5平面向量与空间向量十年高考题带详细解析.doc

第五章 平面向量与空间向量考点阐释1.向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算.它是一种工具，用向量的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题.向量法和坐标法是研究和解决向量问题的两种方法.坐标表示，使平面中的向量与它的坐标建立了一一对应关系，用“数”的运算处理“形”的问题，在解析几何中有广泛的应用.向量法便于研究空间中涉及直线和平面的各种问题.2.平移变换的价值在于可利用平移变换，使相应的函数解析式得到简化.试题类编一、选择题1.（2002上海春，13）若a、b、c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是（ ）A.（a+b）+c=a+（b+c） B.（a+b）c=ac+bcC.m（a+b）=ma+mb D.（ab）c=a（bc）2.（2002天津文12，理10）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（1，3），若点C满足，其中、R，且+=1，则点C的轨迹方程为（ ）A.3x+2y11=0 B.（x1）2+（y2）2=5C.2xy=0 D.x+2y5=03.（2001江西、山西、天津文）若向量a=（3，2），b=（0，1），则向量2ba的坐标是（ ）A.（3，4） B.（3，4） C.（3，4） D.（3，4）4.（2001江西、山西、天津）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则等于（ ）图51A. B. C.3 D.35.（2001上海）如图51，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a，=b，=c.则下列向量中与相等的向量是（ ）A.a+b+cB. a+b+cC. ab+cD.ab+c6.（2001江西、山西、天津理，5）若向量a=（1，1），b=（1，1），c=（1，2），则c等于（ ）A.a+b B.ab C. ab D.a+b7.(2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则（ab）c（ca）b=0 |a|b|0）.如图52.（1）证明：三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱；（2）若m=n，求直线CA1与平面A1ABB1所成角的大小.17.（2002上海春，19）如图53，三棱柱OABO1A1B1，平面OBB1O1平面OAB，O1OB=60，AOB=90，且OB=OO1=2，OA=.求：（1）二面角O1ABO的大小；（2）异面直线A1B与AO1所成角的大小.（上述结果用反三角函数值表示）18.（2002上海，17）如图54，在直三棱柱ABOABO中，OO=4，OA=4，OB=3，AOB=90，D是线段AB的中点，P是侧棱BB上的一点，若OPBD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）图53 图54 图5519.（2002天津文9，理18）如图55，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a.（1）建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的坐标；（2）求AC1与侧面ABB1A1所成的角.20.（2002天津文22，理21）已知两点M（1，0），N（1，0），且点P使成公差小于零的等差数列.（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（x0，y0），为与的夹角，求tan.21.（2001江西、山西、天津理）如图56，以正四棱锥VABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中OxBC，OyAB，E为VC的中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.（1）求cos；（2）记面BCV为，面DCV为，若BED是二面角VC的平面角，求BED.图56 图57 图5822.（2001上海春）在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA1D.（1）求证：A1C平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）.则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小.（用反三角函数值表示）23.（2001上海）在棱长为a的正方体OABCOABC中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.如图58.（1）求证：AFCE.（2）当三棱锥BBEF的体积取得最大值时，求二面角BEFB的大小（结果用反三角函数表示）24.（2000上海春，21）四棱锥PABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， =2，1，4，=4，2，0，=1，2，1.