半区间上D.H.Lehmer问题余项的一种均值_刘晓莹.pdf

西北大学学报（自然科学版）年 月，第 卷第 期，（）收稿日期：基金项目：国家自然科学基金（）第一作者：刘晓莹，女，陕西汉中人，从事数论及其应用研究。通信作者：徐哲峰，男，陕西西安人，教授，从事数论及其应用研究，。数论半区间上 问题余项的一种均值刘晓莹，徐哲峰（西北大学 数论及其应用研究中心，陕西 西安）摘要 半区间上 问题余项的分布性质，有助于研究整数及其逆的分布。该文讨论了半区间上 问题余项（，）在不完整区间上的一种均值分布性质。利用（，）与 函数的关系以及 函数的一些均值性质，给出了（，）一种均值的几个较强的渐近公式，结合文献中的结论，可以看出这两种区间上 问题余项的相消性有显著的差异。该结果不仅扩充了半区间上 问题余项的研究内容，而且有助于该领域研究工作的进一步展开。关键词 半区间上 问题；余项；函数；均值；相消性中图分类号：.：，（，）（，）（，），（，），；设 和是两个整数，且（，）。对每一个满足 的整数，存在唯一的 满足（，）对于 为奇素数和 ，建议研究（，）的值或者至少给出它的一些非平凡结论。对 提出的问题，证明了（，）（）()。令（，）（，）（），还证明了余项（，）的平方均值，并给出渐近公式（，）()()。等研究了余项（，）的一种均值，证明了下面的渐近公式 （，）（），（，）（）。而如果非负整数 ，有 （，）（），由此揭示了完整区间上 问题，即经典 问题余项相消性随参数 的不同有着非常显著的变化。作为经典 问题的延伸，等引入了半区间上的 问题。设 为奇素数，（，），令（，）表示同余式 （）满足 ，和 的解（，）的个数。文献 给出了（，）的值，即（，）（）()。令（，）（，）（），等还研究了余项（，）的平方均值，给出了渐近公式（，）（）。与文献 中关于完整区间上 问题余项类似，本文讨论半区间上 问题余项的一种均值，给出了定理。定理 设 为素数，则有渐近公式 （，）（），（，）（），（，）（），（，）（）。对于非负整数 ，有 （，）（），其中，常数只依赖于任意小的正数，而常数依赖于 和。从定理 的结论来看，对于不同的参数，半区间上 问题余项的这种双参数均值的主项各不相同，但均不为。而文献 中对于完整区间上 问题余项的相同形式的均值仅在 ，时其主项不为，取其他非负整数时主项均为。从这些结论可以看出，这两种区间上 问题余项的相消性有显著的差异。若干引理为方便定理 的证明，本节先给出 个引理。引理设 为奇素数，则对满足（，）的任意正整数，有（，）（）（）?（）（）（?（）（）（，?）（）（）?（）?（）（）（，?）（）。式中（），（）；（），（）。证明过程可参考文献 中的引理.。引理设 为素数，为任意给定的整数，则有（）（）（，）（）（）西北大学学报（自然科学版）第 卷和（）?（）（，）（）（）。证明过程可参考文献 中的引理.。引理 设 为一个奇数，为模 的原特征且满足（）。则有（）?（）?（）（）（，?）。证明过程可参考文献 中的引理.。引理 设 为奇整数，为模 的原特征且满足（），则下述等式成立。（）?（）（）（，?），式中，表示模为 的原特征。证明过程可参考文献 中的引理.。引理 设 和 是满足 和（，）的整数，有如下性质（）（，）()（）和（）()（）。式中：（）表示所有模 的原特征的和；（）表示模 的原特征的个数。证明过程可参考文献 中的引理。引理设 为奇整数，为一个给定的整数，则对任意满足 的复变量，有恒等式（，）（）（）（，）（）()（，）。式中，（，）（）。证明过程可参考文献 中的引理.。引理设 为奇整数，为模的特征，表示模为 的原特征，则下述渐近公式成立。（）（）（，?）（）()（，）()（，）（）。特别地，当 为素数且 时，有（）（）（，?）（）（）和（）?（）（，）（）（）。