法国IS版小学数学教科书中尺规作图内容编写的启示.pdf

2023.9下半月 数学2022年版课标在小学阶段新增尺规作图内容，不仅对教师的教与学生的学提出了新的要求与挑战，也是新一轮小学数学教科书修订的关键内容之一。作为小学阶段新增热点，新版教科书的编写必须明晰尺规作图在促进学生数学思考的严谨性、理解图形特征、探索几何规律、发展推理意识等方面的重要价值，还要在教科书中体现尺规作图的教学路径、学理意蕴。法国是世界数学强国之一，这与其出色的数学教育有关。基于此，我们选择法国伊斯塔（ISTRA）版小学数学教科书（以下简称IS版教科书），探讨其尺规作图内容的编写特点，以期对我国教科书中相应内容的编写及教学提供启示与借鉴。一、IS版教科书中尺规作图内容的编写结构（一）法国 数学课程大纲（2021年版）尺规作图的内容要求。法国 数学课程大纲（2021年版）以促进学生问题解决能力发展为宗旨，强调问题解决是数学活动的核心，并提出聚焦能力的六大课程目标：探索、建模、表征、推理、计算、交流。法国 数学课程大纲（2021年版）将小学一至五年级划分成两个学段：其中一至三年级为基础学段，关注学生学习的基础性与渐进性，其主要任务是使学生掌握必要的基础知识和基本技能；四至五年级为巩固学段，具有双重任务，一是巩固前一学段的知识，二是实现小学和中学的顺利衔接。该课程大纲为法国小学数学课程提供了方向指引。法国小学数学共有三大学习领域数与计算、量与测量、空间与几何，其中与尺规作图相关联的内容编排在空间与几何领域。表1呈现的是小学两个学段中与尺规作图相关联的表述：表1法国 数学课程大纲（2021年版）中小学阶段与尺规作图相关的内容学段第一学段（一至三年级）第二学段（四至五年级）内容1.学会使用直尺、圆规、直角尺等作图工具2.了解图形和作图工具之间的关系，包括直线、对齐与无刻度直尺之间的关系，直角与直角尺之间的关系，圆与圆规之间的关系3.认识并根据已知条件用圆规作圆1.用直尺和圆规作三角形2.用尺规作图的方法作菱形3.能够写出作图步骤，能够根据给出的步骤作图形第一学段，不仅强调学生要学会使用作图工具，也重视学生对几何图形和几何工具之间关系的理解，并不局限于图形的认识。同时法国 数学课程大纲（2021年版）还明确提出“用带刻度的直尺或圆规将已知线段画到一条直线上”，以及“用直尺和圆规作等长线段并比较”，意在用直尺和圆规作一条与给定线段长度相等的线段，让学生了解圆规定长的本质，为尺规作图的深层次学习奠定基础。第二学段，明确提出从五年级开始，学生应能够对图形的特征与图形的关系进行推理，如“使用直尺和圆规作三角形”的学业要求，其实读教究材研法国IS版小学数学教科书中尺规作图内容编写的启示孙兴华时迎卫郑佳262023.9下半月 数学际内容包括利用圆规和无刻度直尺作三角形以及菱形的内容，对学生尺规作图的学习提出了更高的要求。同时要求学生能够“执行、补全或写出作图的构思程序”，这既要求学生会作图，又要求学生能写出作图过程，以此提高学生的操作能力和促进其几何语言的发展。（二）IS版教科书中尺规作图内容的编写结构。法国小学是五年制，一个学年上、下学期使用一本教科书。IS版教科书中有关尺规作图的内容编排在第一学段的三年级和第二学段的五年级，具体如表2：表2IS版教科书中与尺规作图相关的内容年级三年级五年级课时主题圆尺规作三角形尺规作直角三角形根据要求作出图形内容认识并根据已知条件用圆规作圆已知三边作出三角形已知两边和一角作出直角三角形利用尺规作图的方法作出菱形IS版教科书中有关尺规作图内容的编排特征非常明显，主要表现在以下几个方面：第一，尺规作图的内容编排集中在三年级和五年级。其中五年级编排的内容是比较多的，包括利用尺规作出三角形以及菱形的内容。教科书以知识模块的形式将相关内容编排在一起，形成大单元学习内容，能更加集中且有结构地编写相关内容，增强对学科知识内容本质的关联。