（1）求证：PA底面ABCD；（2）求四棱锥PABCD的体积；（3）对于向量a=x1，y1，z1，b=x2，y2，z2，c=x3，y3，z3，定义一种运算：（ab）c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，试计算（）的绝对值的值；说明其与四棱锥PABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（）的绝对值的几何意义.25.（2000上海，18）如图59所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos，求四面体ABCD的体积.图59 图510 图51126.（2000天津、江西、山西）如图510所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos的值；（3）求证：A1BC1M.27.（2000全国理，18）如图511，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60.（1）证明：C1CBD；（2）假定CD=2，CC1=，记面C1BD为，面CBD为，求二面角BD的平面角的余弦值；（3）当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明.图51228.（1999上海，20）如图512，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角.（1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；（2）求异面直线AE与CD所成角的大小.图51329.（1995上海，21）如图513在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且BDC=90，DCB=30。（1）求向量的坐标；（2）设向量和的夹角为，求cos的值.答案解析1.答案：D解析：因为（ab）c=|a|b|cosc而a（bc）=|b|c|cosa而c方向与a方向不一定同向.评述：向量的积运算不满足结合律.2.答案：D解析：设=（x，y），=（3，1），=（1，3），=（3，），=（，3）又+=（3，+3）（x，y）=（3，+3），又+=1 因此可得x+2y=5评述：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法.3.答案：D解析：设（x，y）=2ba=2（0，1）（3，2）=（3，4）.评述：考查向量的坐标表示法.4.答案：B解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB所在直线方程为y=k（x），则=x1x2+y1y2.又，得k2x2（k2+2）x+=0，x1x2=，而y1y2=k（x1）k（x2）=k2（x1）（x2）=1.x1x2+y1y2=1=.解法二：因为直线AB是过焦点的弦，所以y1y2=p2=1.x1x2同上.评述：本题考查向量的坐标运算，及数形结合的数学思想.5.答案：A解析：=c+（a+b）=a+b+c评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.6.答案：B解析：设c=ma+nb，则（1，2）=m（1，1）+n（1，1）=（m+n，mn）. 评述：本题考查平面向量的表示及运算.7.答案：D解析：平面向量的数量积不满足结合律.故假；由向量的减法运算可知|a|、|b|、|ab|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为（bc）a（ca）bc=（bc）ac（ca）bc=0，所以垂直.故假；（3a+2b）（3a2b）=9aa4bb=9|a|24|b|2成立.故真.评述：本题考查平面向量的数量积及运算律.8.答案：A解析：设直线l的方程为y=kx+b（此题k必存在），则直线向左平移3个单位，向上平移1个单位后，直线方程应为y=k（x+3）+b+1即y=kx+3k+b+1因为此直线与原直线重合，所以两方程相同.比较常数项得3k+b+1=b.k=.评述：本题考查平移变换与函数解析式的相互关系.9.答案：13解析：（2ab）a=2a2ba=2|a|2|a|b|cos120=2425（）=13.评述：本题考查向量的运算关系.10.答案：90解析：由|+|=|，可画出几何图形，如图514.图514|表示的是线段AB的长度，|+|表示线段OC的长度，由|AB|=|OC|平行四边形OACB为矩形，故向量与所成的角为90评述：本题考查向量的概念，向量的几何意义，向量的运算.这些知识不只在学习向量时用到，而且在复数、物理学中也是一些最基本的知识.11.答案：4解析：=1，2，=3，m，=4，m2，又，14+2（m2）=0，m=4.评述：本题考查向量的概念，向量的运算，向量的数量积及两向量垂直的充要条件.12.答案：（）解析：设a=2+i，b=，由已知、的夹角为，由复数乘法的几何意义，得=（cos+isin）=（2+i）.b=（）评述：本题考查向量的概念，向量与复数一一对应关系，考查变通、变换等数学方法，以及运用数学知识解决问题的能力.a+b=（m+2）i+（m4）j=（m+2，m4）ab=mi+（m2）j=（m，m2）13.