拉格朗日插值及中值定理的应用论文.doc

毕业论文毕业论文 题题 目：目：拉格朗日插值及中值定理的应用拉格朗日插值及中值定理的应用 学学 院：院：数学与计算科学学院数学与计算科学学院 专专 业：业：信息与计算科学信息与计算科学 完成日期：完成日期：20152015 年年 5 5 月月 2020 日日 毕业论文（设计）任务书毕业论文（设计）任务书 论文（设计）题目：拉格朗日插值及中值定理的应用 指导教师：系主任：一、主要内容及基本要求 主要内容：充分了解拉格朗日公式起源以及背景,研究拉格朗日插值在函数逼近中问题的适定性,数值的近似计算算法,以及拉格朗日插值在实际生活中的应用.利用拉格朗日中值定理证明不等式;求函数极限,以及研究函数在区间上性质的应用,基本要求：1、理解拉格朗日插值公式和中值定理的证明 2、熟练运用线性插值公式和抛物线插值公式 3、熟练运用拉格朗日中值定理解决函数极限与不等式证明问题 4、用拉格朗日中值定理研究函数在区间上的性质 二、重点研究的问题 1、拉格朗日插值在实际生活中的应用 2、拉格朗日的数值计算算法编程 三、进度安排 序号 各阶段完成的内容 完成时间 1 选题 12 月 25 日 2 收集并阅读资料、文献 1 月 15 号3 月 6 号 3 分析讨论题目，拟好提纲 3 月 7 号3 月 25 号 4 编写算法，写出初稿 3 月 26 号4 月 15 号 5 修改初稿，写出修改稿 4 月 15 号4 月 30 号 6 写出定稿 5 月 4 号5 月 7 号 7 准备答辩 5 月 18 日5 月 23 日 8 答辩 5 月 24 号 四、应收集的资料及主要参考文献 1黄云清，舒适，陈燕萍，金继承，文立平编著的数值计算方法 2由高等教育出版社发行，由陈纪修，於崇华，金路编著的数学分析第二版上册 3由 李庆扬，王能超，易大义编写的 数值分析 第四版版.武汉：华中科技大学出版社,2006 年 4 由李培明编写的.拉格朗日插值公式的一个应用高等函授报（自然科学版）.1999 年第 3期.5 由潘铁编写的中等数学报.2010 年第 10 期.6 由张可村，赵英良编写的数值计算算法与分析M科学出版社 2003 年 湘湘 潭潭 大大 学学 毕业论文（设计）评阅表毕业论文（设计）评阅表 毕业论文（设计）题目：拉格朗日插值及中值定理的应用 评价项目 评 价 内 容 选题 1.是否符合培养目标，体现学科、专业特点和教学计划的基本要求，达到综合训练的目的；2.难度、份量是否适当；3.是否与生产、科研、社会等实际相结合。能力 1.是否有查阅文献、综合归纳资料的能力；2.是否有综合运用知识的能力；3.是否具备研究方案的设计能力、研究方法和手段的运用能力；4.是否具备一定的外文与计算机应用能力；5.工科是否有经济分析能力。论文（设计）质量 1.立论是否正确，论述是否充分，结构是否严谨合理；实验是否正确，设计、计算、分析处理是否科学；技术用语是否准确，符号是否统一，图表图纸是否完备、整洁、正确，引文是否规范；2.文字是否通顺，有无观点提炼，综合概括能力如何；3.有无理论价值或实际应用价值，有无创新之处。综 合 评 价 文章篇幅完全符合学院规定，内容完整，层次结构安排科学，主要观点突出，逻辑关系清楚，有一定的个人见解。文题完全相符，论点突出，论述紧扣主题。语言表达流畅，格式完全符合规范要求；参考了丰富的文献资料，其时效性较强；没有抄袭现象。在研究拉格朗日插值问题和中值定理问题时，给出的具体例证比较完全，相应算法比较简洁明了。评阅人：年 月 日 毕业论文（设计）鉴定意见毕业论文（设计）鉴定意见 学号：2011750224 姓名：周 维 专业：信息与计算科学 毕业论文（设计说明书）19 页 图 表 14 张 论文（设计）题目：拉格朗日插值及中值定理的应用 内容提要：论文引言简单介绍了拉格朗日插值与中值定理的起源以及背景。在论文的第一部分简单的介绍了拉格朗日插值公式的适定性,并详细的介绍了两 种简单的插值公式:线性插值和抛物线插值。通过数值的近似计算算法去实现简单的插 值运算，以及拉格朗日插值在资产评估中的实际应用。分析了插值公式在运算中的优缺 点，以及如何改进。在论文的第二个部分，讲述了拉格朗日中值定理在数学领域中的一些运算应用，如何证明不等式，求函数的极限问题，需要证明其是否满足中值定理的条件，提出假 设的函数，证明原不等式的问题。在最后部分通过拉格朗日中值定理研究函数区间上性 质的问题。例如一阶导数与函数单调性关系，二阶导数与函数凸性的关系。最后在附录部分结合具体算法和流程图比较全面的展示了拉格朗日插值公式的运 算过程。