另外，在知识点数量、任务难度上五年级与三年级是衔接的，且体现为螺旋式上升。第二，尺规作图内容编排的侧重点是作三角形。在五年级，教科书专门编排了作三角形和作直角三角形的章节，学生通过两整章的内容，学习用尺规作三角形，体会三角形形成的过程，以及三角形边与边之间的关系，感受圆规画弧的重要价值。这部分内容的编写指向提高学生的动手能力，发展几何直观、想象力和推理意识。第三，尺规作图内容的编排体现出图形的关联与进阶。以圆的内容为例，IS版教科书中关于圆的作图内容分布在两个年级。三年级开始编写对圆的初步认识，先是从生活实物中感知圆，然后认识抽象出来的圆；接着就进入圆作图的学习，第一步不借助工具直接用手画圆，然后过渡到使用圆规画圆，使用圆规画圆时，刚开始不给圆心，任意画，然后给定圆心画圆。到了五年级，圆的内容首先编写“圆心到圆上任意一点的距离相等”这一性质，在此基础上，利用尺规作图探索菱形四边等长的特征。这样的编写体现出图形之间的关联，以及作图知识与技能的进阶。第四，尺规作图内容的编排注重作图流程的构思与表达。如五年级涉及的作图内容：一是根据文字要求按给定的构思流程作图，这时的作图通常将不同图形组合起来，具有一定的复杂性，对学生的作图技能要求较高，如图1；二是反过来，要求写出作图构思的流程，每一步都要用文字准确表达并写出来，如图2。这样编写尺规作图步骤和流程的操作，使学生能从正向思维和逆向思维两个方面感受作图，有利于学生加强对作图原理的探究、对作图方法的探索，能培养学生的程序化思维和严密的逻辑推理能力。按照步骤画出图形。画一条直线d。将点C和点D放在直线d上，使CD=7cm。画一个圆心为D、半径为4厘米的半圆。画一个圆心为C、半径为6厘米的圆弧，与半圆交于点E。连接CE、DE。三角形CED的边长分别为多少？CEDd图1IS版教科书中五年级“按给定的构思流程作图”图2IS版教科书中五年级“写出作图构思的步骤”二、IS版教科书中尺规作图内容的编写特征（一）尺规作图“痕迹化”厘清尺规作图的操作路径。教标解材研究272023.9下半月 数学在尺规作图的过程中，学生需要进行更复杂的思考，从而逐步理解几何图形的性质，为此，IS版教科书通过呈现出完整的作图过程并对其进行解释，让学生理解作图背后的含义，以此促进学生几何直观能力的发展。小学生使用圆规和直尺进行作图时，往往会发生“不知道下一步需要干什么”的情况，所以IS版教科书给出尺规作图的具体构思流程，并给出具体的说明，这对小学生学习尺规作图具有指导性，也反映出IS版教科书对这个内容的处理理念：强调学生对尺规作图步骤的系统掌握，运用文字与作图可视化呈现形式，把尺规作图的构思与操作具体流程完整再现，关照到了小学生作图的认知水平，为学生掌握尺规作图的技能提供支架。如图3所示，IS版五年级教科书中编排了“用尺规作出三角形”的内容，并要求找出三角形的高。IS版教科书将“画出三角形”分成了六个步骤，采用图文的形式呈现具体操作流程，包括：第一步引导学生画出线段，第二、三步要求学生使用圆规分别画出两条圆弧，第四步要求学生连接点得到三角形的另外两边，第五、六步为指导学生画出三角形高的过程。文字说明与具体操作流程相结合的呈现方式，使得整个流程有迹可循，学生在模仿操作过程中也可做到有理有据，为学生自主学习作图技能提供学习资料。按照说明画出三角形。三角形的底BC为8厘米，边AB为5厘米，边AC为8厘米。按照以下步骤画出三角形与三角形的高。画出8厘米长的线段BC。点A与点B相距5厘米，画出一条圆心为B、半径为5厘米的圆弧，点A为圆弧上的一点。点A与点C相距8厘米，画出一条圆心为C、半径为8厘米的圆弧，点A为圆弧上的一点。点A为两条圆弧的交点，连接AB与AC。沿边BC拖动直角尺。拖动直角尺到点A,标记点H。图3IS版教科书中尺规作三角形（二）尺规作图“做中学”问题驱动学习与思考。