四川省绵阳市高考数学二诊试卷文科.doc

2017年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合A={x∈Z|x≥2}，B={1，2，3}，则A∩B=（　　）
A．∅ B．{2} C．{2，3} D．{x|2≤x＜3}
2．（5分）若复数z满足（1+i）z=i（i是虚数单位），则z=（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
3．（5分）某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（　　）
A．25 B．20 C．12 D．5
4．（5分）“a=0”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣1=0垂直”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数，现从中随机选取三个小球，则所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）已知函数f（x）=x在区间[1，2]上是增函数，则实数m的取值范围为（　　）
A．4≤m≤5 B．2≤m≤4 C．m≤2 D．m≤4
7．（5分）若x，y满足约束条件则x2+y2+4x的最大（　　）
A．20 B．16 C．14 D．6
8．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
9．（5分）过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则（）=（　　）
A． B．2 C．5 D．10
10．（5分）如图是函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象，则f（3x0）=（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣
11．（5分）已知点P（﹣2，0）是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左顶点，过点P作圆O：x2+y2=4的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
12．（5分）已知f（x）=ex，g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当s﹣t取得最小值时，f（t）所在区间是（　　）
A．（ln2，1） B．（，ln2） C．（，） D．（，）

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为y=x，且双曲线经过点（2，1），则双曲线的标准方程为　　．
14．（5分）60名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于80分的学生人数是　　．

15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，与它的准线交于点P，则=　　．
16．（5分）已知点O（0，0），M（1，0），且圆C：（x﹣5）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上至少存在一点P，使得|PO|=|PM|，则r的最小值是　　．

三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=﹣9，a4+a6=a5．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{a}的前n项和Tn．
18．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＜b＜c，C=2A．
（1）若c=a，求角A；
（2）是否存在△ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求△ABC的周长；若不存在，请说明理由．
19．（12分）2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，组织方统计了来自A1，A2，A3，A4，A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：
单位
A1
A2
A3
A4
A5
平均身高x（单位：cm）
170
174
176
181
179
平均得分y
62
64
66
70
68
（1）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01）
（2）若M队平均身高为185cm，根据（I）中所求得的回归方程，预测M队的平均得分（精确到0.01）
注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，．
20．（12分）椭圆C：过点A（0，），离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点（1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，N是直线x=1上的一点，若△NPQ是等边三角形，求直线l的方程．
21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点为x1，x2（x1＜x2）
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：x1+x2＞4．

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线C的参数方程是（α为参数）
（1）将C的参数方程化为普通方程；
（2）在直角坐标系xOy中，P（0，2），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2=0，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）
（1）t=2时，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．

2017年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2017•绵阳模拟）已知集合A={x∈Z|x≥2}，B={1，2，3}，则A∩B=（　　）
A．∅ B．{2} C．{2，3} D．{x|2≤x＜3}
【解答】解：∵A={x∈Z|x≥2}，B={1，2，3}，
∴A∩B={2，3}，
故选：C．≡

2．（5分）（2017•绵阳模拟）若复数z满足（1+i）z=i（i是虚数单位），则z=（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【解答】解：由（1+i）z=i，
得=，
故选：A．

3．（5分）（2017•绵阳模拟）某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（　　）
A．25 B．20 C．12 D．5
【解答】解：∵初级教师80人，
∴抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为，
解得n=20，即初级教师人数应为20人，
故选：B．

4．（5分）（2017•绵阳模拟）“a=0”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣1=0垂直”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：两直线垂直，得到：a•1+1•a=0，解得：a=0，
所以应是充分必要条件．
故选：C．

5．（5分）（2017•绵阳模拟）袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数，现从中随机选取三个小球，则所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，
每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数，
从中随机选取三个小球，基本事件总数n==10，
所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列包含的基本事件为：
（1，2，3），（2，3，4），（2，4，6），共有m=3个，
∴所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是p=．
故选：A．

6．（5分）（2017•绵阳模拟）已知函数f（x）=x在区间[1，2]上是增函数，则实数m的取值范围为（　　）
A．4≤m≤5 B．2≤m≤4 C．m≤2 D．m≤4
【解答】解：函数f（x）=x，
可得f′（x）=x2﹣mx+4，函数f（x）=x在区间[1，2]上是增函数，
可得x2﹣mx+4≥0，在区间[1，2]上恒成立，
可得m≤x+，x+≥2=4，当且仅当x=2，时取等号、
可得m≤4．
故选：D．

7．（5分）（2017•绵阳模拟）若x，y满足约束条件则x2+y2+4x的最大（　　）
A．20 B．16 C．14 D．6
【解答】解：根据约束条件画出可行域如图：
z=x2+y2+4x=（x+2）2+y2﹣4表示点P（﹣2，0）到可行域的点的距离的平方减4．
由，解得A（2，2）
当点A到点P（﹣2，0）距离最大，
z=x2+y2+4x=4+4+8=16．
故选：B．

