基于主弦管偏心距最小法的拱轴线优化研究_欧阳汕.pdf

第 40 卷第 5 期2023 年 5 月公路交通科技Journal of Highway and Transportation esearch and DevelopmentVol.40No.5May 2023收稿日期:20220811作者简介(*通讯作者):欧阳汕(1977)，男，湖南永州人，高级工程师.(375452801 )doi:10.3969/j.issn.10020268.2023.05.016基于主弦管偏心距最小法的拱轴线优化研究欧阳汕*，孙镇国，魏海龙(中交二公局第二工程有限公司，江苏南京210031)摘要:对于大跨径钢管混凝土拱桥，拱轴线与压力线的偏差会极大影响桥梁的受力状态。为了解决拱轴线优化问题，克服既有拱轴线优化方法存在拱桥主弦管受力不均、无法充分发挥钢管混凝土拱桥受力性能、结构参数利用率低等问题，提出了一种基于主弦管偏心距最小的拱轴线优化方法，充分发挥了每根弦杆的受力性能，结合图乘法与有限元理论，详细推导了该方法的建立与求解步骤。将全拱肋主弦管偏心距作为优化目标，设置全拱肋主弦管偏心距容许值进行迭代计算，通过迭代的方式实现了拱肋主弦管偏心距的优化。为保证线形的美观性与合理性，通过 3 次样条函数拟合的方式，实现了进一步优化，得到了可用于指导实际施工的拱轴线。在合江长江公路大桥上对该方法进行了验证。结果表明:本方法优化得到的拱轴线能够有效减小主弦管偏心距与弯矩峰值，结构参数利用率更高，相较于合江长江公路大桥初始线形的最大弯矩，优化幅值达到 80%;各关键截面弯矩基本控制在 100 kNm 以内，相较于抛物线、悬链线优化得到的最优拱轴线形，在内力方面整体最优;采用主拱圈全节点坐标的简便计算方法，可结合任意编程语言，实现模型全桥节点坐标的快速修改，配合优化方法便捷地实现拱轴线的优化。关键词:桥梁工程;拱轴线优化方法;偏心距最小法;钢管混凝土拱桥;样条插值中图分类号:U448.22文献标识码:A文章编号:10020268(2023)05011608Study on Optimization of Arch Axis Based on Minimum Eccentricity Method for Main ChordOUYANG Shan*，SUN Zhen-guo，WEI Hai-long(CCCC SHEC Second Engineering Co.，Ltd.，Nanjing Jiangsu 210031，China)Abstract:For long-span CFST arch bridge，the deviation of arch axis and pressure line will influence thestress state of the bridge greatly.In order to solve the issue of arch axis optimization，and overcome theproblems(uneven stress on the main chord of arch bridge，unable to give full play to the mechanicalperformance of CFST arch bridge and low utilization rate of structural parameters，etc)in the existing archaxis optimization method，a method for optimizing arch axis based on minimum eccentricity for main chord isput forward to give full play to the mechanical performance of each chord.Combining with graphmultiplication and finite element theory，the establishment and solving steps of the method are derived indetail.Taking the eccentricity of main chord with full arch rib for the