高观点下小学数学单元整体教学设计的路径——以“小数的四则运算”为例.pdf

2023.7-8下半月 数学2022年版课标明确提出“在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系”，并且需“强化对数学本质的理解”。这体现出2022年版课标对数学知识本质的关注，尤其是在单元整体教学设计和数学知识结构化等理念下，对数学知识本质的思考无疑是实践这些理念的支撑。而这些要求的落实需要依托高观点。高观点下的数学教学是指从上位的数学知识、方法和思想来审视下位的数学知识，引领数学教学，从而使数学教学呈现系统性、连续性和结构性。因而，高观点下的数学教学或许是实践小学数学单元整体教学的一个方向。以下将结合“小数的四则运算”这一内容具体分析高观点下单元整体教学设计的路径。一、高观点下单元知识结构的确立从高观点来思考数学知识，一般可从三个方面考虑：一是从数学知识发生和演进的过程来审视所教数学知识，二是从数学知识结构的角度来审视所教数学知识，三是从数学思想方法的角度来审视所教数学知识1。首先，从数学知识发生和演进的角度看，小数的四则运算这2022年版课标在课程理念部分提出“设计体现结构化特征的课程内容”，在课程实施部分提出“整体把握教学内容”。那么，如何整体把握教学内容以体现结构化特征呢？单元整体教学是一种可行的方式。单元整体教学并不是一种全新的理念，小学教学（数学版）早在2014年第5期和第6期就推出了 “整体把握小学数学课程”研究专辑（上）“整体把握小学数学课程”研究专辑（下），对分数的认识进行整体探讨；2020年第7-8期推出了 单元教学研究专辑，研究范围进一步扩大，理论研讨更深入，实践方式多元化。随着2022年版课标正式提出“重视单元整体教学设计”，广大教育工作者对单元整体教学的研究热情进一步高涨，研究成果也如雨后春笋般涌现。随之而来的，一些名词迅速进入大众视野，如核心概念、大观念、大概念、大任务、大情境等。“乱花渐欲迷人眼”，核心素养导向下的单元整体教学，应是依据课标，读懂教材，把握学情，提炼核心概念（大观念、大概念等），依据相关设计理念，进行结构化教学活动设计、整体性规划、分课时实施并进一步反思和改进的迭代过程。本期策划的 单元整体教学研究专辑 刊登的就是各位老师在这方面的最新研究和尝试，期望能给大家带来启发。编者按彭亮徐文彬陆世奇以“小数的四则运算”为例体元整单究学研教辑专高观点下小学数学252023.7-8下半月 数学一知识是整数四则运算的衍生。进一步，从数的产生来说，小数是在整数的基础上衍生而来的，小数与整数有着同样的计数规则，而整数四则运算的算理是建立在整数的计数规则之上的，因此，小数的四则运算也应符合整数的四则运算的算理。其次，从数学知识结构的角度来审视小数的四则运算，其内在的结构如图12所示，整个小学数学教学中不同类型数的四则运算都能统一到这一结构中，其核心在于计数单位的统一。最后，从数学思想方法的角度来说，数的运算要体现出一致性，这种一致性的背后蕴含着转化的思想方法，即将小数的运算转化为整数的运算。这也符合“简单就是美”3这一数学统一的美学原则，这或许是数学魅力的一种体现。图1数的四则运算的结构通过对高观点下小数的四则运算知识的分析，可以确立如图 2 所示的单元知识结构图。这幅图的左边是小数的四则运算的算理，即小数的四则运算是转化成整数的四则运算来进行计算的，其背后的算理是统一计数单位，且实现小数与整数联结的是十进制计数这一规则及小数的性质这一学过的知识。这幅图的右边是这一内容所涉及的与运算有关的教学内容，包括两个方面：一是运算的形式，如口算、笔算、估算及用计算器计算；二是运算的应用，包括混合运算、解决问题及求近似值。当然，这两部分内容可能还涉及其他学过的数学知识，如数量关系、整数的运算律、估算技巧等。