角平分线的性质2省公开课一等奖新名师优质课比赛一等奖课件.pptx

角平分线性质角平分线性质第1页复习提问复习提问1 1、角平分线概念、角平分线概念一条射线把一个角分成两个相等角，这条射线射线叫做这个角平分线。oBCA12第2页练习1如图所表示：如图所表示：OD、OE分别是分别是AOB、AOC角平分线，请问角平分线，请问DOE多少度？多少度？ABDCE第3页AOBCDE尺规作图：尺规作图：作法：作法：1 1、以、以_ _ _为圆心，为圆心，_长为半径作圆弧，长为半径作圆弧，与角两边分别交于与角两边分别交于C C、D D两点；两点；2 2、分别以分别以_为圆心，为圆心，_长为半径长为半径作弧，两条圆弧交于作弧，两条圆弧交于AOBAOB内一点内一点_；3 3、作射线、作射线_；_就是所求作射线。就是所求作射线。点点O O适当适当C、D超出超出CDCD二分之二分之一一EOEOE观观察察察察领领悟作法，探索思索悟作法，探索思索悟作法，探索思索悟作法，探索思索证实证实方法：方法：方法：方法：第4页A A为何为何OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC。求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB。证实：在证实：在OMCOMC和和ONCONC中，中，OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC，OC=OCOC=OC，OMC ONCOMC ONC MOC=NOC MOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB第5页1、尺规作图作、尺规作图作 平分线方法以下：平分线方法以下：以以O为圆心，任意长为半径画弧交为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于于C、D，再分别以点，再分别以点C、D为圆心，以大于为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点长为半径画弧，两弧交于点P，作射，作射线线OP，由作法得依据是（，由作法得依据是（）ASAS BASA CAAS DSSSODPCAB第6页1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2经过上面步骤，得到射线经过上面步骤，得到射线OCOC以后，把它以后，把它反向延长得到直线反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是是什么关系？什么关系？3 3结论：作平角平分线即可平分平角，由结论：作平角平分线即可平分平角，由此也得到此也得到过直线外一点作这条直线垂线方过直线外一点作这条直线垂线方法。法。活活 动动1ABOCD第7页复习提问复习提问 2 2、点到直线距离、点到直线距离:从直线外一点从直线外一点到这条直线垂线段到这条直线垂线段长度长度，叫做叫做点到直线距离。点到直线距离。OPAB线段线段长度长度第8页ABOAOEBCPD 将将 AOBAOB对折对折,再折出一个直角三角形再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边使第一条折痕为斜边),),然后展开然后展开,观察两次折叠形成三条折痕观察两次折叠形成三条折痕,你能得出什么结论你能得出什么结论?能够看一看能够看一看,第一条折痕是第一条折痕是AOBAOB平分线平分线OC,OC,第二次折叠形第二次折叠形成两条折痕成两条折痕PD,PEPD,PE是角平分线上一点到是角平分线上一点到AOBAOB两边距离两边距离,这两个这两个距离相等距离相等.折一折折一折角平分线性质角平分线性质活活 动动2第9页探究角平分线性质探究角平分线性质(1)试验试验：画一个画一个AOB,用尺规作出用尺规作出AOB平分平分线线OP,过过P作作PD OA,PE OB问题：问题：比较比较PD和和PE 大小关系（量一量）。大小关系（量一量）。PD=PE 再换一个新位置看看情况会怎样？再换一个新位置看看情况会怎样？活活 动动3(2)(2)猜猜测测:角角平平分分线线上上点点到到角两边距离相等角两边距离相等.P PA AO OB BC CE EDD第10页证实证实：OC平分平分 AOB（已知）（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）PD OA，PE OB（已知）（已知）PDO=PEO（垂直定义）（垂直定义）在在PDO和和PEO中中 PDO=PEO（已证）（已证）1=2（已证）（已证）OP=OP（公共边）（公共边）PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD12已知已知：如图，如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDPDOAOA于点于点DD，PEOBPEOB于于点点E E求证求证:PD=PE:PD=PE(3)验证验证猜测猜测角平分线上点到角两边距离相等角平分线上点到角两边距离相等.已知已知“一个点在一个角平分线上一个点在一个角平分线上”。结论为。结论为“这个点到这个角两边得距离相等这个点到这个角两边得距离相等”第11页角平分线上角平分线上点到角两边点到角两边距离相等。距离相等。得到得到角平角平分线性质：分线性质：利利用用此此性性质质怎怎样书写推理过程样书写推理过程?1=2,PD OA，PE OB（已知）（已知）PD=PE（角平分线（角平分线性质）性质）P PA AO OB BC CE ED D12归纳：归纳：第12页 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）=，()在角平分线上点到这个角在角平分线上点到这个角两边距离相等。两边距离相等。