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第五章第五章二次型就是二次齐次多项式.本章经过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来，从而一方面使得二次型问题可以用矩阵理论和方法来研究，其次也可以将对称矩阵问题转化为用二次型来解决。本章主要内容：1 1第1页1.二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示设设设设 是一数域，一个系数在数域是一数域，一个系数在数域是一数域，一个系数在数域是一数域，一个系数在数域 中中中中 二次齐次多二次齐次多二次齐次多二次齐次多项式项式项式项式 (1)(1)称为数域称为数域称为数域称为数域 上一个上一个上一个上一个 元二次型（简称二次型）。元二次型（简称二次型）。元二次型（简称二次型）。元二次型（简称二次型）。2 2第2页1.二次型及其矩阵表示（续二次型及其矩阵表示（续1）定义定义定义定义1 1 设设设设 ；是两组文字，系数在数域是两组文字，系数在数域是两组文字，系数在数域是两组文字，系数在数域 中一组关系式中一组关系式中一组关系式中一组关系式 (2)(2)称为由称为由称为由称为由 到到到到 一个线性替换，假如行列式一个线性替换，假如行列式一个线性替换，假如行列式一个线性替换，假如行列式那么线性替换那么线性替换那么线性替换那么线性替换(2)(2)就称为非退化。就称为非退化。就称为非退化。就称为非退化。线性替换把二次型变成二次型。线性替换把二次型变成二次型。线性替换把二次型变成二次型。线性替换把二次型变成二次型。3 3第3页1.二次型及其矩阵表示（续二次型及其矩阵表示（续2）令令令令则则则则其中其中其中其中 是一个对称矩阵，称为二次型是一个对称矩阵，称为二次型是一个对称矩阵，称为二次型是一个对称矩阵，称为二次型(1)(1)矩阵；矩阵矩阵；矩阵矩阵；矩阵矩阵；矩阵 秩秩秩秩称为二次型秩。称为二次型秩。称为二次型秩。称为二次型秩。二次型和它矩阵是相互唯一决定。二次型和它矩阵是相互唯一决定。二次型和它矩阵是相互唯一决定。二次型和它矩阵是相互唯一决定。4 4第4页1.二次型及其矩阵表示（续二次型及其矩阵表示（续3）定义定义定义定义2 2 数域数域数域数域 上矩阵上矩阵上矩阵上矩阵 称为协议，假如在数域称为协议，假如在数域称为协议，假如在数域称为协议，假如在数域 上有可逆上有可逆上有可逆上有可逆矩阵矩阵矩阵矩阵 ,使使使使协议关系含有协议关系含有协议关系含有协议关系含有1)1)反身性反身性反身性反身性 2)2)对称性对称性对称性对称性 3)3)传递性传递性传递性传递性在变换二次型时，我们总是要求所作线性替换是非退化，在变换二次型时，我们总是要求所作线性替换是非退化，在变换二次型时，我们总是要求所作线性替换是非退化，在变换二次型时，我们总是要求所作线性替换是非退化，因为它能把所得二次型还原。这么就使我们从所得二次型因为它能把所得二次型还原。这么就使我们从所得二次型因为它能把所得二次型还原。这么就使我们从所得二次型因为它能把所得二次型还原。这么就使我们从所得二次型性质能够推知原来二次型一些性质。性质能够推知原来二次型一些性质。性质能够推知原来二次型一些性质。性质能够推知原来二次型一些性质。5 5第5页2.标准形标准形定理定理定理定理1 1数域数域数域数域 上任意一个二次型都能够经过非退化线性上任意一个二次型都能够经过非退化线性上任意一个二次型都能够经过非退化线性上任意一个二次型都能够经过非退化线性替换变成标准形替换变成标准形替换变成标准形替换变成标准形其中非零系数个数等于该二次型秩。其中非零系数个数等于该二次型秩。其中非零系数个数等于该二次型秩。其中非零系数个数等于该二次型秩。定理定理定理定理2 2在数域在数域在数域在数域 上，任意一个对称矩阵都协议于一对角上，任意一个对称矩阵都协议于一对角上，任意一个对称矩阵都协议于一对角上，任意一个对称矩阵都协议于一对角矩阵。