圆的内接四边形省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

圆内接四边形性质圆内接四边形性质与判定定理与判定定理CODBA第1页圆周角定理：圆周角定理：圆上一条弧所正确圆周角等于它所正圆上一条弧所正确圆周角等于它所正确圆心角二分之一确圆心角二分之一圆心角定理圆心角定理：圆心角度数等于它所对弧度数推论推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所正确圆周角相等；反之，相等圆周角所正确弧也相等推论推论：半圆（或直径）所正确圆周角是直角；反之，圆周角所正确弦是直径第2页例例2如图，如图，AB与与CD相交于圆内一点相交于圆内一点P求证：求证：度数与度数与 度数和二分之一等于度数和二分之一等于APD度数度数DABPCE分析：因为分析：因为APD既不是既不是圆心角圆心角，也不是也不是圆周角圆周角，为此我们需要结构，为此我们需要结构一个与一个与APD相等圆心角或圆周角，相等圆心角或圆周角，方便利用定理方便利用定理证实：如图，过点证实：如图，过点C作作CE/AB交交圆于圆于E，则有，则有APD C.第3页OACDEBABCOOC CA AB BD DABCFEDO 定义：定义：假如多边形全部顶点都在假如多边形全部顶点都在一个圆上一个圆上,那么这个多边形叫做那么这个多边形叫做圆内接圆内接多边形多边形,这个圆叫做这个圆叫做多边形外接圆多边形外接圆.一一 定理探究定理探究第4页 思索思索:探究：观察下列图，这组图中四边形都内接于圆你能发觉这些四边形共同特征吗？特殊到普通方法特殊到普通方法!（1）任意三角形都有外接圆吗？任意三角形都有外接圆吗？那么任意四边形有外接圆吗那么任意四边形有外接圆吗?（3）任意矩形是否有外接圆）任意矩形是否有外接圆?（2）普通地）普通地,任意四边形都有外接圆吗任意四边形都有外接圆吗?第5页CODBA1.1.如图：圆内接四边形如图：圆内接四边形ABCDABCD中，中，弧弧BCDBCD和弧和弧BADBAD所正确所正确圆心角圆心角和和是周角是周角.AACC 180 同理同理BBDD1801802 圆内接四边形性质定理圆内接四边形性质定理圆内接四边形圆内接四边形性质定理性质定理：圆内接四边形对角互补圆内接四边形对角互补第6页2.2.圆内接四边形性质定理圆内接四边形性质定理C CO.O.D DB BA AE圆内接四边形圆内接四边形性质定理性质定理2：圆内接四边形外角等于它内角对角圆内接四边形外角等于它内角对角第7页圆内接四边形圆内接四边形性质定理性质定理：圆内接四边形对角互补圆内接四边形对角互补圆内接四边形圆内接四边形性质定理性质定理2：圆内接四边形外角等于圆内接四边形外角等于它内角对角它内角对角3 四边形存在外接圆判定定理四边形存在外接圆判定定理 OC CA AB BD DE第8页已知已知：四边形：四边形ABCD中，中，B+D=180,求证求证：A、B、C、D在同一圆周上（简称四点共圆）在同一圆周上（简称四点共圆）.OC CA AB BD D分析：分析：不在同一直线上三点确定一个圆不在同一直线上三点确定一个圆经过经过A、B、C三点作三点作 O，假如能够由条件得到假如能够由条件得到 O过点过点D，那么就证实了命题，那么就证实了命题显然，显然，O与点与点D有且只有三种位置关系有且只有三种位置关系:(1)点点D在圆外；在圆外；(2)点点D在圆内；在圆内；(3)点点D在圆上在圆上只要证实在假设条件下只有只要证实在假设条件下只有(3)成立，也就证实了命题成立，也就证实了命题OC CA AB BD DOC CA AB BD D分类讨论思想分类讨论思想反证法反证法3 四边形存在外接圆判定定理四边形存在外接圆判定定理 第9页OC CA AB BD DEOC CA AB BD DE(1)假如点D在 O外部设E是AD与圆周交点，连接EC，则有AEC+B=180.由题设B+D=180,可得D=AEC 这与“三角形外角大于任一不相邻内角”矛盾，故点D不可能在 O外部（2）假如点D在 O内部显然AD延长线必定与圆相交，设交点为E，连接EC，则有E+B=180.