资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知,,,,则
A. B.
C. D.
2．设，，则的值为（）
A. B.
C.1 D.e
3．已知关于的方程的两个实根为满足则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
4．函数（，且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A. B.
C. D.
5．若，则下列说法正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若且，则 D.若，则
6．若函数在单调递增，则实数a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
7．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．过点A（3，4）且与直线l：x﹣2y﹣1＝0垂直的直线的方程是
A.2x+y﹣10＝0 B.x+2y﹣11＝0
C.x﹣2y+5＝0 D.x﹣2y﹣5＝0
9． “ω＝2”是“π为函数的最小正周期”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10．在线段上任取一点，则此点坐标大于1的概率是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知，那么（）
A. B.
C. D.
12．学校操场上的铅球投郑落球区是一个半径为米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度为约米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．点关于直线的对称点的坐标为______.
14．已知函数，若a、b、c互不相等，且，则abc的取值范围是______
15．若关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是___________.
16．已知实数满足，则________
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知函数，（其中，，），的相邻两条对称轴间的距离为，且图象上一个最高点的坐标为.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求的单调递减区间；
（Ⅲ）当时，求的值域.
18．给出以下四个式子：
①；
②；
③；
④.
（1）已知所给各式都等于同一个常数，试从上述四个式子中任选一个， 求出这个常数；
（2）分析以上各式的共同特点，写出能反应一般规律的等式，并对等式正确性作出证明.
19．已知函数，（）的最小周期为.
（1）求的值及函数在上的单调递减区间；
（2）若函数在上取得最小值时对应的角度为，求半径为3，圆心角为的扇形的面积.
20．年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，口罩是必不可少的防护用品．已知某口罩的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，为年产量单位：万箱；已知通过市场分析，如若每万箱售价万元时，该厂年内生产的商品能全部售完．利润销售收入总成本
（1）求年利润与万元关于年产量万箱的函数关系式；
21．设函数
（1）若，求的值
（2）求函数在R上的最小值；
（3）若方程在上有四个不相等的实数根，求a的取值范围
22．空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其分级如下表：
空气质量指数
空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
现分别从甲、乙两个城市月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取天的数据，记录如下：
甲
乙
（1）估计甲城市月份某一天空气质量类别为良的概率；
（2）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；
（3）记甲城市这天空气质量指数的方差为．从甲城市月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为，若，与原有的天的数据构成新样本的方差记为；若，与原有的天的数据构成新样本的方差记为，试比较、、的大小．（结论不要求证明）
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、C
【解析】分别求出的值再带入即可
【详解】因为,
所以
因为,
所以
所以
【点睛】本题考查两角差的余弦公式．属于基础题
2、A
【解析】根据所给分段函数解析式计算可得；
【详解】解：因为，，
所以，所以
故选：A
3、D
【解析】利用二次方程实根分布列式可解得.
【详解】设,
根据二次方程实根分布可列式:,即,
即,解得:.
故选D.
【点睛】本题考查了二次方程实根的分布.属基础题.
4、D
【解析】根据对数型函数恒过定点得到定点，再根据点在角的终边上，由三角函数的定义得，即可得到答案.
【详解】由于函数（，且）的图象恒过定点，则，点，点在角的终边上，.
故选：D.
5、D
【解析】根据选项举反例即可排除ABC，结合不等式性质可判断D
【详解】对A，取，则有，A错；
对B，取，则有，B错；
对C，取，则有，C错；
对D，若，则正确；
故选：D
6、D
【解析】根据给定条件利用对数型复合函数单调性列式求解作答.
【详解】函数中，令，函数在上单调递增，
而函数在上单调递增，则函数在上单调递增，且，
因此，，解得，
所以实数a的取值范围为.
故选：D
7、A
【解析】由题意可得,，
，
，．故A正确
考点：三角函数单调性
8、A
【解析】依题意,设所求直线的一般式方程为,把点坐标代入求解,从而求出一般式方程.
【详解】设经过点且垂直于直线的直线的一般式方程为,
把点坐标代入可得:,解得,
所求直线方程为: .
故选:A
【点睛】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
9、A
【解析】直接利用正弦型函数的性质的应用，充分条件和必要条件的应用判断A、B、C、D的结论
【详解】解：当“ω＝2”时，“函数f（x）＝sin（2x﹣）的最小正周期为π”
当函数f（x）＝sin（ωx﹣）的最小正周期为π”，故ω＝±2，
故“ω＝2”是“π为函数的最小正周期”的充分不必要条件；
故选：A
10、B
【解析】设“所取点坐标大于1”为事件A，则满足A的区间为[1,3]
根据几何概率的计算公式可得，
故选B.