optimization object，and setting theallowable value of the eccentricity of main chord with full arch rib for iterative calculation，the optimization ofeccentricity of main chord with arch rib is realized with iterative way.In order to ensure the aesthetics andrationality of the line shape，the further optimization is realized by using cubic spline function fitting method，and the arch axis that can be used to guide the actual construction is obtained.The proposed method isverified on Hejiang Yangtze iver Highway Bridge.The result shows that(1)The arch axis optimized withthis method can effectively reduce the main chord eccentric distance and the peak bending moment，and thestructural parameter utilization is higher.Compared with the maximum bending moment of the initial linearshape of Hejiang Yangtze iver Bridge，the optimized amplitude of arch axis can reach 80%.(2)The第 5 期欧阳汕，等:基于主弦管偏心距最小法的拱轴线优化研究bending moment of each key section is basically controlled within 100 kNm，the overall internal force isoptimal compared with the optimal arch axis linear shapes obtained by using the optimization of parabola andcatenary.(3)Adopting the simple calculation method of the full node coordinates on main arch ring，and itcan realize the rapid modification of the node coordinates of the whole bridge model combining with anyprogramming language，and realize the optimization of arch axis conveniently with the optimization method.Key words:bridge engineering;arch axis optimization method;minimum eccentricity method;CFST archbridge;spline interpolation0引言拱轴线的确定直接决定大跨径钢管混凝土拱桥的合理成桥状态，是拱桥设计中的重要环节。理想情况下应使拱轴线与主拱的压力线一致，拱圈每一截面均仅受轴力，没有弯矩作用12。但实际上，主拱除了受恒载、活载作用外，还受到温度升降、混凝土收缩徐变及基础沉降等各种不确定作用的影响，理想的拱轴线是无法完全达到的34。在大跨度拱桥的荷载组成中，恒载占据了很大比重5，并且这个比重随着跨径的增大而增加。因此，恒载压力线可作为目标拱轴线，采用各种曲线来拟合恒载压力线。在以往学者们的研究中，抛物线、悬索线、悬链线、样条曲线等都可被用来拟合钢管混凝土拱桥的合理拱轴线610。