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第 43 卷 第 2 期许昌学院学报Vol.43.No.2 2024 年 3 月JOURNAL OF XUCHANG UNIVERSITYMar.2024收稿日期:2023-09-28作者简介:马国锋(1971),男,河南许昌人,副教授,硕士,研究方向:有限元方法及应用.文章编号:1671-9824(2024)02-0007-05多项时间分数阶扩散方程类 Carey 非协调元的误差分析马国锋(许昌学院 数理学院,河南 许昌 461000)摘 要:基于 L1 全离散格式,针对具有 Caputo 导数的二维多项时间分数阶扩散方程给出了类 Carey 非协调有限元方法.利用该单元的特殊性质和分数阶导数巧妙的处理技巧导出了 L2模和 H1模意义下的最优误差估计.关键词:多项时间分数阶扩散方程;类 Carey 元;全离散格式;最优误差估计中图分类号:O242.21 文献标识码:A 考虑如下的多项时间分数阶扩散方程P,1,2,m(Dt)u-u=f(X,t),(X,t)(0,T,u(X,t)=0,(X,t)(0,T,u(X,0)=u0(X),X ,(1)其中 R2是有界的凸多边形区域,是 的边界,X=(x,y),u0(X),f(X,t)为已知适当光滑的函数,算子 P,1,2,m(Dt)为P,1,2,m(Dt)=Dt+mi=1liDit,li 0,m N+,0 1 2 m 1,Dt是关于 t 的左 阶 Caputo 导数算子,其定义为Dtu(X,t)=1(1-)t0u(x,s)s1(t-s)ds,这里()是 Gamma 函数.分数阶偏微分方程可以用来模拟工程、物理、生物等科学领域的许多现象.研究者发现分数阶微分算子具有空间全域相关性和历史记忆性,因此分数阶微分方程非常适合用来描述现实生活中具有记忆和遗传特性的问题,如电容理论、电解化学、半导体物理、粘弹性系统、生物数学及统计力学等等.由于它的解析解不易求得,因而分数阶微分方程的数值算法研究备受关注.例如,文1考虑了多项时间分数阶扩散方程的谱方法,给出了全离散格式下的误差分析.文2对多项时间分数阶对流扩散方程构造了一类显-隐和隐-显差分格式,并证明了格式的无条件稳定性和收敛性.文3对多项时间分数阶扩散方程提出了一种高阶数值求解方法,并对其稳定性和收敛性进行了严格的证明.文4对单项时间分数阶扩散方程进行了非协调新混合元方法研究,得到了原始变量和中间变量的最优误差估计.文5对问题(1)利用非协调EQ1rot元进行了收敛性分析.文6和7分别针对单项和多项时间分数阶扩散方程进行类 Wilson 非协调逼近并导出了超收敛结果.类 Carey 元是非协调三角形元,关于整数阶偏微分方程的类 Carey 元方法已有一些讨论,如文8-10将类 Carey 元分别应用于双曲积分微分方程、非线性 Sobolev-Galpern 型湿气迁移方程和 Poisson 方程,得到了有限元解的超逼近性质和整体超收敛结果.但据我们所知关于问题(1)的三角形非协调元逼近目前许昌学院学报2024 年 3 月还未见报道.本文将类 Carey 非协调有限元应用到二维多项时间分数阶扩散方程进行数值逼近.基于分数阶导数巧妙的处理技巧及文3中给出的该单元性质导出了 L2模和 H1模意义下的最优误差估计.1 类 Carey 元构造和重要引理设 Jh是 的一族直角三角形剖分,K Jh,设其两条边分别平行于 x 轴和 y 轴,并且所有水平边和竖直边分别相等(记为 GATM 三角形网格).与文5 类似定义类 Carey 非协调元空间 Vh及空间上相应的插值算子.设Vh Vh为 Jh上线性三角形有限元空间,K Jh,记插值算子 Ih:H2()Vh.引理 1 3假设 H10()H3(),对任意 vh Vh,有KKnvhds Ch23vhh,(2)(h(-Ih),hvh)Ch23vhh Ch 3vh0,(3)其中,h=(K21,K)12,(w1(x,y),w2(x,y)=KKw1(x,y)w2(x,y)dxdy,h是分片求导算子,C是不依赖空间步长 h 和时间步长 的正常数,不同的地方可以不同,n 是 K 上的外法线方向向量.问题(1)的变分形式是:求 u(X,t):(0,T H10(),满足(P,1,2,m(Dt)u,v)+(u,v)=(f,v),v H10(),u(X,0)=u0(X),X .(4)2全离散逼近格式和稳定性分析假设 0=t0 t1 t2 tN-1 B1 BN-1 0.当 1 k n-1 时有 Bnk 0.问题(4)的全离散逼近格式为:给出 Un-1 Vh,求 Un Vh,使得(P,1,2,m(Dt)Un,vh)+(hUn,hvh)=(f n,vh),vh Vh,U0=Ihu0(X),X .(6)为方便起见,令 Rn=P,1,2,m(Dt)un-P,1,2,m(Dt)un.