整体而言，在“小数的四则运算”单元的学习中，对算理的理解与掌握，尤其是通过学习小数的四则运算体会运算的一致性尤为重要。图2“小数的四则运算”单元知识结构图二、学生学习心理过程的建构了解和掌握学生学习的心理，进而建构学生学习心理的过程是开展单元整体教学的重要保障。基于此，我们做了一个小调查来了解学生学习的心理。表1是某班学生（共37人）学习小数加、减法前测结果统计（百分号前保留整数）。表1前测结果统计序号123456题目（要求：用竖式计算）4.52.7=5.72.35=153.21=5.72.3=6.73.12=214.2=正确率86%65%73%92%35%50%从表1中可以看出，学生已经掌握的整数运算的知识对其学习小数是有影响的，换句话说，学生可以想到用整数运算的方法来解决小数运算的问题。与此同时，当两个运算对象的位数不相等时，学生出现错误的比例比较高（最高可达65%），这表明学生通过整数运算的学习没有建立明确的统一计数单位这一观念，这也说明在“小数的四则运算”单元的学习中让学生理解和掌握统一计数单位，进而感受运算的一致性的重要性。基于此，学生学习心理过程可以参照杜宾斯基的APOS理论4。杜宾斯基将数学看成一个活动的过程，将数学学习作为一种综合性的心理图式。鉴于此，本单元所对应的学生学习体元整单究学研教辑专262023.7-8下半月 数学心理过程如表2所示。学习心理阶段个人经验活动程序对象图式应用（对图式的发展）具体心理过程学生在学习本单元之前已经学习了小数的意义和性质，掌握了整数的四则运算、混合运算、运算律，具备一定的整数四则运算和解决问题的能力学生通过问题情境或生活情境产生学习小数四则运算的需要，感受小数四则运算的应用价值。尝试联系整数四则运算的算法，根据小数的意义和性质探究小数四则运算的法则经过自主探究、合作交流，逐步探究出小数四则运算的法则。与此同时，经过一定的练习过程，形成自动化水平的小数四则运算“程序”。此外，在运用四则运算技能的基础上，进行混合运算、解决问题及求近似值，在应用中巩固技能、深化理解经历多次计算操作后，逐渐深入理解算理，并在此基础上抽象概括出更为精练的运算法则。把小数四则运算“程序”当成一个整体，并意识到可以对这个整体进行灵活转换与应用，则会形成一个关于小数四则运算的“数学对象”。此时，联系小数的意义与性质和整数的相关知识，深化对对象的理解，以达到精致化在经历上述过程之后，初步形成小数四则运算的图式，这一状态是动态开放的、不断变化的，并建立起与小数意义、整数四则运算的联系，融入已有的认知结构以小数四则运算为对象进行新的活动，通过变式与练习，理解并巩固小数四则运算技能。在解决实际问题中运用小数四则运算知识，经历分析与建构的过程，从而深化对小数四则运算知识的应用相应的学习活动课前对学生进行小数的意义与性质、整数的口算、整数的笔算及混合运算检测，学生基于这些经验开展后续小数内容的学习设计小数运算的情境与活动；联系小数的意义和性质，探究小数四则运算的具体算法；感受小数四则运算在生活中的广泛应用组织小组开展合作交流，归纳小数四则运算的法则；设计小数四则运算的巩固练习与综合练习，在综合性的问题情境中感受小数四则运算的应用价值；出示多组小数四则运算任务（问题串）利用基于运算规则的问题情境，在计算、对比、反思、交流的基础上，形成对运算规则的深度理解总结算法，理解算理；参与交流活动，从中深入理解小数四则运算与整数四则运算之间的本质联系，内化知识对所学知识进行回顾，尝试运用，设置实际问题情境；设置问题组，采用不同方法取近似数；在活动过程中不断反思与回顾表2“小数的四则运算”单元学生学习心理过程体元整单究学研教辑专针对上述心理过程，我们指出：第一个阶段为课前学生的准备状态；第二个和第三个阶段重点是联系整数的四则运算，理解小数四则运算的算理，总结算法；第四个和第五个阶段重点是在掌握小数四则运算法则的基础上，进行解决实际问题的应用；第六个阶段为联系整数的混合运算及运算律，研究小数的混合运算及运算律。