答案：2解析：由题意，得（a+b）（ab），（m+2）m+（m4）（m2）=0，m=2.评述：本题考查平面向量的加、减法,平面向量的数量积及运算,两向量垂直的充要条件.a+b=2i8jab=8i+16j14.答案：63解析：解方程组a=3i+4j=（3，4）b=5i12j=（5，12）得ab=（3）5+4（12）=63.评述：本题考查平面向量数量积的坐标表示及求法.15.答案：（4，2）解析：设P（x，y），由定比分点公式，则P（2，1），又由中点坐标公式，可得B（4，2）.16.（1）证明：，| |=m，又|=m，|=m，ABC为正三角形.又=0，即AA1AB，同理AA1AC，AA1平面ABC，从而三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱.（2）解：取AB中点O，连结CO、A1O.COAB，平面ABC平面ABB1A1，CO平面ABB1A1，即CA1O为直线CA1与平面A1ABB1所成的角.在RtCA1O中，CO=m，CA1=，sinCA1O=，即CA1O=45.图51517.解：（1）取OB的中点D，连结O1D，则O1DOB.平面OBB1O1平面OAB，O1D平面OAB. 过D作AB的垂线，垂足为E，连结O1E.则O1EAB.DEO1为二面角O1ABO的平面角.由题设得O1D=，sinOBA=，DE=DBsinOBA=在RtO1DE中，tanDEO1=，DEO1=arctan，即二面角O1ABO的大小为arctan.（2）以O点为原点，分别以OA、OB所在直线为x、y轴，过O点且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图515.则O（0，0，0），O1（0，1，），A（，0，0），A1（，1，），B（0，2，0）.设异面直线A1B与AO1所成的角为，则，cos=，异面直线A1B与AO1所成角的大小为arccos.图51618.解法一：如图516，以O点为原点建立空间直角坐标系.由题意，有B（3，0，0），D（，2，4），设P（3，0，z），则=，2，4，=3，0，z.BDOP，=+4z=0，z=.BB平面AOB，POB是OP与底面AOB所成的角.tanPOB=，POB=arctan.图517解法二：取OB中点E，连结DE、BE，如图517，则DE平面OBBO，BE是BD在平面OBBO内的射影.又OPBD.由三垂线定理的逆定理，得OPBE.在矩形OBBO中，易得RtOBPRtBBE，得BP=.图518（以下同解法一）19.解：（1）如图518，以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系.由已知，得A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0， a），C1（）.（2）坐标系如图，取A1B1的中点M，于是有M（0， a），连AM，MC1有=（a，0，0），且=（0，a，0），=（0，0， a）由于=0，=0，所以MC1面ABB1A1.AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.=（），=（0，a），=0+2a2=a2.而|=.|=.cos，=.所以与所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.20.解：（1）记P（x，y），由M（1，0），N（1，0）得=（1x，y），=（1x，y），=（2，0）=2（1+x），=x2+y21，=2（1x）.于是，是公差小于零的等差数列等价于 即所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.（2）点P的坐标为（x0，y0）.=x02+y021=2.|=.cos=21.解：（1）由题意知B（a，a，0），C（a，a，0），D（a，a，0），E（）.由此得，.由向量的数量积公式有cos（2）若BED是二面角VC的平面角，则，则有0.又由C（a，a，0），V（0，0，h），有（a，a，h）且，.即ha，这时有cos，BEDarccos（）arccos评述：本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.22.（1）证明：因为CB平面A1B，所以A1C在平面A1B上的射影为A1B.由A1BAE，AE平面A1B，得A1CAE.同理可证A1CAF.因为A1CAF，A1CAE，图519所以A1C平面AEF.（2）解：过A作BD的垂线交CD于G，因为D1DAG，所以AG平面D1B1BD.设AG与A1C所成的角为，则即为平面AEF与平面D1B1BD所成的角.由已知，计算得DG=.如图519建立直角坐标系，则得点A（0，0，0），G（，3，0），A1（0，0，5），C（4，3，0）.AG=，3，0，A1C=4，3，5.因为AG与A1C所成的角为，所以cos=.由定理知，平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小为arccos.注：没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角.解法一：设AG与BD交于M，则AM面BB1D1D，再作ANEF交EF于N，连接MN，则ANM即为面AEF与D1B1BD所成的角，用平面几何的知识可求出AM、AN的长度.