指导教师评语 该生毕业论文主要针对拉格朗日插值公式和拉格朗日中值定理展开研究，具体分析了插值公式的适定性以及中值定理在数学领域中的应用，能够熟练的运用数值算法进行简单的插值逼近的运算，用 C 语言实现了该插值逼近的算法，程序简单明了，理论与实际结合紧密。程序算法流程清晰，文章组织基本合理，图表齐全。在毕业设计及论文撰写过程中，该同学态度端正，学习新知识能力较强，能按时完成预定的各项任务。同意该生参加毕业论文答辩。建议成绩为 指导教师：2015 年 5 月 22 日 答辩简要情况及评语 根据答辩情况，答辩小组同意其成绩评定为根据答辩情况，答辩小组同意其成绩评定为 答辩小组组长：2015 年 5 月 24 日 答辩委员会意见 经答辩委员会讨论，同意该毕业论文经答辩委员会讨论，同意该毕业论文成绩评定为成绩评定为 答辩委员会主任：2015 年 5 月 27 日 1 目录目录 摘要.2 Abstract.2 第一章:引 言.3 1.1 插值逼近Lagrange 插值.3 1.2 中值定理Lagrange 中值定理.3 第二章:Lagrange 插值.5 2.1 Lagrange 插值的适定性.5 2.2 线性插值和抛物线插值.6 2.2.1 线性插值多项式的定义.6 2.2.2 抛物线插值多项式的定义.6 2.3 拉格朗日的数值算法计算（见附录 1）.7 2.4 拉格朗日插值在实际生活中的应用.8 2.4.1 资产的评估公式:.8 2.4.2 理论与实际生活中的联系.8 2.4.3 计算机运行方法分析.9 2.4.4 结论.9 2.4.5 评价与总结.9 第三章：Lagrange 中值定理.11 3.1 Lagrange 中值定理证明不等式.11 3.2 Lagrange 中值定理求极限.12 3.3 Lagrange 中值定理研究函数在区间上的性质.13 3.3.1 一阶导数与单调性的关系.13 3.3.2 二阶导数和函数凸性的关系.14 结束语.16 参考文献.17 附录.18 2 拉格朗日插值及中值定理的应用拉格朗日插值及中值定理的应用 摘要摘要：本文在引言部分介绍了拉格朗日插值公式和中值定理的起源与背景,并给出其证明过程。在正文的第一部分介绍了拉格朗日插值在函数逼近中问题的适定性,以及几种简单插值的定义，通过拉格朗日插值数值计算的相关算法研究其在函数逼近中的应用；第二部分则关键研究拉格朗日中值定理在数学计算过程中的相关应用,例如如何用拉格朗日中值定理去求函数极限，证明不等式，以及研究函数在区间上的性质等。关键词关键词:拉格朗日插值公式 拉格朗日中值定理 函数逼近 数值算法 区间性质 Lagrange interpolation and the application of the mean value theorem Abstract:This article in the introduction part introduces the Lagrange interpolation formula and the origin of the mean value theorem and the background,and gave the proof process.In the first part of the text introduces the Lagrange interpolation of problem in the approximation of function,and the definition of several simple interpolation,numerical calculation by Lagrange interpolation algorithms research its application in the approximation of function;Lagrange mean value theorem in the second part is the key research in the process of mathematical calculations related applications,such as how to use Lagrange theorem to function limit,proving inequalities,and study the properties of the function on the interval.Keyword：Lagrange interpolation formula Lagrange mean value theorem Function Approximation Numerical Algorithm Interval Properties 3 第一章第一章:引引 言言 1.11.1 插值逼近插值逼近LagrangeLagrange 插值插值 函数的逼近在数学领域中是最基本的问题之一，生活中一些复杂的函数()f x，我们很难去求得它的计算公式,我们即必须得用简单的函数()x去近似替代()f x，这种类似的替换方法叫做：函数的逼近。