IS版教科书编写体现出以问题为导向、以任务为驱动，激发学生对尺规作图的兴趣，增强学生对尺规作图的求知欲。尺规作图作为一种操作性知识，本身具有在做中学的特质，对发展学生学习的主动性、培养学生的创造性以及加深学生对图形本质的理解都有重要作用。法国课程大纲把问题解决作为数学的核心，IS版教科书以问题为导向编写，在尺规作图内容的编写中通过提出问题，引导学生动手操作，在“做”的过程中直观感受图形的运动，并进行抽象的逻辑思考。在利用尺规作出菱形的内容中，IS 版教科书将作图与学习菱形的特征联系起来，采用提出问题与布置任务的呈现方式，让学生基于作图感受图形的本质特征。如图4，第一步，教科书给学生呈现尺规作菱形的流程；第二步，提出问题让学生思考，探索菱形的特征；第三步，检查呈现的图形是否完全根据说明作出的，并按照此流程重新作出图形；最后，引导学生探索菱形对角线的特征。学生在“做”中探索学习菱形的特征，加深对图形特征的理解，同时通过问题驱动探索图形的本质。流程:画出长为6cm的线段AC。画出一个圆心为A、半径为4厘米的圆。画出一个圆心为C、半径为4厘米的圆。B、D为两个圆的交点。连接AB、BC、CD、AD，连接BD。按照操作流程画出图形。完全按照操作流程画图了吗？四边形ABCD有什么性质？AC和BD在四边形ABCD中是什么？图4IS版教科书中尺规作菱形IS版教科书还非常重视习题的编写，通过一定量的习题帮助学生熟练掌握尺规作图的技能。这也符合尺规作图操作性强的特点，学生必须进行多次重复的专门练习才能达到掌握水平。教科书匹配了一定量的尺规作图习题，在每一节之后都会编排对应相同的知识点但难易程度不同的习题供学生练习使用。习题分成A、B两栏，A栏的问题较为基础，与新知呈现的问题同属一个难易程度水平；而B栏的问题较为复杂，需要学生在掌握 A 栏问题解决方法的基础上进行探索完成，属于探读教究材研282023.9下半月 数学究性的学习任务。这种编排方式保证了学生掌握尺规作图所必需的练习量，但又不局限于机械重复的练习，兼顾基础与拓展的功能。如图 5 所示，作出直角三角形并进行测量，A 栏编排了作出一个直角三角形，B 栏则编排作出由两个或三个直角三角形组合而成的图形。这种关联进阶的编排能进一步促使学生探究图形之间的关系，体会到尺规作图不仅是一项技能，还能通过作图探索图形的特征、关系和规律。B2.使用圆规、直尺等工具画出直角三角形。A1.使用圆规、直尺等工具画出直角三角形。A2.使用圆规、直尺等工具画出直角三角形。B1.使用圆规、直尺等工具画出直角三角形。5cm8cm7cm5cm10cm5cm8cm6cm4cm4cm4cmABCDFEBCDAABCDE图5IS版教科书中尺规作图的练习题（三）尺规作图“丰富化”内生兴趣的萌芽。教科书是培养学生学习兴趣、促进学生养成良好习惯的重要文本材料。IS版教科书注重通过所给的文本材料，引导教师在实际教学中，不仅期望学生能理解尺规作图的特征及相关概念，掌握作图的技巧，还重视培养学生对尺规作图的学习兴趣。尺规作图对小学生的抽象思维与动手能力有着很高的要求，三年级学生处于前运算阶段，五年级学生刚刚进入形式化运算阶段，如何平衡学生的认知心理发展与尺规作图的操作严谨性呢？IS版教科书在编排尺规作图相关内容时，通过引入历史趣事及丰富的图形内容来吸引学生，让学生在探索过程中感受图形的变化美，进而对挑战性的作图内容充满好奇心，内生兴趣的萌芽。在五年级“圆的认识”这一主题中，如图6所示，IS版教科书通过介绍自行车的历史，呈现特殊形状的自行车引入圆的内容，并提出了两个问题引导学生探索圆的特征。首先，要求学生动手标出轮子的圆心、测量轮子的半径，引导学生认识圆及其组成部分，发现圆的所有半径相等这一特征；其次，将圆放到方格纸中，让学生数出将要画出的圆的半径；最后，给出画圆的具体步骤，引导学生画出圆。