符号意识的内涵、行为表现及教学建议——以“用字母表示数”单元为例.pdf

2023.12下半月 数学数学符号是数学表达的核心工具，能够清晰、简明地表达数学知识、数学规律及数学思想。它既是对现实世界数学关系结构的抽象表达，也是对数学学科内部规律的抽象表达。可以说，现实世界的数量关系与空间形式都是以抽象的数学符号表达出来的。从2001年版课标到2022年版课标，都将符号意识（2001年版课标称为符号感）作为数学课程的重要内容与目标，将发展学生的符号意识视作数学育人功能的重要体现。但数学符号是把双刃剑，在使数学清晰化的同时也给学生的数学学习带来了困难。对于符号意识，不同学段的要求不同，即符号意识在义务教育阶段有不同的学习进阶，培养学生的符号意识不是一蹴而就的，需要不断渗透、螺旋上升。数学符号抽象，学生的符号意识更为抽象且内隐。如何评判不同学段学生的符号意识水平？如何助力学生符号意识的形成与发展？这就需要在弄清符号意识的内涵后，按照课标要求并结合具体单元内容进一步描述符号意识的行为表现，即学生完成哪些任务才能表明学生已经“形成初步的符号意识”或“形成符号意识”。也就是说，符号意识在某个具体内容单元的表现水平如何。只有厘清这些基本问题，才能有效进行单元整体教学，落实核心素养培养。一、符号意识的内涵及行为指标数学符号对数学或数学真理的影响巨大。可以说，数学的发展历史就是数学符号产生与完善的历史。我们可以从多个视角研究数学符号及符号意识。所谓数学符号意识，即学习者借助思维的决定性作用，对数学知识与数学符号（包含一切具有数学含义的专用标记、表示数学概念和数学关系的符号或记号，如字母、图像、表格等）之间抽象对应关系的一种积极、主动的反应和心理认知倾向1。必须将这种心理性的内隐界定转化为外显行为，才能评判学生的符号意识水平，并根据不同水平的特点有的放矢地设计学习活动，从而促进学生符号意识水平的提升。培养学生的符号意识，可以使学生的数学思维过程更加精确、概括与简洁，从而更容易揭示数学的本质。符号意识有哪些外显行为表现呢？朱立明、马云鹏将数学符号意识划分为：数学符号的感知、运算、推理与表征1。通过实证研究，朱立明又提出义务教育阶段学生的数学符号意识由四个层次构成，每个层次的操作指标如表1所示2。李艳琴、宋乃庆则认为小学低段数学符号意识的测评指标框架包括三个一级指标（数学符号的抽象、识记与运用）与七个二级指标，如表2所示3。课读标解刘加霞以“用字母表示数”单元为例符号意识的内涵、行为表现及教学建议2023.12下半月 数学42023.12下半月 数学读标解课表1层次感知与识别理解与运算联想与推理抽象与表达操作指标1.感知数学符号的标准读法与写法2.认识数学符号与数字的异同3.辨别不同数学符号之间的差别1.洞察数学符号在不同情境中的数学意义2.将数学符号作为运算对象，建立数学符号之间的关联3.利用数学符号解释算理1.通过类比、归纳得出猜想2.建立数学符号的共性，将猜想符号化3.联想数学符号的共性、特性、关系，对猜想进行演绎证明1.知道字母是对数进行抽象的结果，能从具体情境中抽象出数学符号2.利用数学符号表达数量关系3.实现数量关系不同表达方式之间的相互转换表2一级指标名称数学符号的抽象数学符号的识记数学符号的应用权数30%30%40%二级指标名称概括具体情境中有关数、数量关系和空间形式的属性用抽象的统一记号表示上述属性识别不同类型的符号，知道它们的写法和读法知道数学符号所代表的含义按照数学的规则对数学符号进行操作运用数学符号表示数、数量关系、变化规律通过符号的运算和推理解决具体情境中的简单问题权数14%16%20%10%12%14%14%义务教育阶段学生的数学符号意识具有可测性，包含内隐性与外显性两个方面。内隐性主要反映学生数学符号意识的内心倾向（感知、理解、联想、抽象），外显性主要反映学生数学符号意识的外在表现（识别、运算、推理、表达）等2。2022年版课标进一步界定了符号意识的内涵、行为表现及功能。内涵：符号意识主要是指能够感悟符号的数学功能。具体表现：（1）知道符号表达的现实意义；（2）能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律；（3）知道用符号表达的运算规律和推理结论具有一般性；（4）初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。