8．（5分）（2017•荆州模拟）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，
当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，
当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，
当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，
故输出的n值为4，
故选C．

9．（5分）（2017•绵阳模拟）过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则（）=（　　）
A． B．2 C．5 D．10
【解答】解：f（x）==1+，∴函数f（x）=的图象关于点P（2，1）对称，
∴过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，A，B两点关于点P（2，1）对称，
∴，
则，||=，∴（）=2×5=10．
故选：D

10．（5分）（2017•绵阳模拟）如图是函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象，则f（3x0）=（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：∵f（x）=cos（πx+φ）的图象过点（0，），
∴=cosφ，
∴结合范围0≤φ＜，可得：φ=，
∴由图象可得：cos（πx0+）=，可得：πx0+=2π﹣，解得：x0=，
∴f（3x0）=f（5）=cos（5π+）=﹣，
故选：D．

11．（5分）（2017•绵阳模拟）已知点P（﹣2，0）是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左顶点，过点P作圆O：x2+y2=4的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
【解答】解：由题意，a=2．
∵过点P作圆O：x2+y2=4的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，
∴∠APO=45°，F（﹣，0），
∴c=，∴b2=8﹣2=6，
∴a2+b2=8+6=14，
故选C．

12．（5分）（2017•绵阳模拟）已知f（x）=ex，g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当s﹣t取得最小值时，f（t）所在区间是（　　）
A．（ln2，1） B．（，ln2） C．（，） D．（，）
【解答】解：令f（t）=g（s）=a，即et=lns=a＞0，
∴t=lns，s=ea，
∴s﹣t=ea﹣lna，（a＞0），
令h（a）=ea﹣，
则h′（a）=ea﹣，
∵y=ea递增，y=递减，
故存在唯一a=a0使得h′（a）=0，
0＜a＜a0时，ea＜，h′（a）＜0，
a＞a0时，ea＞，h′（a）＞0，
∴h（a）min=h（a0），
即s﹣t取最小值是时，f（t）=a=a0，
由零点存在定理验证﹣=0的根的范围：
a0=时，﹣＜0，
a0=ln2时，﹣＞0，
故a0∈（，ln2），
故选：B．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（2017•绵阳模拟）若双曲线的一条渐近线方程为y=x，且双曲线经过点（2，1），则双曲线的标准方程为　=1　．
【解答】解：由于双曲线的一条渐近线方程为y=x，
则可设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），
由于双曲线经过点（2，1），
则λ=1﹣×8=﹣1，
则双曲线的方程为=1．
故答案为：=1．

14．（5分）（2017•绵阳模拟）60名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于80分的学生人数是　24　．

【解答】解：由频率分布直方图得：
10（2a+3a+7a+6a+2a）=1，解得a=0.005，
成绩不低于80分的学生所点频率为10（6a+2a）=80a=80×0.005=0.4，
∴成绩不低于80分的学生人数为：0.4×60=24．
故答案为：24．

15．（5分）（2017•绵阳模拟）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，与它的准线交于点P，则=　　．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=2px1，y22=2px2，
|AB|=x1+x2+p==p，即有x1+x2=p，
由直线l倾斜角为60°，
则直线l的方程为：y﹣0=（x﹣），
联立抛物线方程，消去y并整理，12x2﹣20px+3p2=0，
则x1x2=，可得x1=p，x2=p，
则|AP|=4p，
∴=，
故答案为．

16．（5分）（2017•绵阳模拟）已知点O（0，0），M（1，0），且圆C：（x﹣5）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上至少存在一点P，使得|PO|=|PM|，则r的最小值是　5﹣　．
【解答】解：设P（x，y），
∵|PO|=|PM|，
∴x2+y2=2（x﹣1）2+2y2，即（x﹣2）2+y2=2，
圆心距==r+，
∴r的最小值是5﹣．
故答案为：5﹣．

三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）（2017•绵阳模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=﹣9，a4+a6=a5．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{a}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设{an}的公差为d，则由题意可得…（3分）
解得a1=﹣4，d=1，…（5分）
∴an=﹣4+1×（n﹣1）=n﹣5． …（6分）
（2）Tn=a1+a2+a3+…+an+
= …（10分）
=
=．…（12分）

18．（12分）（2017•绵阳模拟）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＜b＜c，C=2A．
（1）若c=a，求角A；
（2）是否存在△ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求△ABC的周长；若不存在，请说明理由．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵c=a，
∴由正弦定理有sinC=sinA． …（2分）
又C=2A，即sin2A=sinA，
于是2sinAcosA=sinA，…（4分）
在△ABC中，sinA≠0，于是cosA=，
∴A=． …（6分）
（2）根据已知条件可设a=n，b=n+1，c=n+2，n∈N*．
由C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，
∴cosA=． …（8分）
由余弦定理得=，代入a，b，c可得：
=，…（10分）
解得n=4，
∴a=4，b=5，c=6，从而△ABC的周长为15，
即存在满足条件的△ABC，其周长为15． …（12分）

