造非3的倍数的奇数阶全对称幻方的通元公式和直接填数法.pdf

2024 年 4 月第 45 卷第 2 期湘南学院学报Journal of Xiangnan UniversityApr.,2024Vol.45 No.21造非 3 的倍数的奇数阶全对称幻方的通元公式和直接填数法李超（湘南学院 数学与信息科学学院，湖南 郴州 423000）摘 要：文章利用线性取余变换的有关理论，给出了造任意非 3 的倍数的奇数阶全对称幻方的一系列通元公式和直接填数法。关键词：线性取余变换；构造：非 3 的倍数的奇数阶全对称幻方；通元公式；直接填数法中图分类号：O156 文献标志码：A DOI:10.3969/j.issn.1672-8173.2024.02.0011 造非 3 的倍数的奇数阶全对称幻方的通元公式文 1 给出了造任意奇数阶幻方的一系列通元公式，本文拟进一步探讨造全对称幻方的通元公式。本文中的记号 k 表示整数 k 除以 n 后所得的正余数，即当所得余数为正数时，k 就表示 kn 所得到的这个余数；而当 kn 所得余数为 0 时，则以 n 来作为这个余数，即此时 kn=。另外，本文也用*k来表示通常意义下 kn 所得的非负余数。因此，当 k 为 n 的倍数时*0knk=，当 k 非 n 的倍数时，*kk=。对于 k 和*k这两个记号，文 1 给出了下列引理。引理 1 ,k Z 有*11kk+=。本文所利用的理论是文 2 中的下列定理及其推论。定理 1 设112200,ij 都是定整数，1122111122221221,+都与 n互质，且有011022iiijjjij=+=+（1）()()ijijn nn nMaab=+是一个 n 阶 AB 方，iji jba=，则()ijn nMb=的各行和、列和、泛对角和皆为 S.推论 在定理 1 中，若 M 恰由前 n2个正整数构成，则M 是一个 n 阶全对称幻方。为使通元公式尽可能简单，我们总取 M 为 n 阶自然方阵，即取()()1n nMinj=+。这样一来，我们便有()01102211)(iji jbainjiijnjij+=+=+进而，由于定理和推论中，对00ij，除了它们应该是整数外，别无其他约束条件，故我们恒取0010ij=，于是进一步有*112211221(1)iji jbaijnijnijij=+=+（2）下面我们来探讨1122,n 的取值。若 n 为偶数，则由于1122,都得与 n 互质，故1122,都得为奇数，而当它们全为奇数时，收稿日期：2024-03-20作者简介：李超（1940），男，湖南郴州人，教授，研究方向为组合数学。2湘南学院学报2024 年 4 月（第 45 卷）第 2 期11+，11，22+，22就都变成了偶数，都不与 n 互质了。因此，要想按这一理论造全对称幻方，n 便只能为奇数。又因为最低阶的 3 阶幻方实质上就只一个，且这唯一的 3 阶幻方不是全对称幻方。所以本文中不得不首先总限定 n 为大于 3 的奇数。n 也不能为 3 的倍数的奇数。事实上，当 n 为 3 的倍数时，为使11,与 n 互质，11,都不能为 3 的倍数，而只能为 3t+1 或 3t-1（t 为整数）型的数。而当它们为同一型的数时，11就变成了 3 的倍数；当它们为不同型的数时，11+就变成了 3 的倍数。所以 n 只能为非 3 的倍数的奇数。另外，为使1111+，与 n 互质，11与既不能为同一数，也不能为相反数。同理，22,既不能为同一数，也不能为相反数。为使1221 与 n 互质，11,与22,还应该不成比例。我们基于这些探讨，用表 1 的组合形式，给出较为简单的 16 组数，不难检验，它们满足定理 1 和推论的所有要求。表 1 组合形式参数取值123456789101112131415161222-22-2-2-21111-1-1-1-1111-11-11-1-122-2-222-2-221-1-111-11-12-2-222-22-222-22-2-222-21-11-1-111-111+331-11-1-3-333-1-111-3-311113-33-3-1-1-1-133-3-31122+3-31-1-113-33-3-111-13-322-11-333-3-111-1-333-31-11221 3-333-3-3-33-33-33-333-3按照式（2）和这 16 组数，即可得到如下的 16 个通元公式，按它们中的任意一个，都可以造出任意非3 的倍数的奇数阶全对称幻方，即为公式 1：*2ijbnij=+2ij+；公式 2：*2ijbnij=+2ij；公式 3：*2ijbnij=+2ij+；公式 4：*2ijbnij=+2ij；公式 5：*2ijbnij=+2ij；公式 6：*2ijbnij=+2ij+；公式 7：*2ijbnij=+2ij+；公式 8：*2ijbnij=+2ij；公式 9：*2ijbn ij=+2ij+；公式 10：*2ijbn ij=+2ij；公式 11：*2ijbn ij=+2ij+；公式 12：*2ijbn ij=+2ij；3公式 13：*2ijbnij=+2ij；公式 14：*2ijbnij=+2ij+；公式 15：*2ijbnij=+2ij+；公式 16：*2ijbnij=+2ij。