泰勒公式--毕业论文.doc

陕西科技大学15届学术论文

目 录
一、泰勒公式简介 1
（一）泰勒公式的基本形式 1
（二）泰勒公式余项类型 2
（三）泰勒公式的定理 5
二、泰勒公式的证明 6
（一）泰勒公式证明初探 6
（二）证明泰勒公式 6
三、泰勒公式的应用 7
（一）利用泰勒公式求极限 8
（二）利用泰勒公式判断函数的极值 9
（三）利用泰勒公式判定广义积分敛散性 10
（四）利用泰勒公式证明中值定理 11
（五）利用泰勒公式求行列式的值 13
（六）泰勒公式在关于界的估计的应用 14
谢 辞 17
参考文献 18

摘 要
泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解。
本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从不同的方面对泰勒公式进行综合论述：利用泰勒公式求极限，求无穷远处极限，证明中值公式，中值点的极限，证明不等式，导数的中值，关于界的估计，方程中的应用，用泰勒公式巧解行列式。对于泰勒公式如何更广泛的应用于高等代数中这一问题，还在进一步的研究中。

关键字： 泰勒公式 极限 函数不等式 函数方程
ABSTRACT

Taylor formula is a very important concept in advanced mathematics. It divides complicated functions into polynomial functions. It have became a powerful leverage when we analysis and research other mathematics problem because of its simplicity. However, normal advanced mathematic textbooks only introduce how to use Taylor formula to expand the functions and never get into the applications of Taylor formula, The students are always hard to use it because we teach it detached from use in teaching process .
This paper discusses some of Taylor's formula for the basic content, and focused on mathematical analysis in some applications. Taylor's formula is the mathematical analysis of the important knowledge, the use of certain topics in Taylor formula to reach the purpose of solving problems quickly. In this paper, different aspects from the Taylor formula for a comprehensive discussion: the use of Taylor's formula for the limit, for infinite distance limit, the proof of the value of the formula in the limit point to prove that inequality in the value of derivatives, it is estimated that the estimates on the sector, equations, using Taylor formula determinant clever solution. Taylor formula for how the wider use of Advanced Algebra with the problem, still further study.

Key Words： Taylor formula limit function inequality function equation

2

一、泰勒公式简介
随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式

称为函数在点处的泰勒多项式，若函数在点存在直至阶导数，则有
即
称为泰勒公式.
众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。
（一）泰勒公式的基本形式
无论在近似计算或理论研究上，我们总是希望用一个多项式来近似地表示一个比较复杂的函数，这样做将会带来很大的方便。比如，为了计算多项式的值，只须用加、减、乘三种运算，连除法都不需要，这是其他函数甚至很简单的初等函数所不具有的特点。
设给定了一个函数，我们要找到一个在指定点附近与很近似的多项式。现在可以回顾一下函数的微分。在研究微分用于近似计算时，我们有一个近似公式
，
即
(1.1)
公式表明，在点附近的函数值可以用的一次多项式近似表示，且当（此时是无穷小），所产生的误差为较高阶的无穷小。现在的问题是，用这样的一个一次多项式来近似计算，它的精确度往往并不能满足实际的需要。因此我们希望找到一个关于的次多项式
(1.2)
来近似表示，并使当时，其误差是较高阶的无穷小。要想这样，那么多项式的系数，究竟应当取何数呢？这个问题，无疑要根据给定的函数来确定，并且可以从前面的(1.1)式得到启发，我们把
，
与一次多项式
，
对照一下，可知应该取
，
而的这两个数值可以由等式
，
分别求得。事实上，

由此不难推想，为了确定次多项式的全部系数，我们应该假定在点附近具有直到n+1阶的导数，别且满足下列条件：
(1.3)
由(1.2)计算在点的各阶导数值，代入上面等式(1.3)，得
，
即
，
代入(1.2)式则得
(1.4)
这就是我们找的关于的n次多项式，称为在点的n次泰勒多项式。它的各项系数是以在点的各阶导数表出的。
（二）泰勒公式余项类型
泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异。定性的余项如佩亚诺型余项，表示余项是比（当时）高阶的无穷小。如，表示当时，用近似，误差（余项）是比高阶的无穷小。定量的余项如拉格朗日型余项（也可以写成）。
泰勒多项式表示时所产生的误差
，
当时，它是比高阶的无穷小。其中称为n阶余项。
根据上面的假定，在点附近具有n+1阶导数（因已假定在点附近具有n+1阶导数，而多项式具有任何阶导数），并注意到等式(1.3)，则有

因此，当时，是型不定式。我们反复应用洛比达法则，可推得

即 。
这就证明了，当时，余项是比高阶的无穷小。因此所找到的多项式满足了我们最初提出的要求。我们记
，
这样一来，给定的函数就可以表示为

余项叫做皮亚诺（Peano）型余项。应给指出的是，皮亚诺余项只是对余项给出一个阶的估计，它仅说明当时是比还要高阶的无穷小。因此只是说明了在时的极限性质。如果在点附近具体取定了一个值，那么余项到底有多大，从皮亚诺余项是无从得知的。
下面介绍利用的导数表示的余项，即所说的拉格朗日型余项。
我们先对两个函数和在以和为断点的区间上应用柯西中值定理，得