而函数逼近又分为局部逼近和整体逼近，接下来我们研究的便是函数逼近中最常用的Lagrange插值逼近。插值方法的目的是为了寻找一个简单连续函数()x，使得它在n+1个点0 1nx xx处取得定值()()(0,1)iiixyf xin。除开上述点以外，简单连续函数()x可以近似地 表示出函数()f x。用数学的语言表述则是：设()yf x是实变量x的单数值函数，并且已知()f x在给出的n+1个互异点0 1nx xx处对应的数值为01ny yy，即(),0,1,iiyf xin。函数插值的基本性质是找到一个多项式()x，使得(),0,1iixy in。设它是一个m次的多项式，2012()mmxaa xa xa x，其中（ma0）。利用范德蒙行列式可求解上述问题，然后得到满足符合条件的多项式函数就是Lagrange插值多项式。它的表述形式为：0()()()()nniiiiiw xL xyw xxxxxx （1.1.11.1.1）00()()niw xxx （1.1.21.1.2）011()()()()()iiiiiiniw xxxxxxxxxxxxx （1.1.31.1.3）1.21.2 中值定理中值定理LagrangeLagrange 中值定理中值定理 微分中值定理是一系列中值定理的一个通用术语，是微分学中最基本的定理，也是应用数学中研究函数在区间上整体性的强有力的工具，而这里向大家介绍的Lagrange中值定理则是微分中值定理的核心部分。可以说，其他中值定理则是Lagrange中值定理由一般到特殊的推广，而Lagrange中值定理本身在理论和实践上都具有很高的研究价值，4 本文主要探讨了拉格朗日定理的应用，并通过具体实例来证明不等式和研究函数在区间上的性质。（Lagrange中值定理）设函数()f x在闭区间,a b上连续，在开区间,a b上可导，那么至少有一点(,)a b，使得()()()f bf afba 首先我们来简单证明一下Lagrange中值定理：作一个辅助函数：()()()()()(),(,)f bf axf xf axa xa bba （1.2.11.2.1）由于函数()f x在闭区间,a b上连续,在开区间,a b上可导，所以函数()x也在闭区间,a b上连续，在开区间,a b上可导，并且有：()0()ab 于是运用Rolle定理，则知道至少存在一个点(,)a b，使得()0。对()x的表达式求导，并使()0 对（1.2.11.2.1）求导可得：()()()()f bf axfxba 当x，()0 时可得出 ()()()f bf afba。证明完毕 Lagrange中值定理的条件的任何一个都不满足时，这个定理是不成立的，见例题例题1 1 例例1 1：令()12xf x ，(0,1)0,1xx()f x在0,1上不连续，在0,1上可导 12 但不存在(0,1)使得(1)(0)()01 0fff 即 0 1 Lagrange中值定理的结论不成立。在第三章中，将会陆续的介绍Lagrange中值定理在证明不等式，求函数极限，以及研究函数在区间上性质中的应用。5 第二章第二章:Lagrange:Lagrange 插值插值 2.12.1 LagranLagrangege 插值的适定性插值的适定性 在引言部分，我们已经给出了Lagrange公式的具体表达式，接下来将证明Lagrange插值问题的解存在且唯一。首先来证明Lagrange插值解的存在性存在性。：为此我们需要构造一个特殊的插值多项式inlP，满足条件：0(),1iki kl x，ikik (2.1.12.1.1)其中，,0,1,i ki kn我们称为kerKronec（克罗内克）符号。由(2.1.12.1.1)可知()kx ki是n次代数多项式()il x的n个零点。所以()il x也可以表达成：011()()()()()iiinl xc xxxxxxxx 其中c为待定常数。