通过问题探索发现圆的特征，同时搭配历史图画作为导入，既能够激发学生的兴趣，所获得的直接经验又能使学生对圆的认知更加深刻。A.撒尼尔发现了自行车的祖先:Le grand-bi!每个轮子都是由辐条支撑的。在照片中标记这辆自行车轮子的圆心，并测量轮子的半径，你能发现什么？B.按照步骤画出自行车的轮子。半径OA在方格纸中占几个格子？将圆规的尖端放在点O，根据半径的长度展开圆规，并画出圆。OA图6IS版教科书中五年级圆的认识尺规作图是一种操作性知识，操作性知识的特点就是通过重复的练习能够达到熟练的程度。但是机械性练习不仅不能促进学生学习，反而会淡化学生的学习兴趣，因此尺规作图的练习应避免单一化。如图7所示，IS版教科书在保证练习量的同时，编排了不同类型的图形。首先，这些图形都是学生学习过的图形，都需要学生利用尺规作图的方法画出图形；其次，这些图形形状丰富，既能避免学生因重复练习画出一种图形感到无趣，又需要学生在“跳一跳”的基础上完成任务。教标解材研究292023.9下半月 数学图7IS版教科书中尺规作图的练习题三、IS版教科书中尺规作图内容编写启示尺规作图作为新增加的内容，教师和学生在实际教学过程中难免会遇到困难，我们期望教科书能有高质量的尺规作图内容，给教师的教学提供充分指引，给学生提供翔实的学习资源。探讨法国IS版教科书中尺规作图内容编写的特色，结合我国小学数学课程尺规作图内容的要求，获得以下思考与启示。（一）以“做”为基础，以“创”为延伸。IS版教科书中尺规作图内容编写充分体现了以“做”为基础，注重通过学习资料引导学生对尺规作图的操作性理解，让学生在实践中掌握尺规作图的操作性技巧。尺规作图作为一种操作性知识，本身带有在做中学的特质，所以，让学生在做的过程中获得知识与技能是非常重要的。通过动手操作获取直接经验，亲身经历思考验证的探索过程，发展学习的主动性与自主性。IS版教科书以问题为导向编写尺规作图的内容，体现引导学生探究尺规作图的深层意蕴，能够加深学生对图形本质的理解，感悟数学的严谨性。因此，教科书在尺规作图的编写中要创设可以实践操作、自主探究的问题情境，让学生在发现问题、思考问题、动手操作的过程中完成作图任务。以“创”为延伸，注重发展学生的创造性思维，创生对图形的新思考。创中学是做中学的进一步发展，是学生在掌握尺规作图基本技巧的基础上，打破思维定式，有创意的学习方式。尺规作图本身就是一种推理性活动，本身就具有“创”中学的特征，比如大多数学生对圆规的认识局限于画圆，而圆规的本质特征是定长，所以让学生探索圆规的其他功能或创造画圆的其他方式，能够促进学生创造性思维的发展。教科书在尺规作图内容编写的过程中，也应该编排情境式、挑战性、跨学科的内容供学生探索，让学生掌握解决问题的万能之钥，比如除了让学生通过木棒、绳子等实物发现三角形三边关系，还可以引导学生利用尺规作图的方法进行探索；或者在学生学习完尺规作三角形之后，让学生创造更多组合图形。（二）操作路径直观化，作图过程可视化。尺规作图作为小学阶段新增加的知识点，具有操作性和抽象化的特点，往往会造成学生难理解、不会操作，因此教科书在呈现相关知识时应直观呈现操作路径，完整保留作图痕迹，展现尺规作图的全貌，并呈现出必要的操作步骤。IS版教科书在编排尺规作图的内容时，简化复杂的操作，重点关注细节，并着重放大一些细微操作，使学生的尺规作图有迹可循。可视化的操作流程不单指教科书的呈现直观化，还应该包括学生作图过程的痕迹化。学生的作图痕迹能直观地呈现出学生在操作过程中的思考路径，使其具体操作流程一目了然，既有利于同学之间交流，又有利于教师帮助学生改正错误作图操作。小学生正处于形象思维时期，因此教科书在呈现程序性、操作化的知识时不宜过度书面化，期望我国新版小学数学教科书在编写尺规作图的内容时，能够注重作图痕迹的呈现，必要时采取不同颜色标注，放大细微操作，关注细节编写以及呈现真实照片等处理方式，为学生学习尺规作图厘清思路。