随着拱桥跨径的增加，选择悬链线作为拱轴线的比例逐步增大，为保证悬链线拱轴线与压力线偏差不大，一般采用以下方法确定拱轴系数1113:“五点重合法”是在小跨径悬链线拱桥中应用最多的拱轴线优化方法，但由于其控制参数少，易导致荷载作用下某些截面与压力线偏差较大，另外，对非单管截面形式的拱桥来说，关键截面特性的计算十分繁琐。“截面偏心距最小法”通过计算整体截面的偏心距来控制拱轴线在合理范围内，从而保证整体受力最优，但对于某些复杂截面形式，弦杆与中心轴偏差较大，则无法保证每根管受力最优。“弯曲能量最小法”也被应用于拱轴线的优化设计，其通过控制弹性变形能来优化拱轴线形。但该方法没有关注剪力对变形能的影响，对结构形式较复杂的拱桥，会存在一定的误差，该方法虽确保了主拱在整体上弯曲能量最小，但仍可能因拱脚、拱梁交界等局部弯矩过大而产生破坏。传统的拱轴线优化方法存在一定的不足之处，已有不少学者对拱轴线的优化开展了进一步研究，徐岳等14 以结构应变能和拱肋控制截面偏心距最小为目标，形成了下承式系杆拱桥结构体系内力分布的优化方法;蒋启平15 将恒载压力线作为合理拱轴线，先假定出拱顶拱脚的倾角，通过迭代，最后确定设计倾角、矢高等参数，再通过 3 次样条插值拟合拱轴线;宁云等16 利用 APDL 参数化语言对以悬链线作为拱轴线时的拱轴系数进行优化;冯彩霞17 提出基于对应两铰拱模型的拱轴线优化方法，能更有效减小拱肋弯曲应变能;何祎18 通过 NUBS 技术对拱轴线进行优化处理，该方法可适用于某些特殊结构形式的拱桥;周尚猛19 构造出一种基于拱轴线变形能的多参数拱轴线优化方法，以处理控制参数较少的函数曲线难以使拱轴线与压力线重合的问题;侯春辉等20 利用 APDL 语言建立拱轴系数优化过程，并得出合理的立柱布置方式;胡常福等21 针对已有拱轴线迭代优化方法收敛性不好的问题，提出在主拱圈为两铰拱的索拱桥有限元模型基础上，进行几何非线性的拱轴线迭代优化方法，以解决考虑几何非线性的超大跨径索拱桥拱轴线迭代的收敛性问题;张忠中等22 建立了拱轴线拓扑优化模型，并验证了连续体结构拓扑优化方法可应用于作用荷载相对均匀的拱式渡槽拱轴线设计。但以上方法仍没有克服求解方法繁琐、难适用于实际工程的问题。综上所述，以往的拱轴线优化方法存在一定的缺点，本研究在以往研究的基础上，提出了一种基于主弦管偏心距的迭代优化方法，以钢管拱主弦管的偏心距为指标，设置钢管混凝土拱桥偏心距容许值，将全拱主弦管偏心距的最大值作为目标函数，通过迭代求解出钢管混凝土拱桥合理的受力状态，再结合 3 次样条曲线，选取控制截面进行线形优化，确保拱轴线的美观性与合理性。1主弦管偏心距最小法对于大跨径钢管混凝土拱桥，通常为主弦管、腹杆、斜撑等组成的桁架结构，其中主弦杆为全桥的主要受力构件，腹杆、斜撑等主要起到连接作用，在进行拱轴线优化计算时，可忽略腹杆、斜撑等结构的受力状态，保证拱肋主弦管全截面偏心距最大711公路交通科技第 40 卷值最小，以拱肋主弦管的受力最优为目标，完成主拱拱轴线的优化。主弦管在弯压耦合作用下，为偏心受压状态，偏心距的大小可表示主弦管的受弯程度。主弦杆偏心距的计算方法如下，以图 1 中钢管混凝土拱桥桁式截面为例，首先根据各构件内力及参数，计算任意主弦管的偏心距:eji=MjiNji(j=1，2，m)，(1)式中，Nji和 Mji为主拱主弦管 j 在 i 截面处的设计轴力值与设计弯矩值;m 为弦管个数。图 1主拱节段示意图Fig.1Schematic diagram of main arch segment主弦管 j 上所有单元的最大偏心距可表示为:Ej=max ej1，ej2，ejn，(2)式中，n 为该弦管上单元数，则所有主弦管偏心距最大值为:Emax=max E1，E2，Ej。(3)将主弦管的偏心距 Emax作为迭代计算过程中的目标函数，寻找满足主弦管弯矩限值、受力状态最优的合理拱轴线。2主拱截面坐标优化计算在拱轴线的迭代优化计算过程中，需要多次修改主拱相关单元的坐标，以期达到理想线形，但是，拱肋结构复杂，单元数量多，提取坐标值工作量大。若能建立拱轴线与拱肋各节点坐标之间的数学关系，则通过修改拱轴线的相关参数即可快速计算出主拱的全部节点坐标，方便快捷地实现主拱模型的修改，但这种方法适用于节点在竖直截面的情况，对于拱肋上的复杂机构，如拱脚、梁拱交界处等，这些位置的节点无法直接采用上述方法进行修改。因此本研究根据有限元离散单元的思想，提出一种通过控制单元长度限值来修改主拱圈全节点坐标的简便方法。