三、单元整体教学目标的明确明确单元知识结构及学生学习心理过程之272023.7-8下半月 数学体元整单究学研教辑专后，需要进一步明确单元整体教学目标，这是后续实施课堂教学的依据，也是课时和单元整体教学评价的依据。依据上述单元知识结构和学生学习心理过程，“小数的四则运算”单元整体教学目标如下：1.借助整数四则运算的算理及小数的意义和性质，理解小数四则运算的算理。2.借助小数四则运算的算理掌握小数四则运算的计算方法，能正确进行小数的四则运算和简单的小数四则混合运算，会用计算器进行一些稍复杂的小数加、减法的计算，能应用相关计算解决一些实际问题。3.理解小数的近似数的含义，能根据要求用“四舍五入法”求出小数乘、除法计算中积或商的近似值，初步学会根据解决问题的需要采用“去尾法”或“进一法”求一个小数的近似值。4.通过小数四则运算的探究活动，经历观察、对比、归纳、猜想、综合等思维过程，进而体会数的运算的一致性。5.通过小数四则运算的一致性，感受数学知识间的内在联系，形成自觉探索数学知识的欲望。与此同时，体会小数四则运算与生活之间的联系，感受数学知识的应用价值，增强数学学习的动力。进一步，根据L.W.安德森的教育目标分类法5，可形成如表3所示的单元整体教学目标分类。表3“小数的四则运算”单元整体教学目标分类认知过程事实性知识概念性知识程序性知识元认知知识记忆目标2目标3理解目标1目标2目标3目标4运用目标2目标3目标4分析目标1目标4评价目标4目标5创造目标5从表3中可以看出，本单元教学的重点是目标1、2、3、4，难点是目标1、4。其中，让学生理解并体会数的运算的一致性不仅是这一单元教学的重点也是难点。之所以是重点，是因为它是学生掌握小数四则运算算法的基础，只有充分理解算理，才能更好地掌握算法并进行相关的应用。之所以是难点，在于理解小数的四则运算与整数的四则运算统一的原理，进而体会和感受计数单位在运算中的重要性，能反向促进学生理解计数单位在数的认识中的价值，某种程度上也可促进其数感的进一步发展。四、单元学习活动的设计思路与课时安排在上述分析的基础上，单元整体教学需要确立学习活动设计的整体思路，整体规划课时。“小数的四则运算”单元学习活动的设计思路包括以下三个方面。首先，联系整数的四则运算，促进学习迁移，引导学生自主建构小数四则运算的法则。小数与整数都以十进制为计数原理，二者有诸多相似性。某种程度上而言，可以将整数看作一种特殊形式的小数。因此，小数四则运算的学习有必要联系整数的四则运算，以更好地构建数学知识的结构。在联系整数四则运算的过程中，关键是利用小数的意义和性质，将小数转化为整数的形式，如此，小数的四则运算可以转化为整数的四则运算，进而按照整数四则运算的方法进行计算，再根据小数的意义和性质将运算的结果改写成相应的小数。譬如，在“小数加法和减法”的学习中，我们可以创设以下自主探索的学习任务（如图3）。这两个任务的目的在于：任务一:计算0.01+0.1。要求:（1）用小数的表示方式进行计算。（2）也可以用其他方法进行计算。任务二:计算0.1-0.01。要求:（1）用小数的表示方式进行计算。（2）也可以用其他方法进行计算。图3282023.7-8下半月 数学学生利用小数的意义和性质，探索小数加、减运算的方法，进而理解小数加、减运算的算理。此外，这两个任务在联系整数加、减运算的同时，能让学生感受数的认识与运算之间的联系。其次，给出多样性的情境，引发开放性的问题，培养学生应用数学解决问题的能力。运用计算解决问题是计算教学的重要目的之一，学生需要借由不同的问题情境提升解决问题的能力。因此，“小数的四则运算”单元的问题情境需要多样化，以帮助学生理解小数加、减、乘、除法及四则混合运算的含义，且在解答问题的过程中培养学生解决问题的能力。