（2.1.22.1.2）我们先令()iil x=1，容易求出：1011()()()()iiiiiincxxxxxxxx （2.1.32.1.3）于是将（2.1.32.1.3）代入到（2.1.22.1.2）中可得到 011011()()()()()()()()()iiniiiiiiinxxxxxxxxl xxxxxxxxx （2.1.42.1.4）利用上述函数()il x，容易验证出：0()()nni jjL xyl x （2.1.52.1.5）从而满足插值条件：()niiL xy ，0,1,in 存在性得证存在性得证 其次证明唯一性唯一性：设n次多项式()nL x和()nQ xLagrange插值问题的解，则有表达式：()()()niniiL xQ xf x 0,1,in 由该等式，可记()()()nnG xL xQ x，则有()nG xP，并且()0iG x，0,1,in 即()G x有1n个零点，由高等代数上的基本知识点可知，如果一个n次代数多项式至少存在有1n个根，则它的表达式一定恒为零，因此()0G x，即()()nnQ xL x 唯一性得证唯一性得证 6 2.22.2 线性插值和抛物线插值线性插值和抛物线插值 2.2.1 2.2.1 线性插值线性插值多项式多项式的定义的定义 假定已知区间01,x x的端点处的函数值为00()yf x，11()yf x，并要求线性插值多项式1()L x使它满足以下两个条件：100()L xy，111()L xy 1()yL x的几何意义是：通过两个点00(,)xy和11(,)x y的直线，如图1所示 1()L x的表达式可由几何意义直接给出：1010010()()yyL xyxxxx （点斜式）1y 011010110()xxxxL xyyxxxx（两点式）0y 由两点式方程可以看出：0 x 1x 1()L x由两个线性函数1001()xxl xxx，0110()xxl xxx的线性组合得到，（图1）其中系数分别为01,yy，1()L x0011()()l x yl x y。显然0()lx和1()l x是插值多项式。在节点0 x和1x满足以下条件：00()1l x，01()0l x，10()0l x，11()1l x 称函数0()lx和1()l x为一次插值基函数或线性插值。图像如下：1 0()lx 0 0 x 1x 2.2.2 2.2.2 抛物线插值抛物线插值多项式多项式的定义的定义 当2n时，假设节点插值为1ix，ix，1ix，二次的插值多项式为2()L x，以使其满足条件：2()jjL xy（1,1jii i），其2()yL x的几何意义是：通过三点11(,)iixy，(,)iix y，11(,)iixy的抛物线。111111()1,()0(,1)()1,()0(1,1)()1,()0(1,)iiijiiijiiijlxlxji il xl xjiilxlxjii 例如1()ilx，因为它有两个零点1,iix x，故可以将它表示成1()ilx。7 由11()1iilx，得 1111()()iiiicxxxx。所以：11111()()()()()iiiiiiixxxxlxxxxx。同理：111()()()()()iiiiiiixxxxl xxxxx ，11111()()()()()iiiiiiixxxxlxxxxx 函数11(),(),()iiilx l x lx称为二次插值基函数或抛物插值基函数。在区间11,iixx上的图像为：1()ilx ()il x 1()ilx （图2）基于抛物线插值函数11(),(),()iiilx l x lx可以立即得到抛物线插值多项式：21111()()()()iiiiiiL xlx yl x ylx y 显然它满足条件2()()jjjL xlx y（1,1jii i）即：11112111111111()()()()()()()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxL xyyyxxxxxxxxxxxx 2.32.3 拉格朗日的数值算法计算（见附录拉格朗日的数值算法计算（见附录 1 1）下面将用具体的实例,来演示Lagrange插值公式的算法,给出一个简单求函数逼近的例子：已知10010,12111,14412，试分别用线性插值和抛物线插值公式求出125的近似值。由于在上面章节中介绍了线性插值公式和抛物线插值公式，只需要套入公式即可求出125的近似计算值，接下来我们用算法，同样也能求出其近似值。第一步：首先我们输入节点个数2 第二步：我们通过算法输入插值节点数（121，11）、（144，12）第三步：我们输入需要求出的节点125 第四步：运算求出结果（结果如下所示）8 通过上述方法，我们同样可以求出当节点数为三个的时候，125的近似值，其计算结果如下图所示。