若 utt(X,t)L2(),t (0,T,根据文10 有Rn0 Cmax0tTutt(X,t)02-.(7)为了给出有限元解的稳定性,利用文6 中的思想,先给出如下引理.引理 2设 nNn=0是 上的函数列,有8第 43 卷第 2 期马国锋:多项时间分数阶扩散方程类 Carey 非协调元的误差分析(n,nk=0Bnkk)=12(B0n20+n-1k=0Bnkk20-n-1k=0Bnkk-n20).引理 3按照 b,N-1,BN-1的定义,则b,N-1(1-)T-,BN-1,这里 =(1-)T-+mi=1(2-)(2-i)Ti(1-i)li.基于文5 中的方法可得逼近格式的稳定性如下:定理 1设 Un 是方程(6)的解,则有Un2h U020+C maxt0,Tf(X,t)20.3最优误差估计定理 2设 un,Un分别是(4)和(6)在 t=tn的解.对任意 t 0,T,若 u H3(),ut H2(),utt L2(),那么对任意 1 n N,有un-Un0=O(h2+2-).证明 对于 vh Vh,由(4)和(6)可得误差方程:(P,1,2,m(Dt)(un-Un),vh)+(h(un-Un),hvh)=KKunvhds-(Rn,vh).(8)为方便起见,定义 un-Un=(un-Ihun)+(Ihun-Un)=n+n.在(8)中令 vh=n,有 (P,1,2,m(Dt)n,n)+n2h =-(P,1,2,m(Dt)n,n)-(n,hn)+KKunnnds-(Rn,n).(9)根据引理 2,得(P,1,2,m(Dt)n,n)=-2(2-)(B0n20+n-1k=0Bnkk20-n-1k=0Bnkk-n20).(10)注意到 0=0,由式(9)和(10),我们得到 B0n20+Bn-1n20-nk=1Bnkk-n20+2(2-)n2h =-n-1k=0Bnkk20-2nk=0Bnk(k,n)-2(2-)(n,hn)-2(2-)(Rn,n)+2(2-)KKunnnds=5j=1Wj.(11)接下来估计(11)式的右端,定义(t)L(Hm()=maxt0,T(t)m,并由tn-k0=1tn-ktn-k-1tdt0 Ch2utL(H2(),得到W2=-2n-1k=0Bk(tn-k,n)2n-1k=0Bktn-k0n0 Ch2utL(H2()n0n-1k=0Bk Ch42ut2L(H2()(n-1k=0Bk)2B-1n-1+Bn-12n20 Ch4(T1-+mi=1li(2-)(2-i)T1-i)2ut2L(H2()+Bn-12n20.根据式(3),有9许昌学院学报2024 年 3 月W3 C(2-)h2un3nh Ch4u2L(H2()+(2-)n2h.根据式(7)和引理 3,我们得到W4 C2n0 C4B-1n-1+Bn-12n20 C4B-1N-1+Bn-12n20 C4-+Bn-12n20.由引理 1 中的式(2),有W5 Ch4u2L(H3()+(2-)n2h.应用上述 Wj(j=2,5)的估计,省略正项-n-1k=1Bnkk-n20,我们得到B0n20-n-1k=0Bnkk20+,(12)这里 =Ch4(T1-+mi=1li(2-)(2-i)T1-i)2ut2L(H2()+C4-2+Ch4u2L(H3().类似于文7 中的技巧,得到n20 B-1n-1 C=O(h4+4-2).(13)进而通过插值理论,得到un-Un0=O(h2+2-).定理 2 得证.定理 3设 un,Un分别是(4)和(6)在 t=tn时的解.若 u H3(),ut H2(),utt L2(),则对任意 1 n N,有un-Unh=O(h+2-).证明 在式(8)中取 vh=P,1,2,m(Dt)n,得P,1,2,m(Dt)n20+(hn,hP,1,2,m(Dt)n)=-(P,1,2,m(Dt)n,P,1,2,m(Dt)n)-(n,hP,1,2,m(Dt)n)-(Rn,P,1,2,m(Dt)n)+KKunnP,1,2,m(Dt)nds=4j=1Fj.(14)根据式(5)和引理 2 得(hn,hP,1,2,m(Dt)n)=-2(2-)B0n2h+n-1k=0Bnkk2h-n-1k=0Bnkn-k2h.现在估计式(14)右边的四项.类似于 W2-W5的估计得F1 Ch2ut2L(H1()+14P,1,2,m(Dt)n20,F2 Ch2u2L(H3()+14P,1,2,m(Dt)n20,F3 C maxt0,Tutt(X,t)204-2+14P,1,2,m(Dt)n20,F4 Ch2u2L(H3()+14P,1,2,m(Dt)n20.综合 Fi(i=1,4)的估计式得B0n2h-n-1k=0Bnkk2h+,其中=Ch4(ut2L(H1()+u2L(H3()+C4-.01第 43 卷第 2 期马国锋:多项时间分数阶扩散方程类 Carey 非协调元的误差分析类似于式(13)的讨论可得n2h B-1n-1=O(h4+4-2),进而可导出un-Unh un-Ihunh+Ihun-Unh=O(h+2-).