提出了一种基于余弦距离K-means聚类的BKAC算法，该算法可以对系统矩阵进行更加均匀的分类，然后通过迭代求解重建出MPI图像。本文提出的BKAC算法充分利用了系统矩阵中的特征信息，在重建时间和空间分辨力上具有良好的性能。通过仿真成像实验和指标测试分析了GRK算法和本文提出的BKAC算法在重建图像质量方面的表现，结果表明，当BKAC算法将系统数据生成100块时，重建时间减少了7/10，图像质量相较于分成5块时会略微下降，但优于GRK算法的图像质量，本文算法能准确地重建Y型血管模型。此外，通过对含噪声的系统矩阵数据使用BKAC算法进行图像重建，结果表明，本文提出的算法具有一定抗噪能力，且二维成像实验证明了本文算法的有效性。但当块数增大的时候，重建图像的分辨力会有所下降，空间分辨力有待提高。此外，该算法仅对MPI仿真成像进行研究，与实际成像还有差距，后续将对实测系统矩阵数据进行重建，并考虑将基于乘法器的交替方向乘子法（alternating direction method ofmultipliers，ADMM）与本算法进行结合，进一步提升重建速度。参考文献1CHEN X，HAN X，WANG X，et al.Simulation of reconstru-ction based on the system matrix for magnetic particle ima-gingJ.Biomed Signal Process Control，2022，71：103171.2BILLINGS C，LANGLEY M，WARRINGTON G，et al.Mag原netic particle imaging：current and future applications，mag原netic nanoparticle synthesis methods and safety measuresJ.Int J Mol Sci，2021，22（14）：7 651-7 673.3陈晓君，韩潇，王晓林，等.基于系统矩阵的磁粒子成像重构研究进展J.北京生物医学工程，2020，39（2）：196-202.4PANAGIOTOPOULOS N，DUSCHKA R L，AHLBORG M，et al.Magnetic particle imaging：current developments andfuturedirectionsJ.IntJNanomed，2015，10：3097-3114.5GLEICH B，WEIZENECKER J.Tomographic imaging usingthenonlinear response ofmagnetic particlesJ.Nature，2005，435（7 046）：1 214-1 217.6GLEICH B，WEIZENECKER J，BORGERT J.Experimentalresults on fast 2D-encoded magnetic particle imagingJ.PhysMed Biol，2008，53（6）：81-84.7WEIZENECKER J，BORGERT J，GLEICH B.Magnetic par-ticle imaging using a field free lineJ.J Phys D Appl Phys，2008，41（10）：336-340.8KNOPP T，RAHMER J，SATTEL T F，et al.Weighted itera-tive reconstruction for magnetic particle imagingJ.Phys MedBiol，2010，55（6）：1 577-1 589.9刘学超，李昊庭，马航，等.阻尼最小二乘重构算法对颅内局灶性双向电阻抗扰动目标辨识能力的评价研究J.医疗卫生装备，2018，39（4）：11-14，19.10 KUNIO T.Projection method for solving a singular system oflinear equations and its applicationsJ.Numer Math，1971，17（3）：203-214.11 STROHMER T，VERSHYNINR.A randomized Kaczmarz al-gorithmwith exponentialconvergenceJ.J FourierAnalAppl，2009，15（2）：262-278.12 BAI Z，WU W.On greedy randomized Kaczmarz method forsolving large sparse linear systemsJ.SIAM J Sci Comput，2018，40（1）：A592-A606.13 YAIR C.Parallel application of block-iterative methods inmedicalimagingandradiationtherapyJ.MathProgram，1988，42（1-3）：307-325.14李冉冉，刘皞，丁莹莹.求解大型超定线性代数方程组的块Kaczmarz算法J.高等学校计算数学学报，2021，43（2）：150-160.15 SCHMISTER L，MODDEL M，ERB W，et al.Direct image re-construction of Lissajous-type magnetic particle imaging da原ta using Chebyshev-based matrix compressionJ.IEEE TransComput Imaging，2017，3：671-681.16 NIU Y，ZHENG B.A greedy block Kaczmarz algorithm forsolving large-scale linear systemsJ.Appl Math Lett，2020，104：106294.17 CHEN H，XU Z，WANG H，et al.An ordered clustering algo-rithm based on K-means and the PROMETHEE methodJ.JRobot Mach Learn，2018，9（6）：917-926.（收稿：2023-07-30修回：2023-11-25）图6GRK和BKAC算法分别迭代250尧500和1 000次的仿真结果表7添加信噪比为30 dB的高斯噪声下GRK算法和BKAC算法的重建图像空间分辨力对比渊SSIM冤（f）BKAC算法（迭代1 000次）（e）BKAC算法（迭代500次）（d）BKAC算法（迭代250次）（c）GRK算法（迭代1 000次）（b）GRK算法（迭代500次）（a）GRK算法（迭代250次）GRK算法BKAC算法2500.451 20.874 15000.461 90880 11 0000.462 80.874 5迭代次数栽澡藻泽蚤泽论著谌继超，柯丽，白石.基于Kaczmarz算法的磁粒子成像快速重建算法研究J.医疗卫生装备，2024，45（1）：9-14.14