与此同时，有必要在给出的问题情境中，引发学生生成更为开放的问题情境。譬如，在“小数加法运算”的学习中，在学生理解小数加法的计算方法和算理后，可将教材（苏教版）中的问题情境改编成一个实际问题（如图4）。通过这一问题情境，学生可以自由提出需要解决的问题，进而充分运用所学的小数加法的计算方法巩固所学知识，培养解决实际问题的能力。这一学习任务设计的思路可以在小数减、乘、除法及四则混合运算中延续，并且在学习完“小数的四则运算”单元后，可以让学生根据小数四则运算的含义和规则提出更多的问题，从而让学生在更为开放的问题情境中真正提升解决问题的能力。图4最后，应用小数四则运算的原理，解决更有深度的小数运算问题，培养运算能力。小数四则运算的算理不仅仅适用于小数运算，其背后的数学思维方法适用于更为一般的数学问题。譬如，仅就“小数的四则运算”单元的学习而言，学生可以应用其算理解决整数与整数相除不能整除的问题及小数与小数相除不能得到整数的问题，从而在解决小数运算问题的过程中，体会有限小数和循环小数产生的过程。此外，在整个设计过程中，需要在每节课上强调小数加、减、乘、除法与整数加、减、乘、除法之间的联系，有意让学生联系整数的知识来解决小数运算的问题，目的在于帮助学生深刻体会这一转化背后的原理，进而帮助其构建结构化的知识体系。为此，教学中，需要通过不断反思和总结，让学生感受整数运算与小数运算之间的联系，进而体会数学知识间的关联。学生通过学习形成如图5所示的知识结构。图5“小数的四则运算”知识结构图根据上述思路及对知识结构、学生学习心理过程和单元整体教学目标的分析，这个单元的课时安排如表4所示。表4“小数的四则运算”单元课时安排12345678小数加法、减法（1）：加法小数加法、减法（2）：减法小数加法、减法（3）：练习用计算器计算：利用计算器计算小数乘法（1）：两个乘数都是小数小数乘法（2）：一个乘数是小数，另一个乘数是整数小数乘法（3）：练习小数除法（1）：除数与被除数都是整数课时内容体元整单究学研教辑专292023.7-8下半月 数学910111213141516171819小数除法（2）：被除数是小数，除数是整数小数除法（3）：除数与被除数都是小数小数除法（4）：练习小数点的变化规律积的近似值：四舍五入商的近似值（1）：四舍五入商的近似值（2）：去尾和进一小数四则混合运算：简便计算小数四则混合运算：实际应用小数四则混合运算及其应用：复习小数及其运算与应用：小数部分总复习课时内容我们将这个单元设计为19个课时，与教材（苏教版）中原有内容相比，我们做了四个方面的调整。一是将小数加法、减法和乘法、除法的学习内容拉近，从而让学生深入体会小数四则运算的算理，不被其他内容打断。二是将小数点的变化规律和积的近似值等内容调整到后面，作为小数四则运算的应用的一部分，将应用系统化。三是在小数除法中增加“除数与被除数都是整数”（余数是整数且可除尽）这个课时的内容，以加强小数除法与整数除法之间的联系。四是结合前一单元“小数的意义和性质”的内容，增加“小数及其运算与运用：小数部分总复习”这个课时，以帮助学生形成较为完整的小数知识结构。五、单元整体教学活动的评价设计教学活动的评价是单元整体教学设计的重要环节。从 2022 年版课标要求的“教学评”一致性出发，教学活动的评价设计需要兼顾上述每一个方面，尤其是需要联系单元整体教学目标和学习活动两个部分。基于此，在单元整体教学设计中，我们关于评价的设计包括两个方面的内容。一是课时评价设计。课时评价设计主要涉及每个课时（除最后一个课时外）学习后知识点的巩固及对下一课时所学内容的前测，且课时评价一般在课后 10 分钟左右的时间内完成。之所以在课时评价设计中关涉下一课时所学内容的前测，原因在于这样有利于教师动态把握学生在单元学习过程中的情况，以便教师能够对原有的学习活动设计做细微的调整。