2017汉中市高考文科数学一模试卷有答案和解释.docx

2017年陕西省汉中市高考数学一模试卷（文科） 　 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分） 1．已知集合A={x|x�1＜0}，B={x∈N|x＜4}，则（∁RA）∩B=（　　） A．{0} B．{1，2，3} C．{1} D．{1，2} 2．已知复数z（1+4i）=2i�5（i为虚数单位），则复数z的虚部为（　　） A．� B． i C． D． 3．已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示： x �4 �2 1 2 4 y �5 �3 �1 �0.5 1 根据上述数据得到的回归方程为 = x+ ，则大致可以判断（　　） A． ＞0， ＞0 B． ＞0， ＜0 C． ＜0， ＞0 D． ＜0， ＜0 4．已知向量 =（1，�2）， =（�3，5），若（2 + ）⊥ ，则 的坐标可以是（　　） A．（�2，3） B．（�2，�3） C．（4，�4） D．（4，4） 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2 •2 =256，则S9的值为（　　） A．64 B．36 C．72 D．24 6．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为3，则x的值为（　　） A． B． C．1 D． 8．已知过点（�2，0）的直线与圆O：x2+y2�4x=0相切与点P（P在第一象限内），则过点P且与直线 x�y=0垂直的直线l的方程为（　　） A．x+ y�2=0 B．x+ y�4=0 C． x+y�2=0 D．x+ y�6=0 9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，其中A（� ，0），B（ ，0），则函数f（x）的单调增区间为（　　） A．[� +kπ， +kπ]（k∈Z） B．[ +kπ， +kπ]（k∈Z） C．[� +2kπ， +2kπ]（k∈Z） D．[ +2kπ， +2kπ]（k∈Z） 10．如图所示，三棱锥P�ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=1，BC=PA=2，则该几何体外接球的表面积为（　　） A．4π B．9π C．12π D．36π 11．已知双曲线C： � =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 12．已知函数f（x）=（m�2x）lnx�x，x∈（1，e]有两个零点，则实数m的最大值为（　　） A．3e2 B．3e C．6e2 D．6e 　 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 13．如图所示，已知长方形ABCD中，BC=2AB，△EFG与△HIJ均为等边三角形，F、H、G在AD上，I、E、J在BC上，连接FI，GJ，且AB∥FI∥GJ，若AF=GD，则向长方形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影区域内的概率为　　． 14．已知实数x，y满足 则z=3x+y的最大值为　　． 15．已知关于x的不等式 � ＜lnx（a＞0且a≠1）对任意的x∈（1，100）恒成立，则实数a的取值范围为　　． 16．已知数列{an}满足 （�1）i+1 = ，则数列{an}的通项公式an=　　． 　 三、解答题 17．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a、b、c成等比数列，c= bsinC�ccosB． （Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）若b=2 ，求△ABC的周长和面积． 18．（12分）已知四棱锥P�ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AC=2，AD=2 ，点E是线段AB上靠近B点的三等分点，点F、G分别在线段PD、PC上． （Ⅰ）证明：CD⊥AG； （Ⅱ）若三棱锥E�BCF的体积为 ，求 的值． 19．（12分）每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频率分布表和女生阅读量的频率分布直方图． 男生年阅读量的频率分布表（年阅读量均在区间[0，60]内）： 本/年 [0，10） [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60] 频数 3 1 8 4 2 2 （Ⅰ）根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数； （Ⅱ）在样本中，利用分层抽样的方法，从男生年与度量在[20，30），[30，40）的两组里抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求[30，40）这一组中至少有1人被抽中的概率； （Ⅲ）若年阅读量不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究阅读丰富与性别的关系，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关． 性别 阅读量 丰富 不丰富 合计 男 女 合计
