浅析RIEMANN积分与LEBESGUE积分的联系和比较省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

答辩人：答辩人：导师姓名：导师姓名：所学专业：数学与应用所学专业：数学与应用数学数学浅析浅析Riemann积分与积分与Lebesgue积分联络和比较积分联络和比较第1页绪论绪论 R R积分与积分与L积分联络和比较积分联络和比较一些相关定理推广及应用一些相关定理推广及应用小结小结论文答辩主要内容第2页1 1绪论绪论 R R积分与积分与L L积分是微积分理论主要组成部分，它积分是微积分理论主要组成部分，它在数学分析和实变函数以及其它科学领域中都占有在数学分析和实变函数以及其它科学领域中都占有主要位置。同时，它又贯通了分析数学许多主要方主要位置。同时，它又贯通了分析数学许多主要方面。面。本本文文从从微微积积分分发发展展过过程程出出发发引引出出了了我我们们已已知知R R积积分分，尽尽管管R R积积分分理理论论比比较较完完善善，但但在在考考虑虑一一些些问问题题时时，我我们们看看到到了了R R积积分分不不足足。于于是是就就有有了了改改造造R R积积分分必必要要性性,从从而而提提出出了了L L 积积分分。第3页2 R2 R积分与积分与L L积分联络和比较积分联络和比较2.1定义比较定义比较 R积分定义以下：积分定义以下：设设 是定义在是定义在 上一个函数，上一个函数，是一个确定实数。是一个确定实数。若对任给正数若对任给正数 ，总存在某一正数，总存在某一正数 ，使得对，使得对 任何分割任何分割 ，以及在其上任意选取点集，以及在其上任意选取点集 ，只要，只要 ，就有，就有 则称则称 在在 上可积或上可积或R R可积；数可积；数 称为在称为在 上定积分或上定积分或R R积分，记为积分，记为 第4页L L积分定义以下积分定义以下:设设 是一个是一个LebesgueLebesgue可测集可测集,是是定定义在义在 上上LebesgueLebesgue可测函数可测函数,又设又设 是有界，是有界，就是说存在就是说存在 及及 使得使得 ,在在 中任取一中任取一分点组分点组 ，记记并任取并任取 （我们约定，当我们约定，当 时，时，）第5页 作和作和 假如对任意分法与假如对任意分法与 任意取法，当任意取法，当 时，时，趋于有限极限，则称它为趋于有限极限，则称它为 在在 上关于上关于L L测度积测度积分，记作分，记作 它们主要区分是：它们主要区分是：R R积分是将给定函数定义域积分是将给定函数定义域分小而产生，而分小而产生，而L L积分是划分函数值域而产生积分是划分函数值域而产生 。前者优点是前者优点是 度量轻易给出，但当分法度量轻易给出，但当分法细度细度 充分小时，函数充分小时，函数 在在 上振幅上振幅 第6页 仍可能较大；后者优点是函数仍可能较大；后者优点是函数 在在 上上振幅振幅 较小，但较小，但 普通不再是区间，而是可测集。其度普通不再是区间，而是可测集。其度量量 值普通不易给出。对定义域与对值域分割值普通不易给出。对定义域与对值域分割是是R R积分与积分与L L积分本质区分，对值域进行分割求积积分本质区分，对值域进行分割求积分方法使分方法使 中点分成几大类，更简单明了。中点分成几大类，更简单明了。第7页 2.2存在条件比较存在条件比较 Riemann可积函数类可由以下三个定理给可积函数类可由以下三个定理给出：出：定理定理1 1 若若 为为 上上连续函数，连续函数，则则 在在 上上可积。可积。定理定理2 2 若若 是是 上上只有有限个间断点有界函只有有限个间断点有界函数，数，则则 在在 上可积。上可积。定理定理3 3 若若 是是 上上单调函数单调函数，则，则 在在 上上可积。可积。