譬如，在第8课时“小数除法（1）：除数与被除数都是整数”学习之后，我们设计了以下的课时评价题目（如图6）。其中，第1题的目的在于检测学生第8课时学习的情况，为后续单元复习做好必要的准备；第2题的目的在于了解学生已经具备的关于“小数除法（2）：被除数是小数，除数是整数”的认知状况，以便为下一课时学习活动的设计提供必要的依据。图6二是单元评价设计。单元评价设计是对学生整个单元学习状况的检测，其内容包括通过整个单元的学习需要掌握的知识点。与通常的单元评价相比，我们的单元评价设计有两点不同。一方面，为了突显“教学评”一致性，单元评价设计严格遵照上述的“小数的四则运算”单元整体教学目标分类（如表3）设计相应的题目，并在设计之后形成“小数的四则运算”单元检测双向细目表（如表5），以便于教师分析学生的学习情况。与此同时，双向细目表也便于教师审视自己所编制的单元检测题目的完备性，从而在编制过程中合理地调整检测题目。另一方面，我们在单元评价中设计了两套单元检测试卷（A卷和B卷），两套检测试卷在数量和形式上保持一致，属于平行卷。在实施过程中，其中一套试卷在学生学习这一单元之前使用，另一套试卷在学生学完这一单元后使用，目的在于了解学生学情的同时，为学习后的对比分析提供依据，以此来反映单元整体教学设计的效果，从而反思单元整体教学设计，并为这一单元整体教学设计的迭代更新做好准备。体元整单究学研教辑专（续表4）302023.7-8下半月 数学表5“小数的四则运算”单元检测双向细目表认知过程运算的算理（目标1）运算的方法（目标2）运算的运用（目标3）运算的理解（目标4）运算的情意（目标5）记忆理解运用分析评价创造需要说明的是，我们基于高观点视角进行设计只是单元整体教学设计的一种尝试，这一视角实则是从数学知识本质的角度来探索整体教学的路径，并且依托相应的学习心理理论（或可谓高观点）来分析学生学习心理过程，从而开展后续的教学设计。参考文献：1彭亮，徐文彬.“高观点”下小学数学教学的实践偏向、策略及其核心旨向J.南京晓庄学院学报，2020（4）.2张平，彭亮，徐文彬.大陆与台湾小学数学教材中分数除法的编排比较J.数学教育学报，2018，27（6）.3保罗 洛克哈特.一个数学家的叹息M.高翠霜，译.上海：上海社会科学院出版社，2019.4鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程M.上海：上海教育出版社，2009.5L.W.安德森.学习、教学和评估的分类学M.皮连生，译.上海：华东师范大学出版社，2008.（作者单位：彭亮，南京晓庄学院教师教育学院；徐文彬、陆世奇，南京师范大学课程与教学研究所）Y体元整单究学研教辑专信息与动态一、新课标研究1.课程育人2.课程内容结构化3.核心素养培养（如核心素养主要表现、理性思维、科学精神）4.学段衔接（幼小衔接、小初衔接）5.“教学评”一致性6.数与运算一致性7.综合与实践（如跨学科学习、主题式学习、项目式学习）8.数学文化（如中华优秀传统文化、HPM）9.核心素养评价与学业质量10.其他（如尺规作图、代数思维）二、教学方式改革1.单元整体教学2.深度学习（如任务驱动、问题引领）3.学习进阶与学习路径4.学情分析与精准教学5.信息技术与数学教学融合6.（真实）情境创设7.非智力因素与数学学习（如数学实验、数学游戏）三、其他1.“双减”与教学改革2.教师专业发展（如卓越教师发展、教师核心素养、教育写作）3.作业设计4.基于新课标的教材建设（如教材比较研究）5.拔尖创新人才（资优生）培养对各个重点课题（包括但不限于以上方向）有深入或系统研究的教研共同体（包括各级教研室、名师工作室、教学联盟等），可与本刊联系，商讨专辑（一般包括理论研究和实践案例两部分）组稿事宜。电话：[phone]，邮箱：。小学教学（数学版）2023年研究重点31