通过查表和计算器计算可得125的近似值为11.1803398，经过比较上述结果可知，插值节点个数越多，求得的结果越靠近其实际值，但插值公式也存在明显的不足，如果增点一个新的节点，那Lagrange因子也必须重新计算，影响了实际的工作效率，在实际中输入的插值节点个数越多，虽然求得的数越精确，但是也会变得相当繁琐。2.42.4 拉格朗日插值在实际生活中的应用拉格朗日插值在实际生活中的应用 2.4.12.4.1 资产的评估公式资产的评估公式:资产资产=重置所有价格大幅贬值重置所有价格大幅贬值-功能性贬值功能性贬值-经济性贬值的价值经济性贬值的价值 它的意义在于,资产评估在利用现时的条件下,被评估的资产在全新状态下的重置资本减去各种陈旧贬值后的差额作为被评估资产的现时价值。（引用于百度百科百度百科）2.2.4.24.2 理论与实际生活中的联系理论与实际生活中的联系 假设某类电子设备的1n的功能参数和价格，及已知晓该电子设备的功能参数：01,nx xx，其对应的价格参数为：01,nyyy。x 0 x 1x 2x nx y 0y 1y 2y ny 由图标关系看出功能参数与及格的函数关系为：()yf x 假设在参数区间内存在一条代数多项式的函数曲线，在函数曲线上所有的数值都满 9 足一一对应关系，用函数曲线作为()yf x的模拟曲线，这就是我们用到的Lagrange插值法。利用这条曲线，输入新的插值点，即可重置成本的参考价格。如右图所示：而拉格朗日插值多项式为：0110011()()()()()()()()()niinniiiiiiiinxxxxxxxxL xyxxxxxxxx 令1,2nn时可分别得到线性插值和抛物线插值。如下图所示：2.4.32.4.3 计算机运行方法分析计算机运行方法分析 根据上述分析，如若电气设备的信息点越多，曲线的拟合度就变得越加复杂，而评估的准确率就会更高，计算公式就会变得相当复杂，这时我们需要借助计算机。把Lagrange表达式化成:00()()nnjniijijjixxL xyxx 由上述公式和2.3中的数值算法可以画出一个程序框图,见附录附录2 2 2.4.42.4.4 结论结论 由以上程序框图分析可知,采用Lagrange插值法计算设备的功能重置成本,计算精度较高,方法快捷。但是,由于上述方法只能针对可比性较强的标准设备,方法本身也只考虑单一功能参数,因此,它的应用范围受到一定的限制。作为一种探索,可将此算法以及其他算法集成与计算机评估分析系统中,作为传统评估分析方法的辅助参考工具,以提高资产价值鉴定的科学性和准确性。2.4.2.4.5 5 评价与总结评价与总结 Lagrange插值方法是最基本的插值方法，拉格朗日插值公式是对称的，容易记忆，y=f x()yxyny2y1y0 xnx2x1x0oy=f x()y1y0 x1x0oyxy2x2y=f x()y1y0 x1x0oyx 10 理解，在了解，证明，应用Lagrange插值公式的过程中，不仅要注重理论知识，更加要应用到实际生活中去，不仅只有大学才能用Lagrange公式来解决各种问题，高中的部分问题用Lagrange插值公式来解决会更加方便快捷，尤其是线性函数和二次函数方面。对于高阶函数来说，我们并不了解它的特性，而L a g r a n g e插值公式却能轻易解决这个问题。11 第三章：第三章：LagrangeLagrange 中值定理中值定理 3.1 Lagrange3.1 Lagrange 中值定理证明不等式中值定理证明不等式 Lagrange中值定理的表达式为()()()f bf afba。它在几何上的意义表示，在曲线上，点处切线的斜率。由于是区间,a b上的一点，设(0,1)。使得 ()()()f bf afababa。（其意义为()aba可以表示区间,a b任意一点）证明不等式得遵循以下四个步骤：第一：观察不等式是否能转化成Lagrange公式的形式 第二：在满足条件可以变形之后，需要根据已知的题目设出合理的()f x 第三：验证所设()f x是否满足Lagrange中值定理 第四：利用()fx满足的不等式来证明原题中的不等式 下面列举两个简单的例题，用Lagrange中值定理证明不等式。例题例题1 1：求证sinsinxyxy成立。证：首先令()sinf xx，则()cosfxx 利用Lagrange中值定理()()()f bf afba 就可将上述式子变成 sinsincosxyxy xy cos()sinsinxyxy 对上式左右两边取绝对值 cos()sinsinxyxy 即 cossinsinxyxy 同时由于 cos1 所以原不等式成立 例题例题2 2：已知0ab，求证1ln1abbbaa 证：首先令()lnf xx，则1()fxx 由于()f x在闭区间,a b上连续，在开区间(,)a b上可导，所以()f x满足Lagrange中值定理的条件。