第8页 LebesgueLebesgue可积函数类要求可积函数类要求:设设 是可测集是可测集 上连续函数，则上连续函数，则 在在 上上L L可积充要条件是可积充要条件是 在在 上上L L可测且几乎可测且几乎处处有限。处处有限。同时同时L L积分给出了积分给出了R R可积一个比很好充要条件：可积一个比很好充要条件：函数函数 在在 上上R R可积充要条件是可积充要条件是 在在 上上一切间断点组成一个零测度集。一切间断点组成一个零测度集。这说明这说明R R可积函数是几乎处处连续。比如可积函数是几乎处处连续。比如RiemannRiemann函数函数 第9页2.3主要性质比较主要性质比较 R积分主要性质积分主要性质：(1)(线性性质线性性质)若函数 ，在 上可积,则 在 上可积,且 (2)(区域可加性区域可加性)若函数 在 上可积,那么它在任一子集上也可积,且(3)(单调性单调性)与 在 上可积,且满足 则(4)(绝对值不等式性绝对值不等式性)若 是 上可积函数,则 第10页(5)(绝对可积性绝对可积性)若 在 上可积,则 在 上也可积.L L积分主要性质积分主要性质:(1)(线性性质线性性质)若函数 ，在可测集上可积,则 在其上可积，且(2)(可加性可加性)设 互不相交 ，在 上有积分时,在每个 上有积分,且(3)(单调性单调性)与 在 上可积,且满足 则第11页(4)(绝对值不等式性绝对值不等式性)若 是 上可积函数,则 是 上可积函数，且(5)(绝对可积性绝对可积性)若 在 上可积 在 上可积.(6)(积分绝对连续性积分绝对连续性)设 为可测集，则对于任意 .存在 .使得对于任意可测集 ,只要 ,就有 第12页(7)(列维定理列维定理)设 为可测集，为 上一 列非负可测函数，当 时对于任一自然数 ，若有 ，令 ，则(8)(法图引理法图引理)设 为可测集，为 上一列非负可测函数，则 第13页 2.4 2.4积分极限换序方面比较积分极限换序方面比较LebesgueLebesgue控制收敛定理控制收敛定理：设（设（1 1）是可测集是可测集 上可测函数列；上可测函数列；（2 2）几乎处处于几乎处处于 且且 在在 上可积；上可积；（3 3）几乎处处于几乎处处于 ；则则 在在 上可积，且上可积，且 设设 ，将条件（，将条件（2 2）改为）改为 ，则，则定理结论仍成立，这也叫做定理结论仍成立，这也叫做L L积分有界收敛定理。积分有界收敛定理。例例 求求 第14页3 3一些相关定理推广及应用一些相关定理推广及应用 定理定理6 设 是 上绝对连续函数，则几乎处处有定义 在 上勒贝格可积，且即 总是 上可积函数不定积分。定理定理5 设 在 上可积，则存在绝对连续函数 ，使得 于 。定理定理4 设 在 上可积，则其不定积分是绝对连续函数。3.1积分与微分互逆关系推广积分与微分互逆关系推广第15页3.2重积分化累次积分推广及应用重积分化累次积分推广及应用定理定理9 9 若 在如 型区域 上连续,其中 在 上连续，则 定理定理1010（1）设 在 上非负可测，则对 ，作为 函数在 上可测，且（2）设 在 上可积，则对 ，作为 函数在 上可积，又 作为 函数在 上可积且（1）式成立。第16页4 4小结小结 从狭义上来说，从狭义上来说，L L积分能够看作是积分能够看作是R R积分改进积分改进和推广。我们又能够看到，和推广。我们又能够看到，L L积分并没有完全否定积分并没有完全否定和抛弃积分，它建立是以和抛弃积分，它建立是以R R积分为基础。积分为基础。这启发我们在做研究时应从不一样角度来考这启发我们在做研究时应从不一样角度来考虑一些现有概念和理论，有时可能造成新概念和虑一些现有概念和理论，有时可能造成新概念和理论。理论。第17页 致谢致谢 在论文完成过程中，我在论文完成过程中，我得到了赵晨萍老师精心指导和得到了赵晨萍老师精心指导和悉心帮助，在此谨向赵老师致以悉心帮助，在此谨向赵老师致以最高尚敬意和最衷心感激！最高尚敬意和最衷心感激！第18页