经典平差模型的通用模型_毋利娜.pdf

第 46 卷 第 4 期2023 年 4 月测绘与空间地理信息GEOMATICS&SPATIAL INFORMATION TECHNOLOGYVol.46,No.4Apr.,2023收稿日期:2021-08-23基金项目:山西省教育科学“十四五”规划 2021 年度课题 高职院校教师工程实践与科研能力双向提升研究(GH-21195);晋城职业技术学院院级课题项目(LX2117)作者简介:毋利娜(1986-),女,山西泽州人,讲师,注册测绘师,硕士,2012 年毕业于中国矿业大学大地测量学与测量工程专业,主要从事数字测图、GPS 数据处理方面的研究工作。经典平差模型的通用模型毋利娜(晋城职业技术学院,山西 晋城 048026)摘要:在对测量数据进行处理时,常用的严密平差模型有条件平差、间接平差,针对不同的测量网型和不同的需求会选用不同的平差模型,因此解法不同,同时增加了一定的计算量。为了以后方便计算并且能够使用同一种模型,本文提出这几种模型共用的一种模型,附有参数的条件平差模型,此种模型在不同的测量网下都可使用,解法简单单一,只需根据实际情况列出条件方程进行计算。最后再用具体实例计算验证,表明这一模型可用。关键词:条件平差;间接平差;附有参数的条件平差;通用模型;测量平差中图分类号:P207 文献标识码:A 文章编号:1672-5867(2023)04-0061-03General Model of Classical Adjustment ModelWU Lina(Jincheng Institute of Technology,Jincheng 048026,China)Abstract:In the processing of surveying data,the commonly used strict adjustment models include conditional adjustment and indirect adjustment.Different adjustment models will be selected for different survey network types and different requirements,so the solutions are different and a certain amount of calculation is increased.In order to facilitate calculation and use the same model in the future,this paper puts forward a model shared by these models,a conditional adjustment model with parameters,which can be used in differ-ent survey networks.The solution is simple,and only needs to list the conditional equations for calculation according to the actual situ-ation.Finally,a concrete example is used to verify that this model is available.Key words:condition adjustment;indirect adjustment;condition adjustment with parameters;general model;survey adjustment0 引 言测量平差是测绘专业中重要的一门专业理论课,是其他专业课的基础1,并且在一些测绘工程项目中,需要测量数据的准确性,如水准测量中水准点的高程、导线测量中点的平面坐标、GPS 基线的平差处理、测量数据的误差大小等,这时需要在进行数据处理时用测量数据处理中的严密平差方法,经过平差计算相应的测量成果。因此,本文将介绍相应的严密平差方法,如条件平差、间接平差、附有参数的条件平差2-4,基于工作的灵活性,会根据不同的测量网来选择不同的平差模型。基于这种情况,选用附有参数的条件平差模型进行数据解算,在工作中会更加方便。本文着重验证用一种平差模型来解算平差中的问题,附有参数的条件平差函数模型能否作为其他严密平差函数的通用模型5。1 测量平差的数学模型条件平差:在不需要未知数的情况下使用,即未知参数 u=0,方程的个数为 c=r。法方程的个数即为多余观测数据的个数,即 r 个。则条件方程式为 F(L)=06,矩阵形式为:Arn?Ln1+A0r1=0r1(1)附有参数的条件平差需要选择 u 个未知参数,且小于必要观测个数,即满足 u t,未知参数之间必须相互独立,列立方程的个数为 c=r+u,法方程的个数也为 r+u个,则方程式为 F(L,X)=06,矩阵形式为:Acn?Ln1+Bcu?Xu1+A0c1=0c1(2)间接平差:需要选择观测网形中必要的观测个数的未知参数,即 u=t 个参数,而且要求这 t 个参数必须独立,方程的个数为观测数据的个数,即 c=r+u=n,法方程的个数为 t 个,方程式为L=F(X),矩阵形式为:?Ln1=Bnt?Xt1+dn1(3)2 附有参数的条件平差与其他平差的关系因为附有参数的条件平差的方程式为 F(L,X)=0,而条件平差的方程式 F(L)=0,条件平差的方程式可以看成附有参数的条件平差的方程式的特殊情况,即附有参数的条件平差方程式中少了一个变量X 的方程式;间接平差的方程式为L=F(X ),可以看成附有参数的条件平差中的变量L 提取出来。测量控制网在按条件平差进行计算时,为了某种需要,而设置非观测量作为未知量,借助未知量列出条件式而进行的平差,称为附有未知量的条件平差。