解法二：用面积射影定理cos=.评述：立体几何考查的重点有三个：一是空间线面位置关系的判定；二是角与距离的计算；三是多面体与旋转体中的计算.23.建立坐标系，如图520.（1）证明：设AE=BF=x，则A（a，0，a），F（ax，a，0），C（0，a，a），E（a，x，0）=x，a，a，=a，xa，a.=xa+a（xa）+a2=0AFCE（2）解：设BF=x，则EB=ax三棱锥BBEF的体积V=x（ax）a（）2=a3当且仅当x=时，等号成立.因此，三棱锥BBEF的体积取得最大值时BE=BF=，过B作BDEF于D，连BD，可知BDEF.BDB是二面角BEFB的平面角在直角三角形BEF中，直角边BE=BF=，BD是斜边上的高.BD=a.tanBDB=故二面角BEFB的大小为arctan2.评述：本题考查空间向量的表示、运算及两向量垂直的充要条件.二次函数求最值或均值不等式求最值，二面角等知识.考查学生的空间想象能力和运算能力.用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系，把几何问题代数化，降低了立体几何的难度.本题考查的线线垂直等价于=0，使问题很容易得到解决.而体积的最值除用均值不等式外亦可用二次函数求最值的方法处理.二面角的平面角的找法是典型的三垂线定理找平面角的方法，计算较简单，有一定的思维量.24.（1）证明：=22+4=0，APAB.又=4+4+0=0，APAD.AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，AP底面ABCD.（2）解：设与的夹角为，则cos=V=|sin|=（3）解：|（）|=|43248|=48它是四棱锥PABCD体积的3倍.猜测：|（）|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.图52125.解：如图521建立空间直角坐标系由题意，有A（0，2，0）、C（2，0，0）、E（1，1，0）设D点的坐标为（0，0，z）（z0）则=1，1，0，=0，2，z，设与所成角为.则=cos=2，且AD与BE所成的角的大小为arccos.cos2=，z=4，故|BD|的长度为4.又VABCD=|AB|BC|BD|=，因此，四面体ABCD的体积为.评述：本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算.以向量为工具，利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题，思路自然，解法灵活简便.图52226.解：如图522，建立空间直角坐标系Oxyz.（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）| |=.（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）=1，1，2，=0，1，2，=3，|=，|=cos=.（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），=1，1，2，=，0.=+0=0，A1BC1M.评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.27.（1）证明：设=a，=b，=c，则|a|=|b|，=ba，=（ba）c=bcac=|b|c|cos60|a|c|cos60=0，C1CBD.（2）解：连AC、BD，设ACBD=O，连OC1，则C1OC为二面角BD的平面角.（a+b），（a+b）c（a+b）（a+b）c=（a2+2ab+b2）acbc=（4+222cos60+4）2cos602cos60=.则|=，|=，cosC1OC=（3）解：设=x，CD=2， 则CC1=.BD平面AA1C1C，BDA1C只须求满足：=0即可.设=a，=b，=c，=a+b+c，=ac，=（a+b+c）（ac）=a2+abbcc2=6，令6=0，得x=1或x=（舍去）.评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.28.（1）证明：PA平面ABCD，PAAB，又ABAD.AB平面PAD.又AEPD，PD平面ABE，故BEPD.（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）.PA平面ABCD，PDA是PD与底面ABCD所成的角，PDA=30.于是，在RtAED中，由AD=2a，得AE=a.过E作EFAD，垂足为F，在RtAFE中，由AE=a，EAF=60，得AF=，EF=a，E（0，a）于是，=a，a，0设与的夹角为，则由cos=arccos，即AE与CD所成角的大小为arccos.评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段.29.解：（1）过D作DEBC，垂足为E，在RtBDC中,由BDC=90,DCB=30，BC=2，得BD=1，CD=，DE=CDsin30=.OE=OBBE=OBBDcos60=1.D点坐标为（0，），即向量ODTX的坐标为0，.（2）依题意：，所以.设向量和的夹角为，则cos=.评述：本题考查空间向量坐标的概念，空间向量数量积的运算及空间向量的夹角公式.解决好本题的关键是对空间向量坐标的概念理解清楚，计算公式准确，同时还要具备很好的运算能力.