功能：符号意识是形成抽象能力和推理能力的经验基础。综上所述，小学阶段学习的数学符号主要包括数字符号、运算符号、关系符号、图形符号、字母符号等内容。符号意识在小学数学中主要表现为：知道常用数学符号的实际意义；能够自觉地用符号描述或表示数量多少、数量关系及简单的变化规律；通过符号转化进行简单的推理；能够通过对比“非数学符号”与数学符号表达的相同与不同，初步体会用数学符号表达具有简洁性与一般性、用符号表达与思考是学习数学的常用形式。从学生认知角度看，符号意识由低到高可以是：自主创造的直观示意符数学中通用的数字、运算符、关系符等抽象的含字母的算式符。这一发展历程是从“直观的、自主创造”到“抽象的、全世界通用”。小学生的认知水平处于从直观到抽象、从特殊到一般过渡的阶段，他们形成符号意识较为困难。下面结合“用字母表示数”单元内容，具体分析小学生符号意识的行为表现，提出培养学生符号意识的教学建议。二、符号意识在“用字母表示数”单元的行为表现层级“用字母表示数”是由自然的算术语言向抽象的代数语言过渡的起始，是代数学习的入门知识，是学习方程、不等式等的重要基础。因此，在小学阶段，更加强调“用字母表示数”的内52023.12下半月 数学容与育人价值。例如，2011年版课标在第二学段（46年级）明确提出：能用方程表示简单情境中的等量关系，能用等式的性质解简单的方程。而2022年版课标在第三学段（56年级）的“数量关系”主题中提出的则是“在具体情境中，探索用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性”，即2022年版课标将“方程”内容移到第四学段（79年级），更加重视“用字母表示数”的内容。依据2022年版课标编写的教材还没有正式出版，所以“方程”与“用字母表示数”这两部分内容如何编排还未知。不过通过对比依据2011年版课标编写的苏教版、人教版及北师大版教材可知，苏教版教材在五年级上册将“用字母表示数”设计为一个独立单元，五年级下册又设计了“简易方程”单元，其他两个版本教材则将“用字母表示数”与“方程”合并为同一个单元。本文划定符号意识在“用字母表示数”单元的行为表现时主要以苏教版教材为例。根据前述对符号意识内涵与表现水平的研究结论，在分析苏教版教材的基础上，本文划定符号意识的行为表现不同水平的依据是：（1）学生是否承认字母与数一样也是运算对象，可以参与运算；（2）含有字母的式子能否表示静态的数量关系、能否表示结果（即运算结果既可以是具体的数，也可以是字母或含字母的式子）；（3）字母及含有字母的式子能否表示动态变化中的数量关系。此外，在本文的讨论中，知道生活中字母的含义，如KFC表示肯德基、WC表示厕所、km表示千米、扑克牌中的J表示11等，都不视为数学中的符号意识，不在“用字母表示数”单元内容范围内。1.修辞代数水平：能用日常语言表达数量关系，但不承认字母能参与运算，也不会计算，不能主动用字母或含有字母的式子表达数量关系。例如，学生只会用语言描述“100克加一根香蕉的质量等于（200+30）克”“小棒的根数总是三角形个数的3倍”等，但不会用含字母的式子表示。学完“用字母表示数”单元后，根据教学经验可知，至少有近10%的学生仍处于该水平。2.前代数水平：能模仿着对含有字母的式子进行运算，但实际上对字母视而不见或把字母当成具体的数或某个“物”。例如，会类比“4+6=10”写出“4a+6a=10a”，但实际上对“a”视而不见。再如，能模仿着写出含字母的式子。以苏教版教材“用字母表示数”单元的例2为例。甲、乙两地之间的公路长280千米，一辆汽车从甲地开往乙地。为了解决“你能用式子表示行驶了一段路程后剩下的千米数吗”这一问题，教材给出已经行驶了50千米、74.5千米后剩下的千米数分别是280-50、280-()，而没有给出具体的230、205.5，也就是说，是用式子表示的；然后要求学生模仿着填写“已经行驶了b千米，剩下的千米数是()-()”。教材这样搭脚手架，以便逐步提升学生的符号意识水平。学完“用字母表示数”这一单元后，根据教学经验可知，应有95%的学生处于该水平。处于水平1、水平2的学生思维还是具体的，虽然水平2中出现了字母，但学生只是把字母看作某个“物”或某个示意符，这是形成符号意识的必经过程。