1)附有参数的条件平差的改正数条件方程为:AcnVn1+Bcuxu1-Wc1=0c1(4)按照最小二乘法,对 =VTPV-2KT(AV+Bx-W)求最小值,将 分别对 V 和x 求一阶导数,并令其为 05:ddV=(VTPV)V-2(KTAV)V=2VTPV-2KTA=0(5)ddx=-2(KTBx)x=-2KTB=0(6)以上(5)、(6)两式转置,得PV=ATKBTK=0,可得改正数方程为:V=P-1ATK=QATK(7)从而得附有参数的条件平差的基础方程为:AcnVn1+Bcuxu1-Wc1=0c1Vn1=P-1nnATncKc1BTucKc1=0u1|(9)将改正数方程代入条件方程后,得:AcnP-1nnATncKc1+Bcuxu1-Wc1=0c1BTucKc1=0u1(10)进而求出x 和 V。2)在条件平差中,改正数的条件方程为 ArnVn1-Wr1=0r1,可以把条件平差的改正数方程写成附有参数的条件平差的改正数方程,AcnVn1+Bcuxu1-Wc1=0c1中得x 的系数为0,因为未设 X 参数,则 c=r。则按照函数极值的拉格朗日乘数法 =VTPV-2KT(AV-W)只对 V 求导,得:ddV=(VTPV)V-2(KTAV)V=2VTPV-2KTA=0(11)得 V=P-1ATK=QATK,将改正数代入条件方程后,得:AcnP-1nnATncKc1-Wc1=0c1(12)求出 V。3)间接平差的误差方程为 Vn1=Bntxt1-ln1,如果把间接平差的误差方程写成附有参数的条件平差的改正数方程的形式,其中 c=n,u=t 则 Vc1+(-Bcuxu1)-(-lc1)=0按照函数极值的拉格朗日乘数法 =VTPV-2KT(V+(-Bx)-(-l),将 分别对 V 和x 求一阶导数,并令其为 0。ddV=(VTPV)V-2(KTV)V=2VTPV-2KT=0(13)ddx=-2(-KTBx)x=2KTB=0(14)将以上两式进行转置,可得PV=ATKBTK=0,得改正数方程 V=P-1K=QK。将改正数代入条件方程后:P-1nnKc1+(-Bcuxu1)-(-lc1)=0c1BTucKc1=0u1(15)进而求出x 和 V。3 以具体的例子来验证如图 1 所示为一水准网,A,B 为两个高程已知点,C,D,E,F 分别为待定点,已知高程值 HA为 31.100 m,HB为34.165 m,高差观测值见表 1,试计算各待定点的高程平差值。图 1 高程网平差Fig.1 Elevation network adjustment表 1 观测值Tab.1 Observations测段序号高差值(m)路线距离(km)11.001121.002231.064240.500150.504260.060270.5602.581.0002.526 测绘与空间地理信息 2023 年 解:1)附有参数的条件平差水准网中观测数据的个数 n=8,必要观测个数 t=4,多余观测个数 r=n-t=4,附加一个未知参数 u=1,令 C 点的高程为未知数。改正数条件方程为:v2-v4-v5-2=0v2-v3+v6-2=0v3-v4-v7+4=0v1+v3+v8=0v6+v8+x-2=0|(16)A=010-1-100001-100100001-100-101010000100000101|B=00001|W=22-402|得到的结果,见表 2。表 2 改正数(单位:mm)Tab.2 Correction value(unit:mm)V1V2V3V4V5V6V7V8x0.325 41.073 1-1.139 00.358 4-1.285 3-0.212 22.502 60.813 61.398 6 2)条件平差经过转化后的计算水准网中的观测个数 n=8,必要观测数 t=4,多余观测数 r=n-t=4。改正数条件方程:v2-v4-v5-2=0v2-v3+v6-2=0v3-v4-v7+4=0v1+v3+v8=0|(17)A=010-1-100001-100100001-100-1010100001|W=22-40|得到的改正数与 1)中的相同。3)间接平差经过转化后的计算水准网中的观测个数 n=8,必要观测数 t=4,多余观测数 r=n-t=4,附加 4 个未知数X1=HFX2=HCX3=HEX4=HD改正数条件方程:v1-x1=0v2+x1-x2=0v3+x1-x4-4=0v4+x1-x3=0v5-x2+x3-2=0v6+x2-x4-2=0v7+x3-x4=0v8-x4+4=0|(18)其中:A=1000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001|B=-10001-100100-110-100-110010-1001-10111|W=00-40-2-204|的改正数与(1)中的相同,其中参数的改正值为:X1为 0.325 4 mm,X2为 1.398 6 mm,X3为 0.683 8 mm,X4为 3.186 4 mm。4 结束语理论推导和例子计算结果表明在做数据平差过程中,不管是选用条件平差还是间接平差都可转化为附有参数的条件平差进行计算,这样更加统一化,只需要根据数据测量的情况,就可用附有参数的条件平差模型进行解算,使计算更加简单方便,并且可根据自身项目的需求,设置未知参量,得到需要的数据。参考文献:1 孙斌.经典测量平差模型等价性分析J.北京测绘,2014,28(3):25-26.2 付新启.论测量平差中必要观测数的确定J.北京测绘,2018,32(1):40-43.3 胡圣武,王育红.教学中消除限制条件的条件平差求解方法探讨J.测绘科学,2014,39(12):151-154.4 李爱国,胡圣武.附有限制条件的间接平差的求解方法探讨J.测绘通报,2014(1):22-24.5 胡圣武.测量平差模型误差对平差结果的影响J.测绘科学,2013,38(3):54-57.6武汉测绘科技大学测量平差教研室.测量平差基础M.第 3 版.北京:测绘出版社,2009.编辑:刘莉鑫36第 4 期毋利娜:经典平差模型的通用模型