P（K2≥k0） 0.025 0.010 0.005 k0 5.024 6.635 7.879 附：K2= ，其中n=a+b+c+d． 20．（12分）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且过点（�1， ），椭圆C的右焦点为A，点B的坐标为（ ，0）． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知纵坐标不同的两点P，Q为椭圆C上的两个点，且B、P、Q三点共线，线段PQ的中点为R，求直线AR的斜率的取值范围． 21．（12分）已知函数f（x）=mlnx+ +2x，x∈[2，e]． （Ⅰ）若m=�1，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若对任意的m∈[0，1]，关于x的不等式f（x）≤（n+2）x恒成立，求实数n的取值范围． 　 选修4-4：极坐标与参数方程 22．（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为 （φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ． （Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线θ= （ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度． 　 选修4-5：不等式选讲 23．（10分）已知函数f（x）=|3x�4|． （Ⅰ）记函数g（x）=f（x）+|x+2|�4，在下列坐标系中作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g（x）的最小值； （Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，求实数λ的取值范围． 　
2017年陕西省汉中市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分） 1．已知集合A={x|x�1＜0}，B={x∈N|x＜4}，则（∁RA）∩B=（　　） A．{0} B．{1，2，3} C．{1} D．{1，2} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】先分别求出集合A，B，由此求出CRA，从而能求出（∁RA）∩B． 【解答】解：∵集合A={x|x�1＜0}={x|x＜1}， B={x∈N|x＜4}={0，1，2，3}， ∴CRA={x|x≥1}， （∁RA）∩B={1，2，3}． 故选：B． 【点评】本题考查交集、补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、补集定义的合理运用． 　 2．已知复数z（1+4i）=2i�5（i为虚数单位），则复数z的虚部为（　　） A．� B． i C． D． 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵z（1+4i）=2i�5， ∴ ， ∴复数z的虚部为 ． 故选：C． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 　 3．已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示： x �4 �2 1 2 4 y �5 �3 �1 �0.5 1 根据上述数据得到的回归方程为 = x+ ，则大致可以判断（　　） A． ＞0， ＞0 B． ＞0， ＜0 C． ＜0， ＞0 D． ＜0， ＜0 【考点】线性回归方程． 【分析】利用公式求出 ， ，即可得出结论． 【解答】解：样本平均数 =0.2， =�1.7， ∴ = = ＞0， ∴ =�1.7� ×0.2＜0， 故选：C． 【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题． 　 4．已知向量 =（1，�2）， =（�3，5），若（2 + ）⊥ ，则 的坐标可以是（　　） A．（�2，3） B．（�2，�3） C．（4，�4） D．（4，4） 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】（2 + ）⊥ ，可得（2 + ）• =0，即x=y．即可得出． 【解答】解：2 + =（�1，1），设 =（x，y）， ∵（2 + ）⊥ ，∴（2 + ）• =�x+y=0，即x=y． 只有D满足上述条件． 故选：D． 【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2 •2 =256，则S9的值为（　　） A．64 B．36 C．72 D．24 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】2 •2 =256，可得a2+a8=8．由等差数列的性质可得：a1+a9=a2+a8．再利用求和公式即可得出． 【解答】解：∵2 •2 =256，∴a2+a8=8． 由等差数列的性质可得：a1+a9=a2+a8=8． 则S9= =9×4=36． 故选：B． 【点评】本题考查了等差数列的性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 6．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】程序框图． 【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的i值． 【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下； S=1，i=1，S＜30； S=2，i=2，S＜30； S=4，i=3，S＜30； S=8，i=4，S＜30； S=16，i=5，S＜30； S=32，i=6，S≥30； 终止循环，输出i=6． 