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4.34.3三角函数图象与性质三角函数图象与性质关键点梳理关键点梳理1.“1.“五点法五点法”作图原理作图原理:在确定正弦函数在确定正弦函数y y=sin=sin x x 在在0 0，2 2 上图象形状时上图象形状时,起关键作用五起关键作用五 个点是个点是 、.余弦函数呢？余弦函数呢？(0,0)(0,0)基础知识基础知识 自主学习自主学习第1页2.2.三角函数图象和性质三角函数图象和性质:y y=sin=sin x x y y=cos=cos x x y y=tan=tan x x定义域定义域图象图象 值域值域 R R 函函数数性性质质-1,1-1,1-1,1-1,1R RR R(k kZ Z)第2页对称性对称性周期周期单调性单调性奇偶性奇偶性；奇奇奇奇偶偶第3页3.3.普通地对于函数普通地对于函数f f（x x）,假如存在一个不为假如存在一个不为0 0常常 数数T T，使得当，使得当x x取定义域内每一个值时取定义域内每一个值时,都有都有 f f（x x+T T）=f f（x x），那么函数），那么函数f f（x x）就叫做周期）就叫做周期 函数，非零常数函数，非零常数T T叫做这个函数周期，把全部叫做这个函数周期，把全部 周期中存在最小正数周期中存在最小正数,叫做最小正周期叫做最小正周期(函数函数 周期普通指最小正周期周期普通指最小正周期).).函数函数y y=A Asin(sin(x x+）或或y y=A Acoscos（x x+）（）（0 0且为常数）周且为常数）周 期期 函数函数y y=A Atan(tan(x x+)(0)+)(0)周期周期第4页基础自测基础自测1.1.函数函数y y=1-2sin=1-2sin x xcos cos x x最小正周期为（最小正周期为（）解析解析B第5页2.2.设点设点P P是函数是函数f f(x x)=sin )=sin x x(0)(0)图象图象C C 一个对称中心一个对称中心,若点若点P P到图象到图象C C对称轴距离对称轴距离 最小值是最小值是 则则f f(x x)最小正周期是（最小正周期是（）解析解析 由正弦函数图象知对称中心与对称轴由正弦函数图象知对称中心与对称轴 距离最小值为最小正周期距离最小值为最小正周期 故故f f（x x）最小正周期为最小正周期为T T=B第6页3.3.函数函数y y=sin =sin 图象（图象（）A.A.关于点关于点 对称对称 B.B.关于直线关于直线 对称对称 C.C.关于点关于点 对称对称 D.D.关于直线关于直线 对称对称 解析解析 验证法：验证法：A第7页4.4.在以下函数中在以下函数中,同时满足以下三个条件是同时满足以下三个条件是()()在在 上递减；上递减；以以 为周期；为周期；是奇函数是奇函数.A.A.y y=tan=tan x x B.B.y y=cos=cos x x C.C.y y=-sin=-sin x x D.D.y y=sin=sin x xcos cos x x 解析解析 y y=tan=tan x x周期为周期为 ，故，故A A错错.y y=cos=cos x x为偶函数，故为偶函数，故B B错错.y y=sin=sin x xcos cos x x=sin 2=sin 2x x周期为周期为 ，故，故D D错错.y y=-sin=-sin x x周期为周期为2 ,2 ,是奇函数，由图象知是奇函数，由图象知 在在 上是递减函数，故上是递减函数，故C C正确正确.C第8页5.5.（四川文，四川文，4 4）已知函数已知函数f f(x x)=sin)=sin (x xR R)，下面结论错误是（，下面结论错误是（）A.A.函数函数f f(x x)最小正周期为最小正周期为2 2 B.B.函数函数f f(x x)在区间在区间 上是增函数上是增函数 C.C.函数函数f f(x x)图象关于直线图象关于直线x x=0=0对称对称 D.D.函数函数f f(x x)是奇函数是奇函数 解析解析 A A正确正确;由图象知由图象知y y=-cos=-cos x x关于直线关于直线x x=0=0对称，对称，C C正确正确.y y=-cos=-cos x x是偶函数，是偶函数，D D错误错误.D第9页题型一题型一 与三角函数相关函数定义域与三角函数相关函数定义域 求以下函数定义域：求以下函数定义域：（1 1）y y=lgsin(cos=lgsin(cos x x);(2);(2)y y=本题求函数定义域本题求函数定义域:(1)(1)需注意对数需注意对数 真数大于零，然后利用弦函数图象求解；真数大于零，然后利用弦函数图象求解；(2)(2)需注意偶次根式被开方数大于或等于零，需注意偶次根式被开方数大于或等于零，然后利用函数图象或三角函数线求解然后利用函数图象或三角函数线求解.解解 (1)(1)要使函数有意义要使函数有意义,必须使必须使sin(cos sin(cos x x)0.)0.-1cos -1cos x x1,0cos 1,0cos x x1.1.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析第10页方法一方法一 利用余弦函数简图得知定利用余弦函数简图得知定义域为义域为方法二方法二 利用单位圆中余弦线利用单位圆中余弦线OMOM,依题意依题意知知0 0 0)0,0)函数单调区间函数单调区间,能够通能够通过解不等式方法去解答过解不等式方法去解答,列不等式标准是列不等式标准是:把把“x x+(0)”+(0)”视为一个视为一个“整体整体”；A A0(0(A A0)00时，利用最值求时，利用最值求a a、b ba a00时，利用最值求时，利用最值求a a、b b第29页解解 3 3分分7 7分分1111分分1212分分第30页 处理这类问题处理这类问题,首先利用正弦函数、余首先利用正弦函数、余弦函数有界性或单调性求出弦函数有界性或单调性求出y y=A Asinsin（x x+）或）或y y=A Acoscos（x x+）最值）最值,再由方程思想处理问再由方程思想处理问题题.