安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测-数学理.doc

安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测
数学理试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为虚数单位，则（ ）
A．5 B． C． D．
2.已知等差数，若，则的前7项的和是（ ）
A．112 B．51 C．28 D．18
3.已知集合是函数的定义域，集合是函数的值域，则（ ）
A． B．
C．且 D．
4.若双曲线的一条渐近线方程为，该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5.执行如图程序框图，若输入的等于10，则输出的结果是（ ）

A．2 B． C． D．
6.已知某公司生产的一种产品的质量(单位：克)服从正态分布.现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在内的产品估计有（ ）
（附：若服从，则，）
A．3413件 B．4772件 C．6826件 D．8185件
7.将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
8.已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
9.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A． B． C． D．
10.已知直线与曲线相切(其中为自然对数的底数)，则实数的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
11.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在两种设备上加工，生产一件甲产品需用设备2小时，设备6小时；生产一件乙产品需用设备3小时，设备1小时. 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ）
A．320千元 B．360千元 C．400千元 D．440千元
12.已知函数(其中为自然对数的底数），若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 若平面向量满足，则 ．
14.已知是常数，，且，则 ．
15.抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过抛物线上一点(第一象限内)作的垂线,垂足为.若四边形的周长为16，则点的坐标为 ．
16.在四面体中，，二面角的大小为,则四面体外接球的半径为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知的内角的对边分别为，.
（1）求角；
（2）若，求的周长的最大值.
18.2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科 目，政治、历史、地理为社会科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.
（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科目的概率；
（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科目，两个科目属于自然科目.若该考生所选的社会科目考试的成绩获等的概率都是0.8，所选的自然科目考试的成绩获等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量表示他所选考的三个科目中考试成绩获等的科目数，求的分布列和数学期望.
19.如图，在多面体中，是正方形，平面，平面，，点为棱的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值.
20.在平面直角坐标系中，圆交轴于点，交轴于点.以为顶点，分别为左、右焦点的椭圆，恰好经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设经过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.
21.已知.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线 (为参数)，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.
（1）求曲线的普通方程；
（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求的最小值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围.

试卷答案
一、选择题
1-5: ACBCC 6-10: DDACB 11、12：BD
二、填空题
13. 14. 3 15. 16.
三、解答题
17. 解：（1）根据正弦定理，由已知得：，
即，
∴，
∵，∴，
∴，从而.
∵，∴.
（2）由（1）和余弦定理得，即，
∴，
即 (当且仅当时等号成立）.
所以，周长的最大值为.
18. （1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科目”为事件，
则，
所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科目的概率为.
（2）随机变量的所有可能取值有0, 1，2，3.
因为,
，
，
，
所以的分布列为

所以.
19.（1）证明：连结，交于点，
∴为的中点，∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵都垂直底面，
∴.
∵，
∴为平行四边形，∴.
∵平面，平面，
∴平面.
又∵，∴平面平面.
（2）由已知，平面，是正方形.
∴两两垂直，如图，建立空间直角坐标系.
设，则，从而，
∴，
设平面的一个法向量为，
由得.
令，则，从而.
∵，设与平面所成的角为，则
，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.

20.（1）由已知可得，椭圆的焦点在轴上.
设椭圆的标准方程为，焦距为，则，
∴，∴椭圆的标准方程为.
又∵椭圆过点，∴，解得.
∴椭圆的标准方程为.
（2）由于点在椭圆外，所以直线的斜率存在.
设直线的斜率为，则直线，设.
由消去得，.
由得，从而，
∴.
∵点到直线的距离，
∴的面积为.
令，则，
∴，
当即时，有最大值，，此时.
所以，当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.
21.（Ⅰ）的定义域为，.
∵.
令，则
（1）若，即当时，对任意，恒成立， 即当时，恒成立（仅在孤立点处等号成立）.
∴在上单调递增.
（2）若，即当或时，的对称轴为.
①当时，，且.
如图，任意，恒成立， 即任意时，恒成立，

∴在上单调递增.
②当时， ，且.
如图，记的两根为

∴当时，；
当时，.
∴当时，，
当时，.
∴在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减.
（Ⅱ）恒成立等价于，恒成立.
令，则恒成立等价于， .
要满足式，即在时取得最大值.
∵.
由解得.
当时，，
∴当时，；当时，.
∴当时，在上单调递增，在上单调递减，从而，符合题意.
所以，.
22. （1）由得：.
因为，所以，
即曲线的普通方程为.
（2）由（1）可知，圆的圆心为，半径为1.
设曲线上的动点，
由动点在圆上可得：.
∵
当时，，
∴.
23.（1），
或或
或，
所以，原不等式的解集为.
（2）由条件知，不等式有解，则即可.
由于，
当且仅当，即当时等号成立，故.
所以，的取值范围是.

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