19．（12分）（2017•绵阳模拟）2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，组织方统计了来自A1，A2，A3，A4，A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：
单位
A1
A2
A3
A4
A5
平均身高x（单位：cm）
170
174
176
181
179
平均得分y
62
64
66
70
68
（1）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01）
（2）若M队平均身高为185cm，根据（I）中所求得的回归方程，预测M队的平均得分（精确到0.01）
注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，．
【解答】解：（1）由已知有=176，=66，
=≈0.73，=﹣62.48，
∴y=0.73x﹣62.48．…（10分）
（2）x=185，代入回归方程得y=0.73×185﹣62.48=72.57，
即可预测M队的平均得分为72.57． …（12分）

20．（12分）（2017•绵阳模拟）椭圆C：过点A（0，），离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点（1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，N是直线x=1上的一点，若△NPQ是等边三角形，求直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ） 点A（0，）在椭圆C上，于是=1，即b2=2．
设椭圆C的焦半距为c，则，即，
又a2=b2+c2，代入解得a2=8，
∴椭圆C的标准方程为=1．）
（Ⅱ）设直线PQ：x=ty+1，P（x1，y1），Q（x2，y2）．
联立直线与椭圆方程：，消去x得：（t2+4）y2+2ty﹣7=0，
∴y1+y2=﹣，y1y2=．
于是x1+x2=t（y1+y2）+2=，
故线段PQ的中点D．
设N（﹣1，y0），由|NP|=|NQ|，则kND•kPQ=﹣1，
即=﹣t，整理得y0=t+，得N．
又△NPQ是等边三角形，
∴|ND|=|PQ|，即，
即+=，
整理得=，
解得 t2=10，t=，
∴直线l的方程是x﹣1=0．

21．（12分）（2017•绵阳模拟）已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点为x1，x2（x1＜x2）
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：x1+x2＞4．
【解答】（1）解：∵f（x）=ax2﹣ex（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点，
∴方程a=有两个根，等价于y=a与有两个交点．
令h（x）=，则h′（x）=，…（3分）
于是x∈（0，2）时，h′（x）＜0，即h（x）在（0，2）上单调递减；
当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，即h（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴h（x）min=h（2）=，
∴a的取值范围为（，+∞）． …（5分）
（2）证明：∵x1，x2（x1＜x2）是f（x）=ax2﹣ex（a∈R）在（0，+∞）上的零点，
∴ax12=，ax22=，
两式相除可得（）2=． …（7分）
令=t（t＞1），①
上式变为t2=，即x2﹣x1=2lnt，②
联立①②解得：x1=，x2=． …（9分）
要证明x1+x2＞4，
即证明+＞4，
即证明lnt+tlnt＞2t﹣2．
令h（t）=lnt+tlnt﹣2t+2，则h′（t）=+lnt﹣1． …（10分）
令y=+lnt﹣1，y′=＞0，
故y=+lnt﹣1在（1，+∞）上单调递增，故y＞0，即h′（t）＞0，
故h（t）在（1，+∞）上单调递增，故h（t）＞h（1）=0，
即lnt+tlnt＞2t﹣2，得证． …（12分）

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（2017•绵阳模拟）已知曲线C的参数方程是（α为参数）
（1）将C的参数方程化为普通方程；
（2）在直角坐标系xOy中，P（0，2），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2=0，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．
【解答】解：（1）消去参数得，曲线C的普通方程得=1． …（5分）
（2）将直线l 的方程化为普通方程为x+y+2=0．
设Q（cosα，sinα），则M（cosα，1+sinα），
∴d==，
∴最小值是．…（10分）

[选修4-5：不等式选讲]
23．（2017•绵阳模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）
（1）t=2时，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当t=2时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，
若x≤1，则f（x）=3﹣2x，于是由f（x）＞2，解得x＜，综合得x＜；
若1＜x＜2，则f（x）=1，显然f（x）＞2不成立；
若x≥2，则f（x）=2x﹣3，于是由f（x）＞2，解得x＞，综合得x＞
∴不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜，或x＞}．
（2）f（x）≥a+x等价于a≤f（x）﹣x，令g（x）=f（x）﹣x，
当﹣1≤x≤1时，g（x）=1+t﹣3x，显然g（x）min=g（1）=t﹣2，
当1＜x＜t时，g（x）=t﹣1﹣x，此时g（x）＞g（1）=t﹣2，
当t≤x≤3时，g（x）=x﹣t﹣1，g（x）min=g（1）=t﹣2，
∴当x∈[1，3]时，g（x）min=t﹣2，
又∵t∈[1，2]，
∴g（x）min≤﹣1，即a≤﹣1，
综上，a的取值范围是a≤﹣1．

参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；sxs123；lcb001；刘老师；zlzhan；qiss；陈远才；双曲线；w3239003；沂蒙松（排名不分先后）
菁优网
2017年2月23日