拱桥拱肋都是具有曲率的曲线单元，根据有限元思想，假定数个连续单元数量足够多，单元长度足够短时，可忽略其弯曲曲率，将曲线单元近似视为直线。在此假定条件下，可进行如下计算，首先确定一个长度界限值 llim，设拱肋主弦管节点个数为r，提取拱肋主弦管单元节点号 n 及对应三维坐标信息 x，y，z，用 Aart表示:Aart=n1，n2，nrx1，x2，xry1，y2，yrz1，z2，zrT。(4)从 Aart中任选 3 个节点，按 z 坐标的大小进行排序，分别为(xi，yi，zi)，(xj，yj，zj)，(xk，yk，zk)，若满足:(xi xj)2+(yi yj)2+(zi zj)2 llim(xi xk)2+(yk yk)2+(zk zk)2 llim(xj xk)2+(yj yk)2+(zj zk)2 llim，(5)则:zj=zi+yk yixk xi(xj xi)+yi。(6)通过对单元长度进行约束，保证 3 点共线，并通过式(6)对其中一个节点坐标进行修改。根据以上方法，采用任意语言编写对主拱肋坐标进行循环计算的程序，可实现全节点的坐标修改。3拱轴线迭代优化由于大跨钢管混凝土拱桥结构自身的复杂性，直接求出弯矩与主弦管偏心距变化量之间的关系式是非常困难的，故本研究采用迭代的方式开展计算，将主弦管的偏心距限制在理想范围内。再选取合理的控制截面，以控制截面的偏心距为目标，充分发挥 3 次样条曲线更易逼近合理拱轴线的优点，展开插值计算，完成拱轴线形的最终优化，得出一条光滑、合理的拱轴线形。3.1主弦管弯矩法迭代式的建立和求解首先，建立钢管混凝土拱桥有限元模型，将相邻 2 钢管简化为长度无穷小、总弯曲刚度为 EI 的直杆单元 Ei，Ej(对应 Ni，Nk，Nj3 个节点)，长度分别为 li，lj。梁单元与相邻单元连接方式为铰接，左右两边弯矩分别为 Mi，Mj，内力值呈线性分布。结构如图 2 所示。811第 5 期欧阳汕，等:基于主弦管偏心距最小法的拱轴线优化研究图 2主弦管示意图Fig.2Schematic diagram of main chord由图 2 可知，对于任意节点 Nk处的弯矩可以等效为施加强制位移 k，Nk处的弯矩 Mk可由已知的相邻 2 节点弯矩 Mi和 Mj计算得到。推导 k与 Mi的关系，即可通过调整 Nk点的竖向位置来实现弯矩的调整。而 Nk点的竖向位移也可以通过施加集中力Fk来实现，因此，可以借助 Nk处施加集中力 Fk建立相关等式关系。采用结构力学中的图乘法2，推导拱肋主弦管偏心距调整量 k与弯矩 Mk之间的关系式，计算过程如下，节点 Nk处的弯矩值 Mk为:Mk=Mj Mili+lj li+Mi=Mjli+Miljli+lj。(7)采用图乘法对 k与 Fk的关系进行推导:k=MkMpkEkIkds=1EkIkMkMpkds=1EkIktan xMpkds=1EkIktan xdA。(8)由图 3 中的微分关系可知:xdA=Ax0，(9)式中 x0为 y 轴到 Mpk图形形心的距离。将式(9)代入式(8)可得:k=MkMpkEkIkds=Ay0EkIk，(10)式中 y0为 Mpk图形形心在弯矩图中的对应高度。则效集中荷载与主弦管偏心距调整量的关系为:k=MkMpkEkIkds=Aiy0iEkIk=1EkIk13l3il2j(li+lj)2Fkcos3+13l2il3j(li+lj)2Fkcos3=13EkIkl2il2jli+ljFkcos3。(11)在节点 Nk处弯矩与集中力的关系为:Mk=liljli+ljFkcos。(12)结合式(11)和式(12)，得到弯矩值与主弦管偏心距调整量之间的表达式为:k=13EkIkl2il2jli+ljcos3li+ljliljcosMk=lilj3EkIkMkcos2。(13)可引入偏差系数 进一步提升收敛速度，则最终的主弦管偏心距调整关系式为:kk=k=lilj3EkIkMkcos2，(14)式中，=EmaxEa;Emax为最大偏心距;Ea为偏心距容许值。本研究方法是为了确保每根主弦管的偏心距最优，根 据 公 路 钢 管 混 凝 土 拱 桥 设 计 规 范(JTG/T D65 062015)中对单管主拱的偏心距要求:e0r 1.55，(15)式中，e0为构件截面偏心距;r 为钢管混凝土截面半径。