知能迁移知能迁移4 4 （江西理，江西理，4 4）若函数若函数f f(x x)=(1+tan =(1+tan x x)cos)cos x x,0,0 x x ,0 0）形式，再根）形式，再根 据基本三角函数单调区间据基本三角函数单调区间,求出求出x x所在区间所在区间.应尤其注意，考虑问题应在函数定义域内考应尤其注意，考虑问题应在函数定义域内考 虑虑.注意区分以下两题单调增区间不一样：注意区分以下两题单调增区间不一样：第33页3.3.利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有 界性界性,如如:y y=sin=sin2 2x x-4sin-4sin x x+5,+5,令令t t=sin=sin x x(|(|t t|1),|1),则则y y=(=(t t-2)-2)2 2+11,+11,解法错误解法错误.第34页一、选择题一、选择题1.1.（福建理，福建理，1 1）函数函数f f(x x)=sin)=sin x xcos cos x x最最 小值是（小值是（）解析解析 f f(x x)=sin)=sin x xcos cos x x=B定时检测定时检测第35页2.2.(全国全国理理,8),8)假如函数假如函数y y=3cos(2=3cos(2x x+)+)图象关于点图象关于点 中心对称中心对称,那么那么|最小值最小值 为（为（）解析解析 由由y y=3cos(2=3cos(2x x+)图象关于点图象关于点A第36页3.3.已知函数已知函数 在区间在区间0 0，t t上最少取得上最少取得2 2次最次最 大值，则正整数大值，则正整数t t最小值是最小值是 （）A.6 B.7 C.8 D.9 A.6 B.7 C.8 D.9 解析解析C第37页4.4.已知在函数已知在函数f f(x x)=)=图象上图象上,相邻一个最大相邻一个最大 值点与一个最小值点恰好在值点与一个最小值点恰好在x x2 2+y y2 2=R R2 2上上,则则f f（x x）最小正周期为最小正周期为 （）A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.2 C.3 D.4 解析解析 x x2 2+y y2 2=R R2 2，x x-R R，R R.函数函数f f（x x）最小正周期为）最小正周期为2 2R R，D第38页5.5.（浙江理，浙江理，8 8）已知已知a a是实数是实数,则函数则函数 f f(x x)=1+)=1+a asin sin axax图象不可能是（图象不可能是（）第39页解析解析 图图A A中函数最大值小于中函数最大值小于2 2，故，故00a a1,1,而其而其周期大于周期大于2 .2 .故故A A中图象能够是函数中图象能够是函数f f(x x)图象图象.图图B B中，函数最大值大于中，函数最大值大于2,2,故故a a应大于应大于1 1，其周期小，其周期小于于2 ,2 ,故故B B中图象能够是函数中图象能够是函数f f(x x)图象图象.当当a a=0=0时，时，f f(x x)=1,)=1,此时对应此时对应C C中图象，对于中图象，对于D D能够看出其最大值能够看出其最大值大于大于2 2，其周期应小于，其周期应小于2 ,2 ,而图象中周期大于而图象中周期大于2 2 ，故，故D D中图象不可能为函数中图象不可能为函数f f(x x)图象图象.答案答案 D D第40页6.6.给出以下命题：给出以下命题：函数函数 是奇函数；是奇函数；存在实数存在实数 ,使得使得 其中正确序号为（其中正确序号为（）A.B.C.D.A.B.C.D.第41页解析解析 是奇函数；是奇函数；第42页答案答案 C C第43页二、填空题二、填空题7.7.,.解析解析第44页答案答案 第45页8.8.（辽宁理，辽宁理，1616）已知已知f f(x x)=)=且且f f(x x)在区间在区间 上有最小值，上有最小值，无最大值，则无最大值，则 .解析解析 如图所表示如图所表示,第46页答案答案第47页9.9.关于函数关于函数f f（x x）=4sin =4sin （x xR R）,有以下命有以下命 题：题：由由f f(x x1 1)=)=f f(x x2 2)=0)=0可得可得x x1 1-x x2 2必是必是 整数倍；整数倍；y y=f f（x x）表示式可改写为）表示式可改写为 y y=f f（x x）图象关于点）图象关于点 对称；对称；y y=f f（x x）图象关于直线）图象关于直线 对称对称.其中正确命题序号是其中正确命题序号是 .（把你认为正（把你认为正 确命题序号都填上）确命题序号都填上）解析解析 函数函数f f（x x）=最小正周最小正周 期期T T=，由相邻两个零点横坐标间距离，由相邻两个零点横坐标间距离 是是 知知错错.第48页答案答案 第49页三、解答题三、解答题10.10.设函数设函数f f(x x)=sin(2)=sin(2x x+)(-0)(-0)0)最小正周期最小正周期 是是 .（1 1）求）求值；值；（2 2）求函数）求函数f f（x x）最大值，而且求使）最大值，而且求使f f（x x）取）取 得最大值得最大值x x集合集合.解解第52页第53页12.12.设函数设函数f f(x x)=cos)=cos x x(sin(sin x x+cos+cos x x),),其其 中中002.2.（1 1）若）若f f(x x)周期为周期为 ,求当求当 f f(x x)值域；值域；（2 2）若函数）若函数f f(x x)图象一条对称轴为图象一条对称轴为 求求值值.解解第54页 返回返回 第55页第56页
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