证明 设（）表示 次除数函数（即方程，的所有正整数解的个数），则对任意参数 及模 的任意非主特征，利用 求和公式得（，?）?（）（）?（）（）（，?）。其中，（，）（）（）。可得（）（）（，?）（）（）?（）（）（，?）|（）（）（，）|（）（）?（）（）|（）（）|（）（）?（）（）|（，）|（）（）（）（）|（，?）|（）（）第 期 刘晓莹，等：半区间上 问题余项的一种均值（，?）|（，）|（）分别估计式（）中的每一项，利用引理 可得（）（）（）（）（）（）（）（）（，）()（）（，）()（）则有（）（）?（）（）|（）（）|（）（）（，?）()（）（）（）（，?）()（）()（）（）（）()（）（）（）。式中，表示对满足条件 和（，）的所有正整数求和。同样，对和做如下分类。），；），；），；），。对前面 种情形，有估计式()（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），()（）（）（）（）（），及()（）（）（）。这里使用了估计（）。对第种情形 ，同余式 的解为 。因此()（）（）（）()（）（）（）西北大学学报（自然科学版）第 卷 ()（）（）（）（）。结合引理，可以得到()（）（）（）（）（，）（）()（，）（）。因为（，），（）()（）()（）()()（）()()（）（）所以有()（）（）（）（）()（，）()（，）（）（）其中，恒等式（）。类似地，可得()（）（）（）（）()（）（）（）（）()（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）则从式（）（）可以得到（）()（，）()（，）（）（）结合估计（，）（），由 不等式，可得（）（，）（，）。则有（）（）?（）（）|（，）|（）（，）()。类似地，有，（）（）（，?）|（，）|（）（，?）（，）第 期 刘晓莹，等：半区间上 问题余项的一种均值（）（，）()()（）|（）。取 ，结合式（）（），有渐近公式（）（）（，?）（）()（，）()（，）（）。引理 得证。定理 的证明首先，利用引理 ，可得 （，）（）（）（）（?（）（）（，?）?（）（）（）（）（，?）?（）?（）（）（）（）（）（?（）（）（）?（）（）（?）（，）（，?）（）（）（）?（）?（）（）（?）（?）（）（）。注意 到，当（）时，（）（?），而当（）时，有（）（?）。从而 （，）（）（）?（）?（）?（）?（）?（）?（）?（）?（）（，）（）（）?（）（，）（）。当 时，（，）（）（）?（）?（）?（）?（）?（）?（）?（）?（）（，）（）（）?（）（，）（）。注意到（）（）（，）（）?（）（，）。其次，利用引理 和引理，则有 （，）（）。当 时，有 （，）（）（）?（）?（）?（）?（）（）（）（）（，）（）（）?（）（，）（）和 （，）（）。类似地，当 ，时，可得西北大学学报（自然科学版）第 卷 （，）（）（，）（）和 （，）（）。而当 ，时，可得 （，）（）。定理 证毕。结语本文主要研究了半区间上 问题余项（，）在不完整区间上的一种均值分布性质。利用（，）与 函数的关系以及 函数的一些均值性质，得到对于不同的参数，半区间上 问题余项的这种双参数均值的主项各不相同，但均不为，再结合文献中的结论可以看出，这两种区间上 问题余项的相消性有显著的差异。参考文献 ：，：（），（）：，（）：，（）：，（）：徐哲峰，张文鹏 特征及其应用 北京：科学出版社，：，（）：徐哲峰 数论中一些和式的算术性质研究 西安：西北大学，张天平 关于数论中一些著名和式的均值研究 西安：西北大学，刘华宁 关于一些算术函数的均值 西安：西北大学，（）：，：华罗庚 数论导引 北京：科学出版社，：，（）：（），（）：（编 辑 张 欢）第 期 刘晓莹，等：半区间上 问题余项的一种均值