可得出偏心距容许值，但这个限值比较宽松，还应当考虑偏心距容许值的选用对结构优化是否显著，本研究在 4.2 节中以 15 mm 为偏心距容许值进行合江长江公路大桥的优化计算，结果表明优化效果较为显著。限值的选择应同时兼顾规范要求与结构优化的需要。3.2三次样条曲线优化上节中通过迭代形成的拱轴线是一条规律性不强、无法直接用以设计施工的曲线，本研究采用 3次样条曲线对拱轴线展开进一步拟合，保证拱轴线的美观性和合理性。根据 3 次样条曲线的性质，假定 S(x)在每个微区间 xj，xj+1 内均可用 M 进行表示，则:S(xj)=Mjxj+1 xhj+Mj+1x xjhj。(16)对式(16)进行 2 次积分，并引用条件 S(xj)=yj和 S(xj+1)=yj+1，可求得 2 次样条曲线系数矩阵 A:A=a1b1c1d1a2b2c2d2anbncndn 。(17)由于拱桥的对称性，取半跨进行插值拟合，另一半跨可对称得出，为确保拱轴线在拱脚、跨中处的曲率不变，采用 3 次样条曲线 3 种边界条件中的第 1 种进行设计计算，即:S(x1)=f(x1)，S(xn)=f(xn)，(18)式中，f(x1)和 f(xn)分别为拱轴线在拱脚处与跨中处的斜率。根据二阶导数的连续性可得跨中处f(xn)=0。当 Mj确定，即可求得系数矩阵 A。对 S(x)求911公路交通科技第 40 卷导可得:S(x)=Mj(xj+1 x)22hj+Mj+1(x xj)22hj+yj+1 yhjMj+1 Mj6hj。(19)通过 S(xj+0)=S(xj0)，可得:jMj+1+2Mj+jMj+1=dj(j=1，2，n 1)，(20)其中:j=hj1hj1+hj，j=hjhj1+hj，(j=1，2，n 1)，(21)dj=6f xj，xj+1 f xj1，xjhj1+hj=6f xj1，xj，xj+1。(22)根据式(18)可求得如下边界条件方程:2M0+M1=6h0(f x0，x1 f0)，Mn1+2Mn=6hn1(fn f xn1，xn)。(23)令 0=1，d0=6h0(f x0，x1 f0)，n=1，dn=6hn1(fnf xn1，xn)，则式(23)可写成矩阵形式:20121n12n1n2M0M1Mn1Mn=d0d1dn1dn。(24)将求得的 Mj(j=1，2，n)代入式(17)，即可得到 3 次样条曲线的系数矩阵 A。4工程实例4.1工程概况合江长江公路大桥为当前世界最大跨度的钢管混凝土系杆拱桥，中承式结构，桥梁位于四川省合江县城区，主桥跨径布置为 80.5 m(飞燕)+507 m(主拱)+80.5 m(飞燕)，设计拱轴线为悬链线，拱轴系数为 1.5，主拱肋为典型的桁架结构，拱脚截面桁架高度 14 m，拱顶截面桁架高度 7 m，钢管壁厚分为 22，26，30 mm 这 3 种规格，主弦管外径为1.3 m。全桥受力较为复杂。4.2主弦管线形迭代计算由于迭代计算前，初始状态不影响最终计算结果，因此选取常用的悬链线作为拱轴线，并选用拱轴系数 m=1.5 作为初始状态，在此基础上开展主弦管弯矩迭代计算。按流程进行迭代，设定主弦管偏心距限值为 15 mm，每次迭代完成后得到全桥主弦管单元的偏心距 E，其中最大值为 Emax，当 Emax15 mm 时，完成迭代，共进行了 15 次迭代，迭代计算得到的主弦管偏心距最大值及全桥主拱弯矩最大值变化如图 34 所示。图 3迭代偏心距变化Fig.3Variations of iterative eccentricity图 4迭代弯矩变化Fig.4Variations of iterative bending moment由图 34 可知，在经过 15 次迭代后，主弦管偏心距最大值与最大弯矩均产生了明显减小，其中偏心距 由 初 始 状 态 下 的 62.13 mm 大 幅 降 低 至14.72 mm;弯矩由初始状态下的 519.43 kNm 减小至 100.32 kNm，减小了 80.7%，优化效果显著。优化完成后，关键截面的弯矩结果见图 5 可知，各截面弯矩值均较小，基本控制在 100 kNm 以内，拱肋基本处于受轴压状态，结构受力状态良好，迭代优化效果较好。以最终计算结果为基础，选取关键截面:拱脚，021第 5 期欧阳汕，等:基于主弦管偏心距最小法的拱轴线优化研究图 5优化后关键截面弯矩结果Fig.5Bending moment result of key section after optimizationL/8，L/4 等，进行 3 次样条插值计算。