根据Lagrange中值定理公式有：1lnlnbaba 1()lnlnbaba 因为ab 所以111ba 12 在上述不等式的三项同时乘以一个ba lnlnbababababa 由此原不等式得证 3.2 Lag3.2 Lagrangerange 中值定理求极限中值定理求极限 由于用Lagrange中值定理求极限与3.1中证明不等式的步骤略有相同，在下面将介绍几个常见的求极限的例子。例题例题1 1：lim(cos1cos)xxx 证：首先令()cosf xt，当0t 时，在区间,1x x满足Lagrange中值定理的条件。1cos1cossin12xxxx 1sincos1cos2xx ,1x x 1lim(cos1cos)lim(sin)02xxx 例题例题2 2：设函数()fx是连续的，()0fa 有公式：()()(),(01)f axf axfax，当0 x，试求的极限。由于函数()f x的二阶导数在区间,a ax或,ax a上是连续的，所以()fx在区间,a ax或,ax a也是连续的，所以()fx满足Lagrange中值定理的条件。对()fx用Lagrange中值定理：1()()()faxfafaxx （101）将上式代入题目中的式子21()()()()f axf axfaxxfa （1）将()f ax用Taylor公式展开：21()()()()2f axf axfax fax （2）利用（1），（2）两个式子：221()12xfaxx fax 则有：00011()1()1limlimlim2()2()2xxxfaxfafaxfa 13 3.3 Lagrange3.3 Lagrange 中值定理研究函数在区间上的性质中值定理研究函数在区间上的性质 3.3.1 3.3.1 一阶导数与单调性的关系一阶导数与单调性的关系 函数()f x在区间(,)上单调增加的充分必要条件为：对于任意的(,)x ，都有()0fx。（特别的，对于(,)x ，都有()0fx，我们称其为严格单调递增）由Lagrange中值定理：设12,x x为区间(,)上任意两点，且12xx，则有 1221()()()f xf xfxx 由于210 xx，()f和12()()f xf x是同符号的，所以当()0f或()0f时，同样存在12()()0f xf x或12()()0f xf x。又因为12,x x是(,)上任意的两个点。则可知道，()f x是单调递增或者是严格单调递增的。充分性得证 设x为区间(,)上任意的一个点，函数()f x在区间(,)上单调增加的。所以对于任意的一个(,)kx （kxx），有：()()0kkf xf xxx 由保序性，当kxx时，有()0fx 必要性得证 例题例题1 1：证明不等式2ln(1),02xxxx x 令()ln(1)f xx,且在(0,)上连续且可导,则用Lagrange中值定理有:(1)(1)()11fxffx 1(1)(1)1xfxf 再令 2()ln(1)()2xg xxx(0)x 对()g x求导:21()(1)011xg xxxx 故()g x是(0,)上是严格单调递增的。又因为：(0)0g 故：()(0)0g xg 即：2ln(1)(0)2xxxxx 14 3.3.2 3.3.2 二阶导数和函数凸性的关系二阶导数和函数凸性的关系 首先在这里给出一个定义：设函数()f x在区间(,)上有定义，在(,)任取两个点12,x x和任意的(0,1)都有以下关系式：1212(1)()(1)()fxxf xf x 则说明()f x是一个下凸的函数，如果等号不成立，则()f x是一个严格的下凸函数。接下来我们研究二阶导数与凸性之间究竟存在着什么样的关系。我们令()f x在区间(,)上是二阶可导函数。则()f x在区间(,)上是下凸函数的充分必要条件是：对于任意一个x(,)，都有()0fx恒成立。首先证必要性：因为()f x是(,)一个上凸函数，根据定义，对于任意一个x(,)和0，如果x和x都属于区间(,)，则有：()(1)()()(1)()f xf xfxx 我们令12，则上式可以推成：()()11()()222f xf xfxx()f x 所以有 ()()()()f xf xf xf x 由特殊到一般，对于任意的两个12,x x为区间(,)上的两个点，且满足12xx，令21xxxn。