具有拟-Yamabe孤立子的仿切触流形_潘全香.pdf

具有拟 孤立子的仿切触流形潘全香（河南工学院 理学部，河南 新乡 ）摘要：孤立子在切触与仿切触几何中都是研究热点，此文考虑仿切触度量流形、仿 流形和仿余辛流形上的拟 孤立子，得到仿切触度量流形和仿余辛流形（，）上的拟 孤立子是不恰当的，而仿 流形上的拟 孤立子是恰当的。关键词：拟 孤立子；仿切触度量流形；仿 流形；仿余辛流形中图分类号 文献标识码：文章编号：（）引言 在文献 中引入了 孤立子的概念。他指出，如果对光滑向量场和实数，黎曼度量满足（）（这里表示数量曲率，表示李导数算子），该度量称为 孤立子，向量场称为 孤立子向量场。当，时，孤立子分别称为扩张的、稳定的和收缩的。孤立子在不同的流形上被许多学者进行了研究，见文献。最近，在文献 中推广了 孤立子的概念，引入拟 孤立子，即黎曼度量满足（，）（）（，）（）（）（）这里表示向量场的对偶形式，是光滑函数，属于实数。如果，称拟 孤立子是恰当的。最近几年对满足不同条件的仿切触几何的研究逐渐丰富起来，仿切触几何的主要分支是仿切触度量流形、仿 流形与仿余辛流形。其中仿切触几何上的 孤立子和 孤立子是最近的研究热点，研究结果比较丰富。受此影响，本文研究其推广形式：拟 孤立子，即在仿切触几何上研究拟 孤立子的几何性质与分类。本文安排如下：在预备知识部分，回顾仿切触度量流形和仿 流形和仿余辛流形上的一些基本公式和性质；然后考虑仿切触度量流形和仿 流形和仿余辛流形上的拟 孤立子，得到几个分类定理；最后考虑拟 孤立子上的孤立子向量场 作为 向量场时的情形。预备知识在这一部分，我们将回顾仿切触度量流形、仿 流形和仿余辛流形上的一些基本记号和公式。设光滑流形上存在整体形式满足（）处处成立，则存在唯一向量场（也称之为特征向量场），满足：（）和（，）对任意向量场都成立。并且我们可以找到相容的伪黎曼度量，（）型张量场，使得对任意向量场，满足：，（，）（），（，）（，）称组合（，）是一个仿切触度量结构，具有该结构的流形称为仿切触度量流形。从上面关系式可得：（，）（，）（）（），第 卷第期 年月河南工学院学报 收稿日期：基金项目：河南工学院博士启动基金项目（）作者简介：潘全香（），女，河南浚县人，讲师，博士，主要从事微分几何研究。对于仿切触度量流形，总存在一组规范正交基，使得（，），（，），和。对任意的，这样的一组基称为基。定义张量场，这里表示李导数且满足：，和。进一步，我们还有（，）和（）当特征向量场是 的时候，等价的有，此时称仿切触度量流形称为切触的。近仿切触度量流形称为仿 流形，当且仅当（）（）（，）对任意向量场，都成立。在仿 流形上，有（）（）近仿切触度量流形称为是近仿余辛流形，当且仅当，。近仿余辛流形若再满足规范性条件，则称为仿余辛流形。此时有（），（）主要定理及其证明这一部分，我们首先考虑仿切触度量流形上的拟 孤立子，记为（，），这里孤立子向量场。此时可得定理：定理：仿切触度量流形上不具有恰当拟 孤立子。证明：利用拟 孤立子的定义和式（）得（，）（）（，）（）（）（）式（）中令，得（）再令式（）中，得（）（）（）由式（）与（）得，由此知拟 孤立子是不恰当的，并且由，因此是 的，因此（，）是切触的。然后考虑仿 流形上的拟 孤立子，此时可得：定理：仿 流形（，）上的拟 孤立子是恰当的。证明：利用拟 孤立子的定义和式（）得（）（，）（）（）（）（）式（）中令，得（）再令式（）中，并关于求和得（）（）（）（）由式（）与（）得（）将式（）代入式（）可得。由此知拟 孤立子是恰当的，并且，因此不是 的，因此（，）不是切触的。最后考虑仿余辛流形上的拟 孤立子，记为（，），即孤立子向量场。此时可得定理：定理：仿余辛流形上不具有恰当拟 孤立子。证明：利用拟 孤立子的定义和式子（）得（）（，）（）（）（）式（）中令，得（）再令式（）中，并关于求和得（）（）（）由式（）与（）得，（）由此 知 拟 孤 立子是不恰 当 的，并 且，因此是 的，因此（，）是切触的。定理：设仿切触度量流形上具有拟 孤立子，且其孤立子向量场逐点与特征向量场共线，那么该流形的数量曲率是常数，而拟 孤立子为 孤立子。证明：设仿切触度量流形上具有拟 孤立子，记为（，），此时孤立子向量场逐点与特征向量场共线，不妨设为，其中为流形上的非零光滑函数，利用拟 孤立子的定义，有（，）（，）（）（，）（）（）在上式中利用式（）可得（）（）（）（）（，）（）（，）（）（）（）再令式（）中，并关于求和得（）（）（）（）若令式（）中，得（）（）（）（）再令式（）中，得潘全香：具有拟 孤立子的仿切触流形（）（）由式（）与（）得，由此得。作用于上式，并且运用 引理，得到，这也就得到。由此知拟 孤立子是恰当的，并且，因此是 的，因此流形（，）是切触的。推论：如果仿切触度量流形上具有 孤立子，且 孤立子与特征向量场逐点平行，那么数量曲率是常数，并且流形是切触的。推论：如果仿余辛流形上具有 孤立子，且 孤立子与特征向量场逐点平行，那么数量曲率是常数，并且流形是切触的。在文献 中，作者研究维切触度量流形上的 孤立子，其上孤立子场逐点与特征向量场共线且满足，得到孤立子向量场是特征向量场的常数倍，而且流形是 流形。年，和 在文献 引入流形上 向量场如下：向量场称为 向量场，如果 ，这里是一个常数，是 张量。定理：如果仿切触度量流形上具有拟 孤立子，其孤立子向量场是 向量场，则有。证明：设孤立子向量场称为 向量场，即（），这里是 算子，定义为（，）（，），由孤立子的定义知：（，）（）（，）（）（）（）这意味着流形是 流形。在文献 中，等证明了如果维切触度量流形满足，那么该流形或者是平坦的 流形，或者具有小于的常截面曲率，常截面曲率。因此有：推论：如果 维仿切触度量流形具有拟 孤立子，其孤立子向量场是 向量场，那么或者是平坦的 流形，或者具有小于的常截面曲率，常截面曲率。（责任编辑吕春红）参考文献：，（），（），（），（，）：，（，），：；河南工学院学报 年第期