资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．如图，正方体的棱长为1，线段 上有两个动点E、F，且 ，则下列结论中错误的是
A.
B.
C.三棱锥体积为定值
D.
2．在空间坐标系中，点关于轴的对称点为（）
A. B.
C. D.
3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）
A. B.
C.( D.
4．若，则的大小关系是（）
A. B.
C. D.
5．函数的零点所在的区间为
A B.
C. D.
6．若a＞b＞1，0＜c＜1，则下列式子中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直
其中，为真命题的是
A.①和② B.②和③
C.③和④ D.②和④
8．函数在区间上的最小值是
A. B.0
C. D.2
9．函数的部分图象如图所示，则
A.
B.
C.
D.
10．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成，等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得B等级的学生人数为（）
A.30 B.60
C.80 D.28
11．点从点出发，按逆时针方向沿周长为的平面图形运动一周，，两点连线的距离与点走过的路程的函数关系如图所示，则点所走的图形可能是
A. B.
C. D.
12．已知点，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A.或 B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知扇形OAB的面积为，半径为3，则圆心角为_____
14．幂函数的图像在第___________象限.
15．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年
（1）求森林面积的年增长率；
（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？
（3）为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？（参考数据：，）
16．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为_________
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知函数；
（1）若，使得成立，求的集合
（2）已知函数的图象关于点对称，当时，．若对使得成立，求实数的取值范围
18．(1)求两条平行直线3x＋4y－6＝0与ax＋8y－4＝0间的距离
(2)求两条垂直的直线2x＋my－8＝0和x－2y＋1＝0的交点坐标
19．已知，且，求的值.
20．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
21．已知函数，其图像过点，相邻两条对称轴之间的距离为
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图像上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到函数的图像，若方程在上有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围
22．已知二次函数满足，且的最小值是
求的解析式；
若关于x的方程在区间上有唯一实数根，求实数m的取值范围；
函数，对任意，都有恒成立，求实数t的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、D
【解析】可证，故A正确；由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误．选D
2、C
【解析】两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，竖坐标互为相反数，由此可直接得出结果.
【详解】解：两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，竖坐标互为相反数，
所以点关于轴的对称点的坐标是.
故选：C.
3、C
【解析】根据奇偶性求分段函数的解析式，然后作出函数图象，根据单调性解不等式即可.
【详解】因为当时，，且函数是定义在上的奇函数，
所以时，，
所以，作出函数图象：
所以函数是上的单调递增，
又因为不等式，所以，即，
故选：C.
4、C
【解析】利用指数函数与对数函数的单调性，把各数与中间值0，1比较即得
【详解】利用指数函数的单调性知：，即；
利用指数函数的单调性知：，即；
利用对数函数的单调性知：，即；
所以
故选：C
5、B
【解析】根据零点的存在性定理，依次判断四个选项的区间中是否存在零点
【详解】，，，由零点的存在性定理，函数在区间内有零点，选择B
【点睛】用零点的存在性定理只能判断函数有零点，若要判断有几个零点需结合函数的单调性判断
6、D
【解析】利用对数函数、指数函数与幂函数的单调性即可判断出正误．
【详解】解：，，,A正确;
是减函数，，B正确;
为增函数，，C正确.
是减函数，,D错误.
故选．
【点睛】本题考查了对数函数、指数函数与幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7、D
【解析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择
【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.
故选D
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题
8、A
【解析】函数，可得的对称轴为，利用单调性可得结果
【详解】函数，
其对称轴为，在区间内部，
因为抛物线的图象开口向上，
所以当时，在区间上取得最小值，
其最小值为，故选A
【点睛】本题考查二次函数的最值，注意分析的对称轴，属于基础题．若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域.
9、A
【解析】由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.
【考点】三角函数的图象与性质
【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值
10、C
【解析】根据分层抽样的概念即得
【详解】由题可知该样本中获得B等级的学生人数为
故选：C
11、C
【解析】认真观察函数图像，根据运动特点，采用排除法解决.
【详解】由函数关系式可知当点P运动到图形周长一半时O,P两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对选项B正方形的图像关于对角线对称，所以距离与点走过的路程的函数图像应该关于对称，由图可知不满足题意故排除选项B，
故选C
【点睛】本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．考查学生分析问题的能力
12、A
【解析】，所以直线过定点，
所以，，
直线在到之间，
所以或，故选A
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、
【解析】直接利用扇形的面积公式得到答案.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，属于简单题.