（在与之间）
再对两个函数和在以及为端点的区间上应用柯西中值定理，得

（在与之间）
如此继续进行n+1次后，便得
（在与之间）
而（因是n次多项式，所以），故由上式得
（在与之间）
这就是的导数表示的余项，称为拉格朗日型余项。
综合以上的讨论，我们得到了一下的重要定理。
（三）泰勒公式的定理
定理1.1（泰勒定理） 如果函数在点的附近有直到n+1阶的导数，则对于点附近的，可表示为的n次多项式与余项的和

(1.5)
其中 （在与之间）
定理中的(1.5)式称为具有拉格朗日型余项的泰勒公式。
当时，泰勒公式(1.5)式变为
，
这就是拉格朗日中值公式。可见泰勒公式是拉格朗日公式的推广。
在泰勒公式(1.5)式中，令，则得
(1.6)
其中 （在与之间）
公式(1.6)是在原点的泰勒公式，也称为麦克劳林(Maclaurin)公式。
二、泰勒公式的证明
（一）泰勒公式证明初探
两种余项的泰勒公式所表达的根本思想都是怎样用多项式来逼近函数，带有佩亚诺余项的泰勒公式是反映了极限性质的渐进等式，所以这个公式在求极限时很有用，对余项可以提供充分小的估计值。带有拉格朗日余项的泰勒公式有确切的表达式，当然也有像中值这样不确定的因素，但是并不妨碍定理的使用，为近似计算的误差估计提供了理论依据。
（二）证明泰勒公式
定理2.1：（带有佩亚诺型余项的泰勒公式）若函数在点存在直至阶导数，则有，
即。
证明：设
，，
现在只要证

由可知，
，
并易知

因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数。于是，当且时，允许接连使用洛必达（L'Hospital）法则次，得到

所以定理2.1成立。
定理2.2：若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得证明：作辅助函数
，
所以要证明的（1）式即为

不妨设，则与在上连续，在内可导，且
又因，所以由柯西中值定理证得

其中
所以定理2.2成立

三、泰勒公式的应用
泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具。其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题。因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题。
（一）利用泰勒公式求极限
为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出。
例1 求极限
分析：此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将和分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式。
解 ： 由,得
,
于是

例2 求极限
解： 用(1.11)后，有

可以想象，若用洛比达法则，将是非常麻烦的。
求极限
例3 求极限
解：

（二）利用泰勒公式判断函数的极值
例4 (极值的第二充分条件)设在的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且,.
(i)若,则在取得极大值.
(ii) 若,则在取得极小值.
证明 ： 由条件，可得f在处的二阶泰勒公式
.
由于,因此
.(*)
又因,故存在正数,当时,与同号.所以,当时,(*)式取负值,从而对任意有
,
即在取得极大值.同样对,可得在取得极小值.

（三）利用泰勒公式判定广义积分敛散性
在判定广义积分敛散性时, 通常选取广义积分进行比较, 在此通过研究无穷小量的阶来有效地选中的值，从而简单地判定的敛散性（注意到：如果得收敛，则得收敛）。
例5 广义积分的敛散性.
解 ：

因此，，即是的阶，而收敛，故收敛，从而。
例6 广义积分是否收敛？
解:

是的一阶无穷大量，又发散，也发散。

（四）利用泰勒公式证明中值定理
接下来，我们通过例题来说明，泰勒公式是如何证明中值公式的。
例7 设函数在上三阶可导，试证：存在，使
。
证明 ： 设为使下式成立的实数：
。
令
，
则
。
根据罗尔定理，使，即

而将在展开有：
。
其中，比较得，其中。
例8 设在上有二阶导数。试证：，使得
(1)
证明：
法1 对函数利用上例结果，或重复上例的证明即得。
法2 将函数在点处按泰勒公式展开，记，则
，
，
其中。于是

(2)
注意到导函数的介值性，，使得
，
代入(2)式即得欲证的式(1)。
法3 记，在泰勒展开式

两端，同时取上的积分。注意右端第二项积分为0.第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：，使得

因此(3.1)式成立。

（五）利用泰勒公式求行列式的值
若一个行列式可看做的函数（一般是的n次多项式）,记作,按泰勒公式在某处展开,用这一方法可求得一些行列式的值.
例 9
求n阶行列

D= （1）
解 ： 记,按泰勒公式在z处展开：
, （2）
易知
（3）
由（3）得,.
根据行列式求导的规则,有

于是在处的各阶导数为
,
,
… … … …

把以上各导数代入（2）式中,有

若,有,
若,有.

（六）泰勒公式在关于界的估计的应用
我们在数学分析课文中学习知道了有些函数是有界的，有的有上节，而有的有下界，再结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们探讨泰勒公式关于界的估计，这里通过例题来分析界的估计.
数学分析中，有很多计算都是涉及到函数的界的，接下来，我们就用泰勒公式对函数的界进行估计。
例10 设函数在上二阶可导，当时，， 。
试证：当时，。
证明 ： 因
，
，
所以
，
。
例11 设函数在上三阶可导，并且和在上有界，证明：和也在上有界。
证明 ： 因
，
取得
，
，
两式相减得
，
所以
，，
其中 ，
同理两式相加得
，
故和也在上有界。
例12 设为二次可微函数

试证： ，且。表示。
证明 ：
法1 （在与之间），
（在与之间），
二式相减

即 ，
所以
(1)
即 对一切成立。
故判别式 ，
即 对一切成立。
所以 ，且。
法2 (1)式可改写成
， (2)
而 为常数。所以(9)式右端作为的函数时，当 取最小。令，代入得
，
所以 。

参考文献
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