合肥市高三第一次教学质量检测数学试题文科含答案.doc

合肥市2019届高三第一次教学质量检测
数学试题(文科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则=(　 　).
A. B. C. D.
2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为(　 　).
A.-2 B.2 C. D.
3.设双曲线()的虚轴长为4，一条渐近线为，则双曲线的方程为(　 　).
A. B.
C. D.
4.执行右图所示的程序框图，则输出的值为( ).
A.63 B.47 C.23 D.7
5.设向量，向量与向量方向相反，且，则向量的坐标为(　 　).
A. B. C. D.
6.设，，，则(　 　).
A. B. C. D.
7.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.

A.互联网行业从业人员中90后占一半以上
B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
8.已知，则=(　 　).
A. B. C. D.
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为(　 　).
A. B. C. D.
10.已知函数，对于实数，“”是“”的(　 　).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11.已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，，，抛物线的准线与轴交于点，于点，则四边形的面积为(　 　).
A. B. C. D.
12.若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是(　 　).
A. B. C. D.

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.设满足约束条件，则的取值范围为 .
14.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.

现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为 .
15.设等差数列满足，，则数列的前项的和等于 .
16.设的内角的对边长成等比数列，，延长至，若，则面积的最大值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，设函数.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间；
(Ⅱ)若否
是
开始
输出y
结 束

输入x
，求的值.

18.本小题满分12分)
已知：如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，.
(Ⅰ)若点为的中点，求证：∥平面；
(Ⅱ)求四棱锥的体积.

19.(本小题满分12分)
某学校九年级三个班共有学生140人.为了了解学生的睡眠情况，现通过分层抽样的方法获得这三个班部分学生周一至周五睡眠时间的数据(单位：小时)
甲班 30 31 32 32.5 34 35 36；
乙班 30 32 33 35.5 37 39 39.5；
丙班 30 30 31 33.5 39 40.
(Ⅰ)试估算每一个班的学生数；
(Ⅱ)设抽取的这20位学生睡眠时间的平均数为.若在丙班抽取的6名学生中，再随机选取3人作进一步地调查，求选取的这3名学生睡眠时间既有多于、又有少于的概率.

20.(本小题满分12分)
设椭圆()的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，若椭圆的离心率为，的周长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点，，设弦，的中点分别为，证明：三点共线.

21.(本小题满分12分)
已知函数(是自然对数的底数).
(Ⅰ)设(其中是的导数)，求的极小值；
(Ⅱ)若对，都有成立，求实数的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求、交点的直角坐标；
(Ⅱ)设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值.

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数.
(Ⅰ)若，求实数的取值范围；
(Ⅱ)设()，若的最小值为，求的值.

合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学试题(文科)
参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
C
D
D
D
C
B
C
A
A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.[-1，6] 14. 15. 16.
三、解答题：
17.(本小题满分12分)
(Ⅰ)由已知可得，则.
令，解得.
∴函数的单调递增区间为. …………………………5分
(Ⅱ)由得，
∴，即. …………………………12分

18.(本小题满分12分)
(Ⅰ)取的中点为，连结，.
∵为等边三角形，∴.
∵，，
∴，
∴，∴.
又∵平面，平面，
∴∥平面.
∵为的中点，为的中点，∴∥.
又∵平面，平面，
∴∥平面.
∵，∴平面∥平面.
又∵平面，∴∥平面. …………………………5分
(Ⅱ)连结交于，连结.
∵，
∴.为的中点.
又∵，，，∴.
又∵，∴，∴.
又∵，∴⊥平面，即四棱锥的高为，
∴四棱锥的体积.
…………………………12分
19.(本小题满分12分)
(Ⅰ)甲班：(人)，乙班(人)，丙班(人). ……………5分
(Ⅱ).
设事件“3名学生睡眠时间既有多于、又有少于的学生”.丙班睡眠时间少于的有4人，设为，多于的有2人，设为.从这6名学生中随机选取3人的基本事件共有20种，而不满足条件的基本事件(3人睡眠时间都低于)有共4种情况，所以满足条件的基本事件数为16种，，即在丙班被抽取的6名学生中，再随机地选取3人作进一步地调查，选取的3人睡眠时间既有多于、又有少于学生的概率为.……………………12分

20.(本小题满分12分)
(Ⅰ)由题意知，.
又∵，∴，，
∴椭圆的方程为. …………………………5分
(Ⅱ)易知，当直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点在轴上，三点共线；
当直线的斜率存在时，设其斜率为，且设.
联立方程得相减得，
∴，
∴，，即，
∴.
同理可得，∴，所以三点共线. ………………………12分

21.(本小题满分12分)
(Ⅰ)，.
令，∴，
∴在上为增函数，.
∵当时，；当时，，
∴的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为，
∴. …………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上单调递增，在(0，1)上单调递减，
∴.
当时，，在上单调递增，，满足条件；
当时，.
又∵，∴，使得，
此时，，；，，
∴在上单调递减，，都有，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为. ………………………12分

22.(本小题满分10分)
(Ⅰ)，，∴，∴.
联立方程组得，解得，，
∴所求交点的坐标为，.………………………5分
(Ⅱ)设，则，
∴的面积

∴当时，. ………………………10分

23.(本小题满分10分)
(Ⅰ)，即或或，
∴实数的取值范围是. ………………………5分
(Ⅱ)∵，∴，∴，
易知函数在时单调递减，在时单调递增，
∴.
∴，解得. ………………………10分