此外，信息技术的发展为呈现尺规作图的内容提供了新的路径，应充分考虑这些技术的支持，积极探索作图软件、视图编程等教学工具发挥的作用。（三）注重关联与构思，关照作图过程表达。IS版教科书中尺规作图的内容并不是简单指向作图活动与技能，而是将作图与图形的认识和特征探索相关联，通过作图加强学生对几何图形的认知，强化知识间的内在关联。IS版读教究材研302023.9下半月 数学教标解材研究信息与动态小学教学 编辑部精心策划的“全国小学数学名师最新教学案例专号”（2023年第7-8期合刊），精彩看点如下：【看点一】2022年版课标确定了核心素养导向的课程目标，并提出“改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联”。本专号中的 单元整体教学研究专辑 刊登的就是各位老师关于单元整体教学的最新研究和尝试，期望能给大家带来一些启发。【看点二】本专号收录有马云鹏、刘德武、吴正宪、刘加霞、黄爱华、俞正强、张齐华、苏明强、章勤琼、钱守旺、钱金铎、罗鸣亮、陈庆宪、朱国荣、朱德江、唐彩斌、蔡宏圣、许卫兵、牛献礼、位惠女、马宇、周卫东、姜荣富、刘松等名师、专家的最新课堂教学案例或课例点评，堂堂精彩，篇篇实用，引领性强，是一线教师设计教学、教研员指导优质课、师训机构培训教师的重要参考资料，可借鉴、可收藏。【看点三】2022年版课标提出，小学阶段核心素养的主要表现有11项，并分别界定了它们的内涵、表现与作用。那么在具体的教学中，教师该如何培养学生的核心素养呢？这就需要研究与具体教学内容相对应的核心素养的具体表现，并划定一定的表现层级，制订相应的评价标准。刘加霞教授及其团队开展了相关研究，本刊将陆续刊发他们的最新研究成果。【看点四】本专号的封面人物彭纲老师是理学博士，新世纪小学数学教材编委，近年一直从事北京市中小学数学教师在职培训工作，在多项市级培训项目中担任研修班的首席专家或指导教师。本专号中的 人物聚焦 栏目呈现了彭纲老师的个人成长经历、个人及其团队的研究成果。本专号可扫描下面的二维码单独订阅。每本定价20元，快递费5元，一次性订阅5本以上免收快递费。另外，小学教学 2023年上半年合订本（分语文版、数学版），每本70元（含快递费），数量有限，欲购从速。邮购地址：（450044）郑州市惠济区月湖南路17号1号楼小学教学 编辑部。联系电话：[phone]。欢迎订阅“全国小学数学名师最新教学案例专号”（2023年第7-8期合刊）教科书中尺规作图内容的结构化处理，给我们当下所关注的结构化教学设计也带来启示，不能简单地把尺规作图内容处理成操作活动与作图技能训练，要把2022年版课标中尺规作图三个内容与相应的图形认识结合起来。比如，学生在学习圆的内容时，先前的经验“会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段”有利于学生掌握“圆心到圆上任意一点的距离相等”这一性质，以及“用直尺和圆规将三角形的三条边画到一条直线上”能够帮助学生理解三角形的周长等。在此过程中，引导学生理解尺规作图的学理意蕴，同时要处理好小学与初中的衔接。另外，IS版教科书强调尺规作图的流程和步骤，注重作图过程的文字化表达，这也为我们的教学带来启示，即在教学中指导学生规范作图需要强化程序，这也是培养学生计算思维的一个良好契机，学生把作图步骤用口头或文字表达出来，能帮助学生深度感知尺规作图的严谨性，反过来，根据文字要求按给定的构思流程作图，能让学生尝试更有挑战性的作图内容，促进学生发展高阶的尺规作图技能。【本文系吉林省高等教育教学改革研究课题“基于教师职业能力标准的小学师资培养实践教学体系改进的研究”（编号：20213F29M68006M）的成果之一】（作者单位：东北师范大学教育学部）DJ31