BD CD（）第13页 如图，如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，()在角平分线上点到这个角在角平分线上点到这个角两边距离相等。两边距离相等。BD CD（）第14页 AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已知）（已知）=，（）DBDC在角平分线上点到这个角两在角平分线上点到这个角两边距离相等。边距离相等。无须再证全等无须再证全等第15页，1 1、在、在RtABCRtABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB，垂足为，垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为何？相等吗？为何？ABCDE 2 2、如如 图图,OC,OC是是 AOBAOB平平 分分 线线,点点 P P在在 OCOC上上,PD,PD OA,PEOB,OA,PEOB,垂垂 足足 分分 别别 是是 D D、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC第16页 在在OAB中，中，OE是它角平分线，且是它角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直分别垂直OA，OB，垂足为，垂足为C，D.求证：求证：AC=BD.O OA AB BE EC CD D第17页 在在ABC中，中，C=90 ，AD为为BAC平分线，平分线，DE AB，BC7，DE3.求求BD长。长。EDCBA第18页1 1、如图、如图（1），在，在ABCABC中，中，C=90C=90，DEABDEAB，1=21=2，且，且AC=6cmAC=6cm，那么线段，那么线段BEBE是是ABCABC ，AE+DE=AE+DE=。2 2、如图、如图（2），在，在ABCABC中，中，C=90C=90，AC=BCAC=BC，ADAD平分平分CAB，并交，并交BC于于D，DE AB于点于点E，若，若AB=8CM，求，求DEB周长？周长？ABC（1）（2）DE第19页 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（百分比尺为10）处理问题S公路公路铁路铁路第20页DCs公路公路铁路铁路O解解：设设OD=Xm 则由题得则由题得 =解得解得x=0.025m 即即OD=2.5cm 作夹角角平分线作夹角角平分线OC，截取，截取 OD=2.5cm,D即为所求。即为所求。第21页 反过来，到一个角两边距离相等点是否一反过来，到一个角两边距离相等点是否一定在这个角平分线上呢？定在这个角平分线上呢？已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB平分线上第22页证实证实:QD OA，QE OB（已知），（已知），QDOQEO90（垂直定义）（垂直定义）在在Rt QDO和和Rt QEO中中 QOQO（公共边）（公共边）QD=QE Rt QDO Rt QEO（HL）QODQOE 点Q在AOB平分线上已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB平分线上第23页判定：到角两边距离相等点判定：到角两边距离相等点在角平分线上。在角平分线上。QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB平分线上用数学语言表示为：第24页例：如图，例：如图，ABCABC角平分线角平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点P.P.求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA距离相等距离相等.证实：证实：过点过点P作作PD、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为垂足为D、E、F BM是是ABC角平分线，点角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上点到角两边距离相等）在角平分线上点到角两边距离相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA距离相等距离相等ABCMNPDEF怎样找三角形内到三角形三边距离相等点？怎样找三角形内到三角形三边距离相等点？第25页练习：如图，练习：如图，外角平分线与外角平分线与外角平分线相交于点外角平分线相交于点求证：点到三边，所在直线距求证：点到三边，所在直线距离相等离相等F FGH更上一层楼！更上一层楼！第26页利用结论，处理问题练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路距离相等,应在何处修建?想一想 在确定度假村位置时,一定要画出三个角平分线吗?你是怎样思索?你是怎样证实?第27页拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路距离相等,则可供选择地址有:()A.一处 B.两处 C.三处 D.四处分析:因为没有限制在何处选址,故要求地址共有四处。第28页拓展与延伸3、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A平分线上.A A A A A A ADNE BFMCA第29页到角两边距离相等点在角平到角两边距离相等点在角平分线上。分线上。QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB平分线上用数学语言表示为：角平分线上点到角两边距离相等角平分线上点到角两边距离相等.QDOA,QEOB,点Q在AOB平分线上 QDQE 用数学语言表示为：第30页