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毕业论文

题 目几类与矩阵的秩有关的问题

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几类与矩阵的秩有关的问题
摘要：本文研究了与矩阵的秩有关的几类问题, 通过实例说明了矩阵的秩在向量的线性关系; 解线性方程组; 判断空间中点线面的位置关系;线性变换等方面的应用.
关键词: 矩阵的秩; 向量; 线性方程组; 位置关系;线性变换

A Few Class Associated with The Rank of Matrix
Abstract:In this paper,We study several types of issues with respect to the rank of matrix.We determined the relationship between rector and the rank of the matrix in linear.
Keywords: Rank of matrix; Vector; Linear equations; Set relations; Quadratic; Linear transformationand

目 录
1 引言 1
2主要结果及证明 1
1 矩阵的秩与向量的线性关系 1
1.1 线性相关性的判断 1
1.2 极大线性无关组 2
2 矩阵的秩与线性方程组的求解 3
2.1 齐次线性方程组的求解 3
2.2 非其次线性方程组的求解 4
3矩阵的秩与空间中的点线面位置关系 6
3.1相关定理 6
3.2定理的应用 8
4矩阵的秩与线性变换 9
4.1矩阵的秩与核的计算 9
4.2矩阵的秩与值域的计算 10
参考文献 12
致 谢 13

数学与统计学院2013届毕业论文
1 引言
矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 线性变换等问题的密切的联系.
定义 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩,矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩,并统称为矩阵的秩. 另外,矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数,这是矩阵的秩的行列式定义.
矩阵的秩的几个简单性质
性质1 秩, 当且仅当是零矩阵.
性质2 秩, 当且仅当.
性质3设是矩阵, 则秩.
性质4 .
性质5 .
性质6 设,分别为与矩阵, 则秩min(秩,秩, ,,).
2主要结果及证明
1 矩阵的秩与向量的线性关系
高等代数中,判断向量组的线性相关性时,我们的依据是向量组中的其中一个向量是否可以由其余的向量线性表出来.这种做法简单易懂,但对一些较为复杂的这类问题时解法复杂,上述方法有一定的局限性.我们可以用矩阵的秩的相关知识来解决这类问题.首先,有以下的结论.
1.1 线性相关性的判断
定理1.1设令=,其中是矩阵,为维列向量,且 则
线性相关有非零解.
线性无关只有零解.
例1.1 设为阶方阵,为个线性无关的维向量,证明:秩=的充要条件是,, ,线性无关.
证明 令=,那么0.
先证明必要性 设秩=,所以0. 令
=0 （1.1.1）
用左乘（1.1.1）式得=0.所以.
即 ,, ,线性无关.
再证明充分性 因为,,,线性无关,
所以
=0,
从而0,即秩=.
1.2 极大线性无关组
定理 1.2
（1） :,若在中存在个线性无关的向量,且都可以由线性表出,则称是的一个极大线性无关组,且称秩=.
（2） 两个等价的的向量具有相同的秩.
（3） 若=,其中是矩阵,若线性无关,则秩=秩.
例1.2 设有向量组
（Ⅰ） =,=,=,
（Ⅱ） =,=,=.
试问:当a为何值时,向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价?当a为何值时,向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价？
解 作初等行变换,有
=

(1) 当a时,有行列式=0,秩=3,故线性方程组=均有惟一解.所以可由向量组（Ⅰ）线性表示.
行列式=60,秩=3,故可由向量组（Ⅱ）线性表示.因此向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.
(2) 当a=时, 有
由于秩秩, 线性方程组=无解, 故向量不能由线性表示. 因此, 向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价.
2 矩阵的秩与线性方程组的求解
线性方程组问题是高等代数中极其重要的一类问题, 在解决和讨论线性方程组的解的问题时, 我们可以运用矩阵的秩的知识.而线性方程组要解决的问题可以归纳为以下三类问题.
1.方程组是否有解?
2.方程组有解时,解的个数是多少?
3.如何求出解?对于上述三个问题,无一不与矩阵的秩有关,既有下面的定理.
2.1 齐次线性方程组的求解
定理2.1 设齐次线性方程组
(2.1)
系数矩阵的秩.且方程组(2.1)的解空间为.则可以得到下列结论这里表示方程组(2.1)解空间的维数.
例2.1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系,并写出全部解

解 设方程组的系数矩阵为为,将用初等行变换化为阶梯形矩阵
=
因此秩=2,基础解系所含向量个数
所以原方程的同解方程组为
即 ,
取=1,=0 代入得 =,=0
得解向量 =;
取=0,=1 代入得=,=1
得解向量=.
所以,为原方程组的一个基础解系.
那么方程组的全部解为,其中,为任意常数.
2.2 非其次线性方程组的求解
定理2.2设有非齐次线性方程组
(2.2.1)
其中. 则有
线性方程组(2.2.1)有解R()=R, 即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩;
线性方程组(2.2.1)有唯一解;
线性方程组(2.2.1)有无穷多组解
例2.2 当,取何值时,线性方程组无解还是有解?有解时,求出一般解.
解 对增广矩阵作一系列初等变换
.
从而有
(1) 当或者时,故方程组无解;
(2) 当,且时,<=5,故方程组有无穷多组解,且解中含有=5-2=3个自由变量;
(3) 为求出一般解,继续对增广矩阵施行初等变换,并将=0,=2代入 .
从而有 其中为自由变量,它们可以取任意的实数.若令则
.
为所求一般解(其中为任意实数).
3矩阵的秩与空间中的点线面位置关系
判断空间中点与点;直线与直线;直线与平面;平面与平面的位置关系,是代数知识在空间解析几何上的应用,体现了代数与几何的完美结合,以下我们用矩阵的秩对这几类关系作出详细的研究.
3.1 相关定理
定理3.1.1 设空间中四个点