矩阵。矩阵。矩阵。6 6第6页2.标准形（续）标准形（续）化二次型为标准形方法：化二次型为标准形方法：化二次型为标准形方法：化二次型为标准形方法：(1)(1)配方法配方法配方法配方法(2)(2)用初等变换把二次型矩阵化为对角矩阵。为了确保所得用初等变换把二次型矩阵化为对角矩阵。为了确保所得用初等变换把二次型矩阵化为对角矩阵。为了确保所得用初等变换把二次型矩阵化为对角矩阵。为了确保所得到矩阵与原矩阵协议，必须成对地进行初等行变换与列变到矩阵与原矩阵协议，必须成对地进行初等行变换与列变到矩阵与原矩阵协议，必须成对地进行初等行变换与列变到矩阵与原矩阵协议，必须成对地进行初等行变换与列变换，即作一次初等列变换后必须作一次相同行变换。设二次换，即作一次初等列变换后必须作一次相同行变换。设二次换，即作一次初等列变换后必须作一次相同行变换。设二次换，即作一次初等列变换后必须作一次相同行变换。设二次型型型型 对矩阵对矩阵对矩阵对矩阵 进行成正确初等变换将进行成正确初等变换将进行成正确初等变换将进行成正确初等变换将 化成对角形，而且确保了协议关系。假如化成对角形，而且确保了协议关系。假如化成对角形，而且确保了协议关系。假如化成对角形，而且确保了协议关系。假如 则则则则 经线性替换化成标准形经线性替换化成标准形经线性替换化成标准形经线性替换化成标准形7 7第7页3.唯一性唯一性定理定理定理定理3 3任意一个复系数二次型，经过一适当非退化线性任意一个复系数二次型，经过一适当非退化线性任意一个复系数二次型，经过一适当非退化线性任意一个复系数二次型，经过一适当非退化线性替换能够变成规范形替换能够变成规范形替换能够变成规范形替换能够变成规范形而且规范形是唯一。而且规范形是唯一。而且规范形是唯一。而且规范形是唯一。规范形中非零平方项个数等于二次型秩规范形中非零平方项个数等于二次型秩规范形中非零平方项个数等于二次型秩规范形中非零平方项个数等于二次型秩.两个复数对称矩阵协议充分必要条件是它们秩相等两个复数对称矩阵协议充分必要条件是它们秩相等两个复数对称矩阵协议充分必要条件是它们秩相等两个复数对称矩阵协议充分必要条件是它们秩相等.定理定理定理定理4 4（惯性定理）任意一个实数域二次型，经过一（惯性定理）任意一个实数域二次型，经过一（惯性定理）任意一个实数域二次型，经过一（惯性定理）任意一个实数域二次型，经过一适当非退化线性替换能够变成规范形适当非退化线性替换能够变成规范形适当非退化线性替换能够变成规范形适当非退化线性替换能够变成规范形 且规范形是唯一。且规范形是唯一。且规范形是唯一。且规范形是唯一。8 8第8页3.唯一性（续）唯一性（续）定义定义定义定义3 3在实二次型在实二次型在实二次型在实二次型 规范形中，正平方项个规范形中，正平方项个规范形中，正平方项个规范形中，正平方项个数数数数 称为正惯性指数；负平方项称为正惯性指数；负平方项称为正惯性指数；负平方项称为正惯性指数；负平方项 个数称为负惯性指数；个数称为负惯性指数；个数称为负惯性指数；个数称为负惯性指数；它们差它们差它们差它们差 称为符号差。称为符号差。称为符号差。称为符号差。实二次型标准形中系数为正平方项个数是唯一确定，它等实二次型标准形中系数为正平方项个数是唯一确定，它等实二次型标准形中系数为正平方项个数是唯一确定，它等实二次型标准形中系数为正平方项个数是唯一确定，它等于正惯性指数，而系数为负平方项个数就等于负惯性指数。于正惯性指数，而系数为负平方项个数就等于负惯性指数。于正惯性指数，而系数为负平方项个数就等于负惯性指数。于正惯性指数，而系数为负平方项个数就等于负惯性指数。9 9第9页4.正定二次型正定二次型定义定义定义定义4 4实二次型实二次型实二次型实二次型 称为正定，假如对于任意称为正定，假如对于任意称为正定，假如对于任意称为正定，假如对于任意一组不全为零实数一组不全为零实数一组不全为零实数一组不全为零实数 都有都有都有都有 。