定理 3 证毕.参考文献:1 ZHENG M,LIU F,ANH V,et al.A high-order spectral method for the multi-term time-fractional diffusion equations J.Applied Mathematical Modelling,2016,40(7-8):4970-4985.2 秦 潇,吕 蓬,杨晓忠.多项时间分数阶对流扩散方程的一类显-隐和隐-显差分格式J.高校应用数学学报 A 辑,2022,37(2):151-164.3 马 戈,石东洋.双曲积分微分方程类 Carey 元解的超收敛性分析J.兰州理工大学学报,2010,36(5):139-142.4 陈宝凤,石 玉.非线性 Sobolev-Galpern 型湿气迁移方程的非协调类 Carey 元超收敛分析J.数学的实践与认识,2014,44(18):309-314.5 SHI D Y,HAO X B.Accuracy analysis for quasi-Carey element J.Journal of Systems Science and Complexity,2008,21(3):456-462.6 ZHAO Y M,CHEN P,BU W P.Two mixed finite element methods for time-fractional diffusion equations J.Journal of Scientific Computing,2017,70(1):407-428.7 ZHAO Y M,ZHANG Y D,LIU F W,et al.Analytical solution and nonconforming finite element approximation for the 2D multi-term fractional subdiffusion equation J.Applied Mathematical Modelling,2016,40(19-20):8810-8825.8 ZHAO Y M,ZHANG Y D,SHI D Y,et al.Superconvergence analysis of nonconforming finite element method for two-di-mensional time fractional diffusion equations J.Applied Mathematics Letters,2016,59:38-47.9 王芬玲,张景丽,樊明智,等.多项时间分数阶扩散方程类 Wilson 非协调元的超收敛分析J.应用数学,2018,31(1):79-88.10 JIN B,LAZAROV R,LIU Y,et al.The Galerkin finite element method for a multi-term time-fractional diffusion equation J.Journal of Computational Physics,2015,281(15):825-843.Error Analysis of Quasi-Carey Nonconforming Element for Multi-Term Time Fractional Diffusion EquationsMA Guofeng(School of Science,Xuchang University,Xuchang 461000,China)Abstract:A quasi-Carey nonconforming finite element method for a class of two-dimensional multi-term time fractional diffusion equations with Caputo fractional derivative is established under classical L1 fully-discrete ap-proximation scheme.By use of the special property of the element and fractional derivative skillfully technique,the optimal error estimates in L2-norm and H1-norm are derived.Key words:multi-term time fractional diffusion equations;Quasi-Carey element;fully-discrete scheme;op-timal error estimate责任编辑:史艳华11