根据公式(17)可求得样条曲线系数矩阵为:A=1.15e 47.83e 21.85e+11.42e+3 1.14e 5 8.4e 3 1.30e+0 7.95e+14.67e 62.00e 42.41e 11.21e+13.26e 8 1.59e 31.06e 22.21e+0 8.24e 7 1.76e 3 1.39e 171.98e+0。(25)根据矩阵 A 可得到优化后的合江长江公路大桥主桥半跨的拱轴线，另一半跨可通过对称得到。4.3优化结果对比上节已根据主弦管偏心距迭代法求得合江长江公路大桥的最优拱轴线形，本节将对拱轴线形的优化结果进行对比分析。针对合江长江公路大桥采用抛物线、悬链线作为拱轴线形时的最优线形与本研究方法计算得到的最优线形，比较各关键截面的内力状态。抛物线、悬链线作为拱轴线时的最优线形均是采用主弦管偏心距最小法、截面偏心距最小法、弯曲能量最小法分别优化，综合对比得到 3 类最优拱轴线形参数见表 1。最优拱轴线型对比见图 6。表 1最优拱轴线形参数Tab.1Optimal parameters of arch axis shapes线形最优线形参数抛物线抛物线次方数:=2.1悬链线拱轴系数:m=1.35本研究优化线形样条曲线系数矩阵为:A(具体数据见第 4.2 节)以一幅拱肋内弦钢管上、下弦弦杆为例，3 类最优拱轴线关键截面内力对比见图 7。由表 1 和图 7 对比可知，本研究方法得到的最优拱轴线形弯矩仅在 L/8 处略大于其他 2 种最优拱图 6三种最优线形对比Fig.6Comparison of 3 optimal line shapes图 7三类最优拱轴线形关键截面内力对比折线图Fig.7Comparison of line charts of internal forces in keysections of 3 types of optimal arch axes轴线，但该控制截面处弯矩绝对值较小，并不决定全桥的阈值。上、下弦管中弯矩最大值减小明显，在其他控制截面由本方法计算得到的拱轴线形弯矩较另 2 种线形也有不同程度的减小。因此采用本研究方法优化计算出的拱轴线形，主弦管的弯矩峰值得到有效减少，优化效果显著。5结论本研究提出了一种基于钢管混凝土主弦管偏心距最大值进行拱轴线优化的方法，并对其进行了推导与应用，得到以下结论:(1)考虑钢管混凝土拱桥复杂截面节点单元的冗杂性，提出一种通过控制单元长度限值来控制主拱圈全节点坐标的快速建模方法，提升钢管混凝土拱桥拱轴线形的优化设计效率。(2)根据拱轴线优化设计减小拱肋弯矩的思路，通过结构力学中的图乘法进行推导，得到了离散单元主弦管偏心距调整量公式，给出了迭代优化的终止准则，建立了主弦管偏心距的迭代流程。121公路交通科技第 40 卷(3)建立了基于 3 次样条差值的合理拱轴线形拟合方法，实现对拱轴线形的进一步优化，得到可指导实际施工的合理拱轴线形。(4)在合江长江公路大桥上对本研究的计算理论进行验证，通过有限元软件建立模型，将全拱肋主弦管偏心距作为优化目标，设置全拱肋主弦管偏心距容许值进行迭代计算。计算结果表明，采用主弦管偏心距法大幅降低了全拱肋的弯矩幅值，弯矩由初始状态下的 519.43 kNm 减小至 100.32 kNm，减小了 80.7%，各关键截面弯矩基本控制在 100 kNm 以内，相较其他方法计算更简便，优化效率显著。(5)对比了合江长江公路大桥采用抛物线、悬链线以及本研究方法计算得到的最优拱肋线形，结果表明本研究方法计算得到的拱轴线在内力方面整体最优，截面最大弯矩较最优抛物线型减小 47%，较最优悬链线型减小近 20%，受力状态良好，拱轴线形的优化效果显著。参考文献:eferences:1DE ATEAGA I，MOE P The Effect of Geometry onthe Structural Capacity of Masonry Arch Bridges J Construction and Building Materials，2012，34:97106 2朱慈勉 结构力学 M 北京:高等教育出版社，2004:4852ZHU Ci-mian Structural Mechanics M Beijing:HigherEducation 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