故选：B 【点评】本题主要考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法． 　 7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为3，则x的值为（　　） A． B． C．1 D． 【考点】构成空间几何体的基本元素． 【分析】由题意，直观图为以俯视图为底面的四棱锥，利用体积为3，建立方程，即可求出x． 【解答】解：由题意，直观图为以俯视图为底面的四棱锥，体积= =3， ∴x= ， 故选：D． 【点评】本题考查三视图，考查体积的计算，正确求体积是关键． 　 8．已知过点（�2，0）的直线与圆O：x2+y2�4x=0相切与点P（P在第一象限内），则过点P且与直线 x�y=0垂直的直线l的方程为（　　） A．x+ y�2=0 B．x+ y�4=0 C． x+y�2=0 D．x+ y�6=0 【考点】圆的切线方程． 【分析】求出P的坐标，设直线l的方程为x+ y+c=0，代入P，求出c，即可求出直线l的方程． 【解答】解：由题意，切线的倾斜角为30°，∴P（1， ）． 设直线l的方程为x+ y+c=0，代入P，可得c=�4， ∴直线l的方程为x+ y�4=0， 故选B． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，其中A（� ，0），B（ ，0），则函数f（x）的单调增区间为（　　） A．[� +kπ， +kπ]（k∈Z） B．[ +kπ， +kπ]（k∈Z） C．[� +2kπ， +2kπ]（k∈Z） D．[ +2kπ， +2kπ]（k∈Z） 【考点】正弦函数的单调性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】通过图象，求解出f（x）的解析式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间； 【解答】解：由图象可知，最高点为2，最低点为�2，可得A=2， 图象过A（� ，0），B（ ，0），AB直接的距离是半个周期． ∴ T= ，即T=π． ∴ =2． ∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+φ）． 将B点代入，可得：2sin（ +φ）=0． 得： φ=kπ，k∈Z． ∵|φ|＜π ∴φ= 或 ， 取φ= ．， 故得函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x ）． 由2k 2x ，k∈Z． 解得：kπ ≤x≤kπ+ ，k∈Z． 故选A． 【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，解得三角函数解析式是解决本题的关键．属于基础题． 　 10．如图所示，三棱锥P�ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=1，BC=PA=2，则该几何体外接球的表面积为（　　） A．4π B．9π C．12π D．36π 【考点】球的体积和表面积；球内接多面体． 【分析】根据题意，证出BC⊥平面PAB，PC是三棱锥P�ABC的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出PB得外接球半径，从而得到所求外接球的表面积． 【解答】解：PA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，BC⊥PB 在Rt△PBA中，可得PB= ，在Rt△PCA中，可得PC= 取PB的中点O，则OA=OB=OC=OP= ∴PC是三棱锥P�ABC的外接球直径； 几何体外接球的表面积4πR2=9π． 故选：B． 【点评】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题． 　 11．已知双曲线C： � =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】设F（�c，0），渐近线方程为y= x，对称点为F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为�1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值． 【解答】解：设F（�c，0），渐近线方程为y= x， 对称点为F'（m，n）， 即有 =� ， 且 •n= • ， 解得m= ，n=� ， 将F'（ ，� ），即（ ，� ）， 代入双曲线的方程可得 � =1， 化简可得 �4=1，即有e2=5， 解得e= ． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为�1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 　 12．已知函数f（x）=（m�2x）lnx�x，x∈（1，e]有两个零点，则实数m的最大值为（　　） A．3e2 B．3e C．6e2 D．6e 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】令f（x）=0得m�2x= ，借助函数图象得出m的最值． 【解答】解：令f（x）=0得m�2x= ， 令g（x）= （1＜x≤e）， 则g′（x）= ≤0， ∴g（x）在（1，e]上单调递减， 作出y=m�2x和y=g（x）的函数图象，则两图象有2个交点， ∴当直线y=m�2x经过点（e，e）时，m取得最大值3e． 故选B． 