反复使用上式结果，则可以推导出：由于 22()(2)(2)(3)nnnnf xxf xxf xxf xx (1)()nnf xnxf xn x 11()()f xxf x 所以式子可以化成2211()()()()()nnnnf xxf xf xxf xxx ()f x在点12,x x处是可导的。对两边式子求极限：2211()()()()limlim()nnnnnnf xxf xf xxf xxx 就有：n，0nx便有21()()fxfx 即()f x的一阶导在区间(,)上是单调递增的。因此()f x的二阶导数在区间(,)上是非负数的。即()0fx ，(,)x 。然后证明充分性：如果()0fx，(,)x ，则()f x的一阶导数在(,)上是单调递增的。对于区间(,)上的任意两个点12,x x，有一个(0,1)。使得12(1)kxxx，这个式子的意义是kx能表示区间12(,)x x的任意一个点。且112(1)()kxxxx，221()kxxxx，在区间1,kx x和2,kxx用Lagrange中值定理有，15 111()()()kkf xf xfxx 222()()()kkf xf xfxx 利用上述两个式子可以得到：111()()()()kkf xf xfxx 222()()()()kkf xf xfxx 又因为()f x的一阶导数是单调递增的，所以存在下列不等式：11()()()()kkkf xf xfxxx 又因为112(1)()kxxxx 所以：112()()(1)()()kkf xf xfxxx （1）同理可推出：221()()()()kkf xf xfxxx （2）用（1）乘上加上（2）乘上1，则可以得到：12()(1)()()kf xf xf x 而12(1)kxxx 所以：1212()(1)()(1)f xf xfxx 由定义知道()f x在区间(,)上是一个下凸函数。16 结束语结束语 在数学领域中,Lagrange插值公式与Lagrange中值定理扮演着一个重要的角色，在经过了近一两个月的探索中,我已经熟练的掌握了Lagrange插值公式与Lagrange中值定理，并结合其去解决生活中的一些数学问题。而在更深层次的领域中，例如水流路径的算法研究，力学平衡方面的应用等一些生活问题，都能见识到Lagrange公式的身影。这也需要我们更多的去学习以及挖掘出公式的实际应用。17 参考文献参考文献 1黄云清，舒适，陈燕萍，金继承，文立平.数值计算方法M.第一版.北京：科学出版社，2012.6 2陈纪修，於崇华，金路.数学分析M.第二版.北京：高等教育出版社，2011.9 3李庆扬，王能超，易大义.数值分析M.第四版.武汉：华中科技大学出版社,2006 年 4李培明.拉格朗日插值公式的一个应用M.高等函授报（自然科学版）.1999 年第 3 期.5潘铁编.浅谈应用多项式的拉格朗日插值公式解题中等数学报M.2010 年第 10 期.6张可村，赵英良.数值计算算法与分析M.科学出版社2003年 18 附录附录 附录附录 1 1：/*计算方法拉格朗日插值公式*/#include Stdio.h#include Conio.h int main(void)float X20,Y20,x;int n;void input(float*,float*,float*,int*);float F(float*,float*,float,int);input(X,Y,&x,&n);printf(F(%f)=%f,x,F(X,Y,x,n);getch();return 0;void input(float*X,float*Y,float*x,int*n)int i;printf(请输入插值节点的个数:);scanf(%d,n);printf(n 请输入各个插值点的坐标:n);for(i=0;i*n;i+)scanf(%f%f,X+i,Y+i);printf(n 请输入插值点 X=);scanf(%f,x);19 float F(float*X,float*Y,float x,int n)int i,j;float Lx,Fx=0;for(i=0;in;i+)Lx=1;for(j=0;jn;j+)if(j!=i)Lx=Lx*(x-*(X+j)/(*(X+i)-*(X+j);Fx=Fx+Lx*(*(Y+i);return Fx;20 附录附录2 2：开开 始始 输入输入 x,y,n,i,j,F,L i=0,F=0 L=1 j=0 ji?*()/()jijLLxxxx j=j+1 jn Y N Y*iFFL y i=i+1 inY 输出输出 F 结结 束束 N