下面的三级水平（即水平3、水平4、水平5）才是真正的代数思维水平，为凸显各级水平的内容特点，没有称之为代数思维水平1、水平2、水平3。3.静态数量关系水平：知道并会用字母表示静态的数量关系、规律，知道此时字母可以表示任意的数。例如，学生认可运算律、公式等可以用字母表示，知道字母可以表示广义的数，并能根据现实情境说出字母的取值范围。具体内容可见苏教版教材“用字母表示数”单元的例 3。处于该水平的学生认可含字母的代数式既表示静态的数量关系，也表示结果，知道此时代数式中的字母表示特定的未知数。例如，天平左边托盘里装有一个100克重的苹果和一根x克重的香蕉，右边托盘里装有200克和50克的砝码，此时天平平衡，用等式表示这种平衡状态。处于该水平的学生的思维具有初步的概括性、一般性。学完“用字母表示数”单元后，根据教学经验可知，应有90%的学生处于该水平。课读标解2023.12下半月 数学62023.12下半月 数学4.简单变量关系水平：认可并能够用含有字母的式子表示变化过程中两个变量之间的关系，还认可字母表示“受限制”的多个自然数。例如，图形中的规律，父母与孩子年龄之间的关系，青蛙的只数与腿数之间的关系等。学生的思维具有抽象性、辩证性，能够整体把握变化中的不变，初步感悟函数思想。“两个变量之间的关系”主要包括加法关系或乘法关系中的某一种，即只涉及两个运算对象进行一次运算。例如，小明1岁时，妈妈28岁；小明2岁时，妈妈29岁小明a岁时，妈妈多少岁？再如，摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用6根小棒摆n个三角形一共用多少根小棒？学完“用字母表示数”单元后，根据教学经验可知，应有80%的学生处于该水平。5.复杂变量关系水平：较为复杂的数量关系是指由加法关系与乘法关系复合一次或多次而得到的关系，即至少涉及三个运算对象进行两次以上运算。具体内容见苏教版教材“用字母表示数”单元的例4、例5、例7及综合实践活动“钉子板上的多边形”。值得注意的是，“青蛙的只数与眼睛、腿、嘴等之间的数量关系”情境适用于六年级“变化的量”“正比例”的学习，不太适用于五年级“用字母表示数”单元，因为所涉及的变量关系太多。学完“用字母表示数”单元后，根据教学经验可知，能有60%的学生处于该水平就很好。需要注意的是，以下内容是中学数学要求的内容，在小学不要求：用式子表示两个及两个以上代数式的大小关系，并认识到满足关系式的字母表示满足条件的实数。例如，“x+y=6，且xy,求x的取值范围”“3n和n+3谁大”等问题。韦达在其著作 分析引论 中第一次有意识地使用系统的字母符号，以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量，他把符号代数称作类的算术，同时规定了算术与代数的分界，认为代数运算施行于事物的类或形式，算术运算施行于具体的数4。伴随着人们对字母表示数的意义的认识水平的提高，字母表示数的功能逐步得到发展与完善，但这是一个漫长的历史演进过程。为数不少的小学生对用字母表示数的认识仍停留在水平1、水平2或水平3阶段，对字母的意义的认知多数停留在记数符号及未知量的层次，只有少部分学生理解并能用一类量思考、解决问题。三、培养学生符号意识的教学建议提升小学生的符号意识是一个漫长且艰辛的过程，其背后是由算术思维发展为代数思维。一方面，要克服算术思维的定式，例如，学生习惯于按照程序计算且能得到具体的结果；另一方面，又要培养学生的抽象与概括能力，认可字母符号，不急着算出来而能从整体上和结构上把握数量关系。这两方面对培养学生的符号意识都非常重要。1.让学生感受用字母符号表示的必要性。从低年级开始就要有意识地让学生认可直观示意符、数字与运算符并感受其价值。“用字母表示数”的第一课时更要让学生感受引入字母符号的必要性。例如，俞正强老师执教该课的理念与做法值得借鉴。他设计了三个理解层次的“大任务”。层次一：确定的数用数字表示，不确定的数用字母表示（问题：不同情境下的信封里各有几支粉笔）。层次二：不同的对象用不同的字母表示（问题：你和老师各有多少根头发）。层次三：两个对象有联系时，其中一个对象用字母式表示（老师与某学生的年龄问题）5。