由题设B+ADC=180,可得E=ADC 这与“三角形外角大于任一不相邻内角”矛盾，故点D不可能在 O内部证实证实：(分类讨论思想及反证法分类讨论思想及反证法)总而言之，总而言之，点点D只能在圆只能在圆周上，周上，即即A、B、C、D四四点共圆点共圆第10页圆内接四边形圆内接四边形判定定理判定定理：假如一个四边形对角互补，那么：假如一个四边形对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆这个四边形四个顶点共圆说明：说明：在此判定定理证实中，用到了在此判定定理证实中，用到了分类讨论思想分类讨论思想和和反证反证法法又当问题结论存在各种情形时，经过对每一个情形分又当问题结论存在各种情形时，经过对每一个情形分别讨论，最终取得结论方法，称为别讨论，最终取得结论方法，称为穷举法穷举法于是于是圆内接四边形判定定理圆内接四边形判定定理推论推论：假如四边形一个外角等于它：假如四边形一个外角等于它内角对角，那么这个四边形四个顶点共圆内角对角，那么这个四边形四个顶点共圆ABCDOEOC CA AB BD D应用格式：应用格式：在四边形在四边形ABCD中，中，A+C=180,四点四点A,B,C,D共圆共圆应用格式：应用格式：在四边形在四边形ABCD中，中，A=DCE,四点四点A,B,C,D共圆共圆3 四边形存在外接圆判定定理四边形存在外接圆判定定理 第11页1、如图，四边形ABCD为O内接四边形，已知BOD=100,则BAD=,BCD=.练习：ABCDO2、圆内接四边形ABCD中,A:B:C=2:3:4,则A=B=C=D=501306090120903、如图，四边形ABCD内接于O，DCE=75，则BOD=150ABCDOE设A=2x,则C=4x.A+C=180,x=30.二二 定理应用定理应用第12页例例1：如图：如图 O1与与 O2都经过都经过A、B两点两点.经过点经过点A直线直线CD与与 O1交于点交于点C,与与 O2交于点交于点D.经过点经过点B直线直线EF与与 O1交于点交于点E,与与 O2交于点交于点F.求证：求证：CEDF.OO2 2F FA AB BE EC CD D分析：只要证实同旁内角互补即可！分析：只要证实同旁内角互补即可！并利用圆内接四边形性质定理并利用圆内接四边形性质定理证实：连接证实：连接AB四边形四边形ABEC是是 O1内接四边形，内接四边形，BADE又又四边形四边形ABFD是是 O2内接四边形，内接四边形，BAD+F=180 E+F=180 CE/DF第13页变式1：如图，如图，O1和和 O2都经过都经过A、B两点过两点过A点直线点直线CD与与 O1交于点交于点C，与，与 O2交于点交于点D过过B点直线点直线EF与与 O1交于点交于点E，与，与 O2交于点交于点F求证：求证：CE/DF.EDCFABO1O2变式2:如图如图,O1和和 O2有两个公共点有两个公共点A B过过A B两点直线分别交两点直线分别交 O1于于C、E,交交 O2于于D、F，且，且CDEF求证：求证：CE=DFCEABDFO1O2由例由例1可知可知:CE/DF,又又CD/EF,DCEF为平行四边为平行四边形形 CE=DF.第14页例例.如图如图,CF是是ABCAB边上高边上高,FPBC,FQAC.求证求证:A、B、P、Q四点共圆四点共圆 FPBC,FQAC，FQAFPC证实：连接PQ在四边形QFPC中，Q、F、P、C四点共圆QFCQPC又CFAB，QFCQFA90而AQFA90QFCAQPCAA、B、P、Q四点共圆CQPBFA第15页1、(1)圆内接平行四边形一定是 形.(2)圆内接梯形一定是 形.(3)圆内接菱形一定是 形.矩等腰梯正方练习2：2.假如四边形一边上两个顶点视角相等，那么四边形四个顶点共圆DCBA已知：如图，四边形ABCD中，ADB=ACB.求证:A、B、C、D四点共圆分析分析:要用圆内接四边形要用圆内接四边形判定定理判定定理或或推论推论,无法找到足够无法找到足够条件条件,即直接方法不易证实即直接方法不易证实,于是仿照于是仿照判定定理判定定理证实用证实用反反证法证法.第16页DCBADCBAEDCBAE已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD中，中，ADB=ACB.求证求证:A、B、C、D四点共圆四点共圆.证实：由三点A、B、D能够确定一个圆，设该圆为 O(1)假如点C 在 O外部.连接BC,与圆交于点E则ADB=AEB.ADB=ACB,ACB=AEB与AEBACB相矛盾矛盾故点不可能在圆外()假如点C 在 O内部.延长BC与圆交于点E连接AE.则ADB=AEB.ADB=ACB,ACB=AEB与ACBAEB相矛盾矛盾故点不可能在圆内综合综合(1),(2)可知，点可知，点C只能在圆上即只能在圆上即A、B、C、D四点共圆四点共圆第17页课堂小结:1 圆内接四边形性质3、解题时应注意两点：（1）注意观察图形，分清四边形外角和它内对角位置，不要受背景干扰.（2）证题时，常需添辅助线-两圆共有一条弦，结构圆内接四边形.4、思想和方法:分类讨论思想,反证法.2 圆内接四边形判定第18页