实二次型实二次型实二次型实二次型 是正定当且仅当是正定当且仅当是正定当且仅当是正定当且仅当 定义定义定义定义5 5 实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵 称为正定，假如二次型称为正定，假如二次型称为正定，假如二次型称为正定，假如二次型 正定。正定。正定。正定。1010第10页4.正定二次型（续正定二次型（续1）定义定义定义定义6 6子式子式子式子式称为矩阵称为矩阵称为矩阵称为矩阵 次序主子式。次序主子式。次序主子式。次序主子式。定理定理定理定理6 6 元实二次型元实二次型元实二次型元实二次型 是正定充分必要条件是它是正定充分必要条件是它是正定充分必要条件是它是正定充分必要条件是它正惯性指数等于正惯性指数等于正惯性指数等于正惯性指数等于 。1111第11页4.正定二次型（续正定二次型（续2）定理定理定理定理7 7实二次型实二次型实二次型实二次型是正定充分必要条件为矩阵是正定充分必要条件为矩阵是正定充分必要条件为矩阵是正定充分必要条件为矩阵 次序主子式全大于零。次序主子式全大于零。次序主子式全大于零。次序主子式全大于零。通常采取求次序主子式方法来判断一个矩阵是否正定。通常采取求次序主子式方法来判断一个矩阵是否正定。通常采取求次序主子式方法来判断一个矩阵是否正定。通常采取求次序主子式方法来判断一个矩阵是否正定。一个实对称矩阵是正定当且仅当它与单位矩阵协议。一个实对称矩阵是正定当且仅当它与单位矩阵协议。一个实对称矩阵是正定当且仅当它与单位矩阵协议。一个实对称矩阵是正定当且仅当它与单位矩阵协议。正定矩阵行列式大于零。正定矩阵行列式大于零。正定矩阵行列式大于零。正定矩阵行列式大于零。1212第12页4.正定二次型（续正定二次型（续3）定理定理定理定理8 8 对于实二次型对于实二次型对于实二次型对于实二次型 ，其中，其中，其中，其中 是实对称，以下是实对称，以下是实对称，以下是实对称，以下条件等价：条件等价：条件等价：条件等价：(1)(1)是半正定，是半正定，是半正定，是半正定，(2)(2)它正惯性指数与秩相等，它正惯性指数与秩相等，它正惯性指数与秩相等，它正惯性指数与秩相等，(3)(3)有可逆实矩阵有可逆实矩阵有可逆实矩阵有可逆实矩阵 ，使，使，使，使 (其中其中其中其中 )(4)(4)有实矩阵有实矩阵有实矩阵有实矩阵 使使使使(5)(5)全部主子式皆大于或等于零。全部主子式皆大于或等于零。全部主子式皆大于或等于零。全部主子式皆大于或等于零。1313第13页4.正定二次型（续正定二次型（续4）定义定义定义定义7 7设设设设 是一个实二次型，对于任意一组不全是一个实二次型，对于任意一组不全是一个实二次型，对于任意一组不全是一个实二次型，对于任意一组不全为零实数，假如有为零实数，假如有为零实数，假如有为零实数，假如有 ，那么，那么，那么，那么 称为负定；称为负定；称为负定；称为负定；假如有假如有假如有假如有 那么那么那么那么 称为半正定称为半正定称为半正定称为半正定;假如都有假如都有假如都有假如都有 ,那么那么那么那么 称为半负定；假如它既不是半正定又不是称为半负定；假如它既不是半正定又不是称为半负定；假如它既不是半正定又不是称为半负定；假如它既不是半正定又不是半负定，那么就称为不定。半负定，那么就称为不定。半负定，那么就称为不定。半负定，那么就称为不定。元正定二次型规范形是：元正定二次型规范形是：元正定二次型规范形是：元正定二次型规范形是：元负定二次型规范形是：元负定二次型规范形是：元负定二次型规范形是：元负定二次型规范形是：元半正定二次型规范形是：元半正定二次型规范形是：元半正定二次型规范形是：元半正定二次型规范形是：元半负定二次型规范形是：元半负定二次型规范形是：元半负定二次型规范形是：元半负定二次型规范形是：元不定二次型规范形是：元不定二次型规范形是：元不定二次型规范形是：元不定二次型规范形是：1414第14页
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