作为具体的例子，我们用公式（1）造一个 7 阶全对称幻方，先按照公式（1）计算各ijb：*117 21b=+1224+=，*127 22b=+14+=33，*137 23b=+1642+=，*147 24b=+1844+=，*157 25b=+1 104+=，*167 26b=+1 1213+=，*177 27b=+1 1415+=，*217 41b=+2239+=，*227 42b=+2448+=，*237 43b=+261+=，*247 44b=+2810+=，*257 45b=+21019+=，*267 46b=+21228+=，*277 47b=+21430+=，*317 61b=+325+=，*327 62b=+3414+=，*337 63b=+3616+=，*347 64b=+3825+=，*357 65b=+31034+=，*367 66b=+31236+=，*377 67b=+31445+=，*417 81b=+4220+=，*427 82b=+4422+=，*437 83b=+4631+=，*447 84b=+4840+=，*457 85b=+41049+=，*467 86b=+4122+=，*477 87b=+41411+=，*517 101b=+5235+=，*527 102b=+5437+=，*537 103b=+5646+=，*547 104b=+586+=，*557 105b=+5108+=，*567 106b=+51217+=，*577 107b=+51426+=，*617 121b=+6243+=，*627 122b=+643+=，*637 123b=+6612+=，*647 124b=+6821+=，*657 125b=+61023+=，*667 126b=+61232+=，*677 127b=+61441+=，*717 141b=+729+=，*727 142b=+7418+=，*737 143b=+7627+=，*747 144b=+7829+=，*757 145b=+71038+=，*767 146b=+71247+=，*777 147b=+7147+=。据此，可得 7 阶方阵为李超：造非 3 的倍数的奇数阶全对称幻方的通元公式和直接填数法4湘南学院学报2024 年 4 月（第 45 卷）第 2 期24334244413 153948110192830514162534364520223140492113537466817264331221233241918272938477不难检验，它的确是一个 7 阶全对称幻方。2 造非 3 的倍数的奇数阶全对称幻方的直接填数法文 3 利用线性取余变换给出了造任意奇数阶幻方的直接填数法，下文将给出造任意非 3 的倍数的奇质数阶全对称幻方的直接填数法，所利用的理论与上文通元公式的定理 1、推论和式（1）是相同的。由于研究目的在于给出全对称幻方的直接填数法，为便于直接填数，我们总取 M 为 n 阶自然方阵，即取()()1n nMinj=+。关于式（1）中1122,n 的取值也与前文相同，当 n 为非 3 的倍数的奇数时，满足定理条件的1122,是不难给出来的，例如，表 1 中给出的 16 组数都满足定理所要求的条件。至于00,ij，由于定理 1 和推论中对它们没有什么要求（除要求它们是整数外），故为计算简单，取它们都为 0。下面我们进一步来讨论，当112200,ij 的值全部取定后，如何给出造全对称幻方的直接填数法。填数法从填 1 开始，1 在 M 中位于第 1 行第 1 列，即（1,1），亦即 i=1，j=1，把它们代入式（1），得1122ij=+=+这就是说，在 M 中，1 应该填入11+（,22+）的位置，简记为111+（,22+）（3）1 填好后，接下来应该填 2。2 叫 1 的后续数。一般，若 k 是正整数，则 k+1 叫 k 的后续数。所以接下来的一步应考察：在填好()()(),k i kj k后，如何将 k 的后续数 k+1 迅速地填在正确的位置。不过这得分两种不同的情况。我们先来考察当kin时的情形。设 k 在自然方阵中位于（i,j）。由于kin，故 jn,因而 k+1 在自然方阵中位于（i,j+1），于是经线性取余变换即式（1）后，k 在 M 中的行序数()i k、列序数()j k为()()1122i kijj kij=+=+k+1 在 M 中的行序数、列序数为()()11122211i kijj kij+=+=+由此可知()()()()1211i ki kj kj k+=+=+为简单起见，可简记为()()12+1,ki kj k+（）（4）下面再讨论当)(kin in=时，在填好()()(),k i kj k后，如何将 k 的后续数 k+1 迅速地填在正确的位置。5此时 k 在第 i 行，第 n 列，k+1 在第 i+1 行，第 1 列，于是经线性取余变换后，k 在 M 中的行序数()i k、列序数()j k为()()111222i kinij kini=+=+=k+1 在 M 中的行序数、列序数为()()11122211i kij ki+=+=+由此可知()()()()112211i ki kj kj k+=+=+为简单起见，可简记为()()1122+1,ki kj k+（）（5）将式（3）、式（4）和式（5）集中在一起，就得到了一个完整的造任意非 3 的倍数的奇数阶全对称幻方的直接填数法，即为 （6）按照式（6），从填 1 开始，不断地将 2,3,4,5,2n 填入 M，填完后就得到一个 n 阶幻方。对于表 1 中的每一组值，我们都不难给出相应的造全对称幻方的直接填数法。比方，由第 1 组数值我们就可以得到如下具体的直接填数法，即为 （7）取 n=5,我们便不难据此直接填出 5 阶全对称幻方为72115418519822112312120916102413214317625参考文献：1 李超.用线性取余变换造正交拉丁方和幻方 J.应用数学学报,1996,19(2):231-238 2 李超.益智数学游戏 M.上海:上海交通大学出版社,2015:239-242.3 李超.造任意奇数阶幻方的直接填数法 J.湘南学院学报,2022,43(2):1-5.李超：造非 3 的倍数的奇数阶全对称幻方的通元公式和直接填数法