【点评】本题考查了函数零点的个数与函数图象的关系，函数单调性的判断，属于中档题． 　 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 13．如图所示，已知长方形ABCD中，BC=2AB，△EFG与△HIJ均为等边三角形，F、H、G在AD上，I、E、J在BC上，连接FI，GJ，且AB∥FI∥GJ，若AF=GD，则向长方形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影区域内的概率为　 　． 【考点】几何概型． 【分析】根据几何概型的概率计算公式，设BC=2AB=2，AF=GD=x， 根据勾股定理求出x的值，由对称性求出阴影面积，计算所求的概率值． 【解答】解：长方形ABCD中，设BC=2AB=2，AF=GD=x， ∴FG=2�2x， 由勾股定理得（1�x）2+12=（2�2x）2， 解得x=1� ， ∴FG= ； 由对称性知， S阴影= S矩形FGJI= FG•IF= × ×1= ； ∴该点落在阴影区域内的概率为 P= = = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，解题的关键是计算阴影部分的面积，是基础题． 　 14．已知实数x，y满足 则z=3x+y的最大值为　48　． 【考点】简单线性规划． 【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值． 【解答】解：满足约束条件实数x，y满足 可行域如下图中阴影部分所示： 则z=3x+y，经过A时，目标函数取得最大值， 由 ，解得A（14，6） ∴ZA=42+6=48， 故Z=3x+y的最大值是48， 故答案为：48． 【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解． 　 15．已知关于x的不等式 � ＜lnx（a＞0且a≠1）对任意的x∈（1，100）恒成立，则实数a的取值范围为　（0，1）∪（ ，+∞）　． 【考点】函数恒成立问题． 【分析】问题转化为 ＜lnx+ ，x∈（1，100），令h（x）=lnx+ ，x∈（1，100），求出h（x）的值域，从而求出a的范围即可． 【解答】解：∵ � ＜lnx， ∴ ＜lnx+ ，x∈（1，100）， 令h（x）=lnx+ ，x∈（1，100）， 则lnx＞0， 故h（x）≥2 =4， 当且仅当lnx=2时“=”成立， 而h（100）=2ln10+ ， 而x→1时，lnx→0，h（x）→+∞， 故h（x）∈[4，+∞）， 故 ＜4， 0＜a＜1时，lna＜0，成立， a＞1时，lna＞0， 只需lna＞ ，即a＞ 即可， 综上：a∈（0，1）∪（ ，+∞）， 故答案为：（0，1）∪（ ，+∞）． 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式的性质，是一道中档题． 　 16．已知数列{an}满足 （�1）i+1 = ，则数列{an}的通项公式an=　 　． 【考点】数列的求和． 【分析】n=1时， = ，可得a1．n≥2时， （�1）i+1 = ， （�1）i = ，相减可得：（�1）n = ，可得an． 【解答】解：n=1时， = ，∴a1= ． n≥2时， （�1）i+1 = ， （�1）i = ，相减可得：（�1）n = ，可得an=（�1）n ． ∴an= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了等数列递推关系、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 三、解答题 17．（12分）（2017•内蒙古模拟）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a、b、c成等比数列，c= bsinC�ccosB． （Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）若b=2 ，求△ABC的周长和面积． 【考点】正弦定理；三角形中的几何计算． 【分析】（Ⅰ）根据题意，由正弦定理可得sinC= sinBsinC�sinCcosB，进而变形可得1= sinC�cosB，由正弦的和差公式可得1=2sin（B� ），即可得B� 的值，计算可得B的值，即可得答案； （Ⅱ）由余弦定理可得（a+c）2�3ac=12，又由a、b、c成等比数列，进而可以变形为12=（a+c）2�36，解可得a+c=4 ，进而计算可得△ABC的周长l=a+b+c，由面积公式S△ABC= acsinB= b2sinB计算可得△ABC的面积． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若c= bsinC�ccosB， 由正弦定理可得sinC= sinBsinC�sinCcosB， 又由sinC≠0，则有1= sinC�cosB， 即1=2sin（B� ）， 则有B� = 或B� = ，即B= 或π（舍） 故B= ； （Ⅱ）已知b=2 ，则b2=a2+c2�2accosB=a2+c2�ac=（a+c）2�3ac=12， 又由a、b、c成等比数列，即b2=ac， 则有12=（a+c）2�36，解可得a+c=4 ， 所以△ABC的周长l=a+b+c=2 +4 =6 ， 面积S△ABC= acsinB= b2sinB=3 ． 【点评】本题考查正弦、余弦定理的应用，关键利用三角函数的恒等变形正确求出B的值． 　 18．（12分）（2017•汉中一模）已知四棱锥P�ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AC=2，AD=2 ，点E是线段AB上靠近B点的三等分点，点F、G分别在线段PD、PC上． （Ⅰ）证明：CD⊥AG； （Ⅱ）若三棱锥E�BCF的体积为 ，求 的值． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质． 【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥AC，AC⊥CD，PA⊥CD，从而CD⊥平面PAC，由此能证明CD⊥AG． （Ⅱ）设点F到平面ABCD的距离为d，由 = ，能求出d，由此能求出 的值． 【解答】证明：（Ⅰ）∵棱锥P�ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AB=AC=2，AD=2 ， ∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC， ∵AB∥CD，∴AC⊥CD， ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD， ∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC， ∵AG⊂平面PAC，∴CD⊥AG． 解：（Ⅱ）设点F到平面ABCD的距离为d， ， ∴由 = ， 解得d= ，∴ = ． 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 　 19．（12分）（2017•汉中一模）每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频率分布表和女生阅读量的频率分布直方图． 男生年阅读量的频率分布表（年阅读量均在区间[0，60]内）： 本/年 [0，10） [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60] 频数 3 1 8 4 2 2 （Ⅰ）根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数； （Ⅱ）在样本中，利用分层抽样的方法，从男生年与度量在[20，30），[30，40）的两组里抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求[30，40）这一组中至少有1人被抽中的概率； （Ⅲ）若年阅读量不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究阅读丰富与性别的关系，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关． 性别 阅读量 丰富 不丰富 合计 男 女 合计
P（K2≥k0） 0.025 0.010 0.005 k0 5.024 6.635 7.879 附：K2= ，其中n=a+b+c+d． 【考点】独立性检验． 【分析】（Ⅰ）求出前三组频率之和，即可根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数； （Ⅱ）确定基本事件的个数，即可求[30，40）这一组中至少有1人被抽中的概率； （Ⅲ）根据所给数据得出2×2列联表，求出K2，即可判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关． 【解答】解：（Ⅰ）前三组频率之和为0.1+0.2+0.25=0.55， ∴中位数位于第三组，设中位数为a，则 = ， ∴a=38， ∴估计该校女生年阅读量的中位数为38； （Ⅱ）利用分层抽样的方法，从男生年与度量在[20，30），[30，40）的两组里抽取6人，从这6人中随机抽取2人，共有方法 =15种，各组分别为4人，2人，[30，40）这一组中至少有1人被抽中的概率1� = ； （Ⅲ） 性别 阅读量 丰富 不丰富 合计 男 4 16 20 女 9 11 20 合计 13 27 40 K2= ≈2.849＜6.635， ∴没有99%的把握认为月底丰富与性别有关． 【点评】本题考查频率分布直方图，考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，属于中档题． 　 20．（12分）（2017•汉中一模）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且过点（�1， ），椭圆C的右焦点为A，点B的坐标为（ ，0）． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知纵坐标不同的两点P，Q为椭圆C上的两个点，且B、P、Q三点共线，线段PQ的中点为R，求直线AR的斜率的取值范围． 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为 ，且过点（�1， ），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程． （Ⅱ）依题意直线PQ过点（ ，0），且斜率不为0，设其方程为x=my+ ，联立 ，得4（3m2+4）y2+12my�45=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线AR的斜率的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且过点（�1， ）， ∴ ，解得a=2，b= ， ∴椭圆C的方程为 ． （Ⅱ）依题意直线PQ过点（ ，0），且斜率不为0， 故可设其方程为x=my+ ， 联立 ，消去x，得4（3m2+4）y2+12my�45=0， 设点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x0，y0），直线AR的斜率为k， 故 ， ， ∴ ，∴k= ， 当m=0时，k=0， 当m≠0时，k= ，故|4m+ |=4|m|+ ， ∴0＜ ≤ ， ∴0＜|k| ，∴� ，且k≠0， 综上所述，直线AR的斜率的取值范围是[� ]． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线斜率的取值范围的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题． 　 21．（12分）（2017•汉中一模）已知函数f（x）=mlnx+ +2x，x∈[2，e]． （Ⅰ）若m=�1，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若对任意的m∈[0，1]，关于x的不等式f（x）≤（n+2）x恒成立，求实数n的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）问题转化为mlnx+ �nx≤0，令g（m）=mlnx+ �nx，由已知得只需g（1）≤0，得到n≥ + ，令h（x）= + ，（x∈[2，e]），根据函数的单调性求出n的范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得：f（x）=�lnx+ +2x， f′（x）= ＞0在[2，e]恒成立， 故函数f（x）在[2，e]上递增，无递减区间； （Ⅱ）若f（x）≤（n+2）x，则mlnx+ +2x≤（n+2）x，则mlnx+ �nx≤0， 令g（m）=mlnx+ �nx，由已知得只需g（1）≤0即lnx+ �nx≤0， 若对任意x∈[2，e]，lnx+ �nx≤0恒成立， 即n≥ + ， 令h（x）= + ，（x∈[2，e]），则h′（x）= ， 设m（x）=x�xlnx�2，x∈[2，e]， 则m′（x）=1�（1+lnx）=�lnx＜0， 故m（x）在[2，e]递减，m（x）≤m（2）=�2ln2＜0，即h′（x）＜0， ∴h（x）在[2，e]递减，∴h（x）max=h（2）= + ， 即n≥ + ， 故实数n的范围是[ + ，+∞）． 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题． 　 选修4-4：极坐标与参数方程 22．（10分）（2017•内蒙古模拟）已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为 （φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ． （Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线θ= （ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（I）曲线C1的参数方程为 （φ为参数），利用平方关系消去φ可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程． （II）把直线θ= （ρ∈R）代入 ρcosθ+2ρsinθ�5=0，整理可得：ρ2�2ρ�5=0，利用|PQ|=|ρ1�ρ2|= 即可得出． 【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为 （φ为参数），利用平方关系消去φ可得： +（y+1）2=9，展开为：x2+y2�2 x+2y�5=0，可得极坐标方程： ρcosθ+2ρsinθ�5=0． 曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x． （II）把直线θ= （ρ∈R）代入 ρcosθ+2ρsinθ�5=0， 整理可得：ρ2�2ρ�5=0， ∴ρ1+ρ2=2，ρ1•ρ2=�5， ∴|PQ|=|ρ1�ρ2|= = =2 ． 【点评】本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程及其应用、参数方程化为普通方程、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 选修4-5：不等式选讲 23．（10分）（2017•内蒙古模拟）已知函数f（x）=|3x�4|． （Ⅰ）记函数g（x）=f（x）+|x+2|�4，在下列坐标系中作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g（x）的最小值； （Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，求实数λ的取值范围． 【考点】函数的图象． 【分析】（Ⅰ）根据函数解析式作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g（x）的最小值； （Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，可得p，q∈（� ，3），若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，利用绝对值不等式，即可求实数λ的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数g（x）=f（x）+|x+2|�4=|3x�4|+|x+2|�4， 图象如图所示， 由图象可得，x= ，g（x）有最小值� ； （Ⅱ）由题意，|3x�4|＜5，可得� ＜x＜3，∴p，q∈（� ，3）， ∴|p+q+pq|≤|p|+|q|+|pq|＜3+3+3×3=15， ∴λ≥15． 【点评】本题考查函数的图象，考查绝对值不等式的运用，考查数形结合的数学思想，属于中档题．

20 × 20