矩阵的秩=,
则有（1）=4时,四点异面;
（2）=3时,四点共面;
（3）=2时,四点共线;
（4）=1时,四点重合.
证明 因为,其中 ,
（1）当时,向量组,,线性无关,张成整个三维空间,所以异面.
（2）当时,,不妨设的前两行线性无关,即向量线性无关,于是该组向量可以将向量线性表示,故四点共面,但不共线.
（3）当=2时,,与前面类似分析可得,,共线.
（4）当=1时,,即,,=0, 四点重合.
定理3.1.2设两空间直线,.
设矩阵,.
矩阵的秩为,矩阵的秩为,则
（1）=4时,两直线异面;
（2）==2时,两直线重合;
（3）==3时,两直线相交;
（4）=3,=2时,两直线平行.
定理3.1.3
和平面
设,.
则有
（1）当()=()=3时,直线与平面相交;特别地,当
或者时,直线与平面垂直;
（2）当()=()=2时,直线在平面上;
（3）当()=2,()=3时,直线与平面平行.
证明 联立直线与平面方程得线性方程组.,分别为系数矩阵和增广矩阵,且有.
（1）当时,方程组有唯一解,故直线与平面相交,当或者时,构成直线的某一平面法线向量与平面的法向量垂直,这时直线与平面垂直;结论（2）和（3）可类似证明.
定理3.1.4 设平面,的方程分别为
.记,则有
（1）当()=2时,平面与相交于一条直线;
（2）当()=1时,平面与重合;
（3）当()=1,()=2时,平面与平行.
3.2定理的应用
例3.2.1用矩阵给出平面上个点共线的充要条件.
解 设直线为

个点共线是指线性方程组（把,看成未知量）
（3.2.1.1）
有解,所以
个点共线方程组（3.2.1.1）有解
秩.
例3.2.2判断两直线和,的位置关系.
解 由系数矩阵.
进行初等变换得.
的秩=3,秩=2,故两直线平行.
例3.2.3 判断直线:与平面:的位置关系.
解 由系数矩阵进行初等变换得.
则=2,=3.即直线平行与平面.
4矩阵的秩与线性变换
线性变换问题是高等代数中的一类重要问题,同时也是线性代数的一个主要研究对象. 在线性空间中,基于线性空间的一组基,可以线性变换与矩阵的关系.而矩阵的秩是矩阵的一个重要的数量特征.因此,可以用矩阵的秩来研究线性变换.
4.1矩阵的秩与核的计算
1设是上的维线性空间,是的线性变换,则称集合
为的核,记为或.
2 若为V的一组基,在基下的矩阵为,则
(i)=秩
(ii)若秩=,且的基础解系为,则
=,其中且为的一组基.
4.2 矩阵的秩与值域的计算
1设是上的维线性空间,是的线性变换,则称集合为的值域, 记为.
2若为的一组基,在基下的矩阵为,则
(i) =秩
(ii) 令=,为的列向量.若秩=,且为的列向量组的极大线性无关组,则
V=,其中

且为的一组基.
3+==.
例4.2设是维线性空间上的线性变换,试证明:秩=秩的充分必要条件是=.
证明 (1)先证明充分性 设=,因为
(4.2.1)
且,存在,使.于是可设
,其中
则

此即
(4.2.2)
由(4.2.1),(4.2.2)即证明=.故
秩=dim=dim=秩.
再证明必要性 设秩=秩,则
秩+dim=dim+dim=
=dim+dim (4.2.3)
=秩+秩
于是
dim=dim (4.2.4)
但是
(4.2.5)
于是由(4.2.4),(4.2.5)有
= (4.2.6)
再证明
= (4.2.7)
又因为,使得,且,所以

故,即证明了(4.2.7).
由(4.2.3),(4.2.7).可得=.

参考文献
[1] 张禾瑞,郝鈵新.高等代数（第五版）[M].北京:高等教育出版社,2007.
[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[3] 丘维声.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1996.
[4] 钱吉林.高等代数解题精粹[M].北京:中央民族大学出版社,2002.
[5] 张贤达.矩阵分析及应用[M].北京:清华大学出版社,2004.
[6] 萧永震等.空间解析几何解题指导[M].天津:天津科学技术出版社.1990.
[7] 雷雪萍.高等代数中一道习题的推广[J].大学数学,2006,22（4）:161-163.
[8] 刘丁酋.矩阵分析[M].武昌:武汉大学出版社,2003.8.

致 谢
这次毕业论文能够得以顺利完成，自始至终都是由唐老师全面、具体的指导之下进行的。唐老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益非浅，终生难忘。唐老师严谨的治学态度和对工作的兢兢业业、一丝不苟的精神将永远激励和鞭策着我认真学习、努力工作。在此深表谢意。还要感谢帮助和鼓励过我的同学，在这一段时间里，他们为了让我能够顺利完成论文，无时无刻的陪伴在我的身边，付出了不少汗水。我要在这里对唐老师和帮助过我的同学以及朋友表示深深的谢意！
大学生活即将结束，感谢身边所有的老师和朋友与同学，谢谢你们四年来的关照与宽和你们在这里一起走过的生活，将会是我一生最珍贵的回忆。

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