14、【解析】根据幂函数的定义域及对应值域，即可确定图像所在的象限.
【详解】由解析式知：定义域为，且值域，
∴函数图像在一、二象限.
故答案为：一、二.
15、（1）；
（2）5年；（3）17年.
【解析】（1）设森林面积的年增长率为，则，解出，即可求解；
（2）设该地已经植树造林年，则，解出的值，即可求解；
（3）设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，则，再结合对数函数的公式，即可求解.
【小问1详解】
解：设森林面积的年增长率为，则，解得
【小问2详解】
解：设该地已经植树造林年，则，
，解得，
故该地已经植树造林5年
【小问3详解】
解：设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，
则，，
，
，即取17，
故为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林17年
16、4
【解析】设扇形半径为，弧长为，则，解得
考点：角的概念，弧度的概念
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据的值域列不等式，由此求得的取值范围.
（2）先求得在时的值域，对进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
的值域为，
所以，
，，
所以.所以的取值范围是.
【小问2详解】
由（1），当时，
所以在时的值域为
记函数的值域为.
若对任意的，存在，
使得成立，则
因为时，，
所以，即函数的图象过对称中心
(i)当，即时，函数在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，从而在上单调递增
，由对称性得，则
要使，只需，解得，所以，
(ii)当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减
所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，
其中，
要使，只需，解得，
(iii) 当，即时，函数在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，
从而在上单调递减．此时
要使，只需，解得，
综上可知，实数的取值范围是
18、（1）（2）(3,2)
【解析】（1）根据两平行线的距离公式得到两平行线间的距离为；（2）联立直线可求得交点坐标.
解析：(1)由，得
两条直线的方程分别为3x＋4y－6＝0，6x＋8y－4＝0即3x＋4y－2＝0
所以两平行线间的距离为
(2)由2－2m＝0，得m＝1
由，得
所以交点坐标为(3,2)
19、
【解析】先利用已知求得和的值，然后利用根据两角和的公式展开，即可得到的值
解析：
.
20、（1）;（2）单调增区间为；单调减区间为.
【解析】（1）先化简得函数f(x)＝sin，解不等式2x－＝kπ＋ (k∈Z)即得函数y＝f(x)图象的对称轴方程.(2)先求函数的单调递增区间为 (k∈Z)，再给k取值，得到函数f(x)在上的单调性.
【详解】(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，∴ω＝2.于是，f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋ (k∈Z)，得x＝＋ (k∈Z)，故函数f(x)的对称轴方程为x＝＋ (k∈Z).
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋ (k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z).注意到x∈，令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；其单调递减区间为.
【点睛】（1）本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握说和分析推理能力.（2）一般利用复合函数的单调性原理求复合函数的单调区间，首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.
21、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件依次计算出，即可作答.
(2)由(1)求出函数的解析式，再探讨在上的性质，结合图象即可作答.
【小问1详解】
因图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则周期，解得，
又，即，而，即，则，即，
所以函数的解析式.
【小问2详解】
依题意，，
当时，，而函数在上递增，在上递减，
由得，由得，
因此，函数在上单调递增，函数值从增到2，在上单调递减，函数值从2减到1，
又是图象的一条对称轴，直线与函数在上的图象有两个公共点，当且仅当，如图，
于是得方程在上有两个不相等的实数解时，当且仅当，
所以实数m的取值范围.
22、（1）(2) （3）
【解析】（1）因，故对称轴为，故可设，再由得.（2）有唯一实数根可以转化为与有唯一的交点去考虑.（3），任意都有不等式成立等价于，分、、和四种情形讨论即可.
解析：（1）因，对称轴为，设，由得，所以.
（2）由方程得，即直线与函数的图象有且只有一个交点，作出函数在的图象.易得当或时函数图象与直线只有一个交点，所以的取值范围是.
（3）由题意知.
假设存在实数满足条件，对任意都有成立，即，故有，由.
当时，在上为增函数，，所以；
当时，，.即，解得，所以.
当时，
即解得.所以.
当时，，即，所以，综上所述，，
所以当时，使得对任意都有成立.
点睛：（1）求二次函数的解析式，一般用待定系数法，有时也需要根据题设的特点合理假设二次函数的形式（如双根式、顶点式、一般式）；
（2）不等式对任意的恒成立可以等价转化为恒成立.
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