点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率
11、B
【解析】先利用指数函数单调性判断b，c和1大小关系，再判断a与1的关系，即得结果.
【详解】因为在单调递增，，故，即，
而，故.
故选：B.
12、A
【解析】直接由弧长半径圆心角的公式求解即可.
【详解】根据条件得：扇形半径为10，弧长为6，
所以圆心角为：.
故选：A.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】设点关于直线的对称点为，由垂直的斜率关系，
和线段的中点在直线上列出方程组即可求解.
【详解】设点关于直线的对称点为，
由对称性知，直线与线段垂直，所以，
所以，又线段的中点在直线上，
即，所以，
由，
所以点关于直线的对称点的坐标为：.
故答案为：.
14、
【解析】画出函数的图象，根据互不相等，且，我们令，我们易根据对数的运算性质，及c的取值范围得到abc的取值范围，即可求解
【详解】由函数函数，可得函数的图象，
如图所示：
若a，b，c互不相等，且，
令，则，，
故，
故答案为
【点睛】本题主要考查了对数函数图象与性质的综合应用，其中画出函数图象，利用图象的直观性，数形结合进行解答是解决此类问题的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题
15、
【解析】根据一元二次不等式与二次函数的关系，可知只需判别式，利用所得不等式求得结果.
【详解】不等式对一切实数x恒成立，
，解得：
故答案为：.
16、4
【解析】方程的根与方程的根可以转化为函数与函数交点的横坐标和函数与函数交点的横坐标，再根据与互为反函数，关于对称，即可求出答案.
【详解】，，令，，此方程的解即为函数与函数交点的横坐标，设为 ，如下图所示； ，此方程的解即为函数与函数交点的横坐标，设为，如下图所示，
与互反函数，关于对称，联立方程，解得，即，.
故答案为：4.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）（2）（3）
【解析】（Ⅰ）由相邻两对称轴间距离是半个周期可求得，再由最高点为可得A，；
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，解不等式可得减区间；
（Ⅲ）由已知求得，由正弦函数的性质可得值域
试题解析：
（Ⅰ）相邻两条对称轴间距离为，
，即，
而由得，
图象上一个最高点坐标为，
，
，
，
，，
.
（Ⅱ）由，
得，
单调减区间为.
（Ⅲ），，
，
的值域为.
18、（1）；（2）见解析
【解析】分析：(1)利用第二个式子，结合同角三角函数的平方关系，以及正弦的倍角公式，结合特殊角的三角函数值，求得结果；
(2)根据题中所给的角之间的关系，归纳推理得到结果，证明过程应用相关公式证明即可.
详解：（1） .
（2）.
证明如下：
.
点睛：该题考查是有关三角公式的问题，涉及到的知识点有同角三角函数的关系式，正弦的倍角公式，余弦的差角公式等，正确使用公式是解题的关键.
19、（1），减区间为
（2）
【解析】（1）根据最小正周期求得，根据三角函数单调区间的求法，求得在上的单调递减区间.
（2）根据三角函数最值的求法求得，根据扇形面积公式求得扇形的面积.
【小问1详解】
由于函数，（）的最小周期为，所以，
.
，
由得，
所以的减区间为.
【小问2详解】
，
当时取得最小值，
所以，对应扇形面积为
20、（1）
（2）万箱
【解析】（1）分，两种情况，结合利润销售收入总成本公式，即可求解
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分类讨论求得最大值后比较可得
【小问1详解】
当时，
，
当时，
，
故关于的函数解析式为
小问2详解】
当时，
，
故当时，取得最大值，
当时，
，
当且仅当，即时，取得最大值，
综上所述，当时，取得最大值，
故年产量为万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大
21、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）利用求得，由此求得.
（2）利用换元法，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得正确答案.
（3）利用换元法，结合二次函数零点分布等知识来求得的取值范围.
【小问1详解】
因，所以即
此时，
由
【小问2详解】
令，，则，对称轴为
①，即，
②，即，
③，即，
综上可知，.
【小问3详解】
令，
由题意可知，当时，有两个不等实数解，
所以原题可转化为在内有两个不等实数根
所以有
22、（1）；（2）；（3）
【解析】（1）甲城市这天内空气质量类别为良有天，利用频率估计概率的思想可求得结果；
（2）列举出所有的基本事件，并利用古典概型的概率公式可求得结果；
（3）根据题意可得出、、的大小关系.
【详解】（1）甲城市这天内空气质量类别为良的有天，则估计甲城市月份某一天空气质量类别为良的概率为；
（2）由题意，分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个，
用表示“这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染”，
则事件包含的基本事件有：、、、，共个基本事件，
所以，；
（3）
【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的问题有如下方法：
（1）列举法；
（2）列表法；
（3）树状图法；
（4）排列组合数的应用.
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