从外显行为到内隐理解，学生的每个活动都隐含着教师自觉的教学意图，即让学生透彻地理解：为什么要用字母表示数、什么情况下用什么样的字母表示数。逐层深入，既深入到知识的本质，又激发学生强烈的好奇心与用字母表示的欲望，通过对比不同的情境，可以用数或字母表示数量或数量关系，初步感悟用字母表示的必要性。2.单元内容的设计要符合符号意识的进阶层级。如前所述，“用字母表示数”是培养学生符号意识的重要载体。但目前“用字母表示数”无论是单元设计还是课时设计都不尽如人意，所设计的内容极易人为地“拉低”学生的符号意识水平。例如，俞正强老师所举的“皮毛的学读标解课72023.12下半月 数学习”5。培养学生的符号意识时一定要考虑其学习进阶，也就是前述不同水平的表现。前述水平1、水平2是学生形成符号意识的前提或基础，并不是代数思维水平的符号意识。目前苏教版教材与人教版教材中的例题侧重于水平3、水平4、水平5对应的内容，北师大版教材则侧重于水平4对应的内容。苏教版教材将“用字母表示数”作为独立单元，其所涉及的内容较多，尤其是水平5对应的内容不仅出现在例题中，还作为综合实践活动的内容，不但内容多，所涉及的水平也更高。像当下苏教版教材这样设计单元内容，符合2022年版课标的要求，更加重视培养学生的符号意识与代数思维，从学习进阶理论角度看，这样处理更有助于学生形成和发展符号意识。3.认识到小学生算术思维的根深蒂固。含有字母的式子既能表征数量关系，也能表示某个量的大小。一般来说，学生理解前者较容易，真正理解后者很难，因为学生受算术思维的束缚，认为只能用具体的数表示结果，而不认可用式子表示，因为“算式还没有算完”，尤其是一些认真、严谨、有良好学习习惯的学生。例如：面对家庭作业中的下述题目时，出问题的学生很多（约占70%）：商店原有120千克苹果，又运来20箱，每箱a千克，商店里现在有多少千克苹果？（用含有字母的式子表示）学生出问题仅仅是因为粗心没有认真审题吗？或许不是！教师为进一步诊断学生出问题的根源，对六名不同水平的学生进行了集体访谈。师：先说说自己是怎么想的。生：用“原来的”加上“又运来的”就是“现在的”。师：怎样列式表示呢？（当教师问起这个问题时，刚才还说话的学生赶快低下头，表现得没有自信）老师再给你们一些时间思考。1分钟后，终于有一名学生说：20a+120。师：20a表示什么？生：又运来多少千克。（另外几人随声附和）师：“20a+120”这个式子表示的是一个整体，就是现在有多少千克苹果，明白了吗？学生频频点头，不到5分钟，多数学生都改完了错。但是还有一名学生没完成，5分钟又过去了，怎么这个学生还没改完？今天他怎么了？这可是平时学习一贯很好的学生啊！教师仔细一看：这不是已经改对了吗？但再看看该学生，发现他愁眉苦脸地一手拿着橡皮一手拿着铅笔，想擦掉，好像又想添点什么。教师弯下腰，轻轻问他：“还有哪儿不明白？”他的脸一下子红了，抬起头两眼泪汪汪地说：“我不会计算。”他边说边拿着笔要在“20a+120”后面写上“=”，一副不计算出结果誓不罢休的样子。课堂练习时做过类似的练习啊，不是都明白了吗？这个学生今天怎么又问起“怎么计算”啊？用字母表示数经历了2000年左右的漫长历史进程，经过一代代数学家艰苦卓绝的探索、完善，才能以今天的面貌呈现于世人面前，学生只靠短短几节课的学习又怎能轻松跨越如此漫长的历史长河呢？因此，教师要接受“学生一会儿明白、一会儿又糊涂”的现状，对于用字母表示数，不是依靠短时间的讲解与训练学生就能理解与掌握的，其背后是代数思维在“作祟”，提升符号意识水平就是逐步提升代数思维水平的过程，二者密不可分。数学课程的任务之一就是让学生逐步感悟和拥有使用数学符号的能力，逐步学会欣赏数学符号的内在魅力，尤其是在小学阶段急不得。参考文献：1朱立明,马云鹏.学生数学符号意识PORE评价框架的构建J.数学教育学报，2016，25（1）.2朱立明.义务教育阶段学生数学符号意识分析层次的构建J.数学教育学报，2019，28（4）.3李艳琴,宋乃庆.小学低段数学符号意识测评指标体系的初步构建J.教育学报，2016，12（4）.4蒲淑萍,汪晓勤.学生对字母的理解：历史相似性研究J.数学教育学报，2012，21（3）.5俞正强.种子课如何实现深度学习：以用字母表示数 为例J.人民教育，2021(15/16).（作者单位：北京教育学院数学与科学学院）Y课读标解2023.12下半月 数学8