新编双曲线的几何性质专业知识市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

中国人民大学从属中学中国人民大学从属中学2.3.2双曲线几何性质双曲线几何性质第第1页页 我们利用双曲线我们利用双曲线C标准方程标准方程来研究双曲线一些来研究双曲线一些几何性质几何性质.1范围：范围：由方程可得，双曲线由方程可得，双曲线C上任意一点坐标上任意一点坐标(x，y)都适合不等式都适合不等式 第第2页页即即xa，或，或xa.所以双曲线所以双曲线C位于两直线位于两直线x=a和和x=a所所夹平面区域外侧。夹平面区域外侧。2对称性：对称性：类似于对椭圆对称性讨论，可知双曲类似于对椭圆对称性讨论，可知双曲线线C分别以分别以x轴，轴，y轴为对称轴轴为对称轴轴对称图形，轴对称图形，又是以又是以坐标原点为对称中心坐标原点为对称中心中心对称图中心对称图形，双曲线对称中心又叫做双曲线形，双曲线对称中心又叫做双曲线中心中心。第第3页页3顶点：顶点：在方程中，令在方程中，令y=0，得，得x=a，可知双曲，可知双曲线线C与与x轴有两个交点，分别是轴有两个交点，分别是A1(a，0)，A2(a，0)，假如令，假如令x=0，得，得y2=b2，这，这个方程没有实数根，说明双曲线个方程没有实数根，说明双曲线C与与y轴没轴没有公共点，有公共点，双曲线与它对称轴两个交点叫双曲线双曲线与它对称轴两个交点叫双曲线顶点顶点。第第4页页 如图，双曲线如图，双曲线C顶点是顶点是A1(a，0)，A2(a，0)，这两个顶点是双曲线两支中相距最，这两个顶点是双曲线两支中相距最近点。近点。线段线段A1A2叫做双曲线叫做双曲线实实轴轴，它长等于，它长等于2a，同时在，同时在y轴上作点轴上作点B1(0，b)，B2(0，b)，线段，线段B1B2叫做双曲叫做双曲线线虚轴虚轴，它长等于，它长等于2b.对对应应a，b分别是双曲线分别是双曲线实半实半轴长和虚半轴长轴长和虚半轴长。第第5页页4渐近线渐近线 观察图中方程观察图中方程所表示双曲线所表示双曲线C，在直，在直线线x=a右侧，当右侧，当x逐步增大时，双曲线右逐步增大时，双曲线右支向右上和右下逐步延伸；在直线支向右上和右下逐步延伸；在直线x=a左侧，当左侧，当x逐步减小时，双曲线左支向左逐步减小时，双曲线左支向左上和左下逐步延伸。上和左下逐步延伸。我们再深入分析双曲线我们再深入分析双曲线这一改变趋势，不妨先考这一改变趋势，不妨先考虑它在第一象限内那一部虑它在第一象限内那一部分，分，第第6页页这一部分曲线方程能够表示为这一部分曲线方程能够表示为 因为因为xa0，可知，可知 又因为又因为b0，所以，所以 这说明在第一象限内，双曲线这说明在第一象限内，双曲线C上任意上任意一点一点M(x，y)总是位于直线总是位于直线 下方下方.过点过点M作平行于作平行于y轴直线，设它与直线轴直线，设它与直线 相交于点相交于点P，则，则第第7页页因为当因为当xa时，时，伴随伴随x增大而增大，增大而增大，所以所以 伴随伴随x增大而减小，增大而减小，可知当可知当x越来越大时，越来越大时，|PM|越来越靠近于越来越靠近于0.这说明当点这说明当点M以双曲线以双曲线C顶点顶点A2开始在第开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点一象限沿此双曲线移动并越来越远离点A2时，点时，点M和直线和直线 就越来越靠近。就越来越靠近。第第8页页 由此可见，此双曲线右支向右上方无限由此可见，此双曲线右支向右上方无限延伸时，它总在直线下方，且与直线延伸时，它总在直线下方，且与直线 越来越靠近，但不会相交。越来越靠近，但不会相交。依据双曲线对称性可知，双曲线依据双曲线对称性可知，双曲线C向外向外无限延伸时，总是局限在由直线无限延伸时，总是局限在由直线 和直和直线线 相交而分平面所成、含双曲线相交而分平面所成、含双曲线焦点两个区域内，并与这两条直线无限靠焦点两个区域内，并与这两条直线无限靠近，但永远不会与这两条直线相交。近，但永远不会与这两条直线相交。第第9页页 直线直线 和直线和直线 叫做双曲叫做双曲线线渐近线渐近线。5离心率离心率 双曲线焦距与实轴长比双曲线焦距与实轴长比 叫做双曲叫做双曲线线离心率离心率。因为因为ca0，所以，所以e1，e越趋近于越趋近于1，由等式，由等式c2a2=b2，可得，可得第第10页页 所以所以e越大，越大，也越大，即渐近线也越大，即渐近线 斜斜率绝对值越大，这时双曲线形状就从扁狭率绝对值越大，这时双曲线形状就从扁狭逐步变得开阔，逐步变得开阔，双曲线双曲线离心率越大离心率越大，它，它开口就越开阔开口就越开阔。第第11页页例例1已知双曲线焦点在已知双曲线焦点在x轴上，中心在原轴上，中心在原点，假如焦距为点，假如焦距为8，实轴长为，实轴长为6，求此双曲，求此双曲线标准方程及其渐近线方程。线标准方程及其渐近线方程。解：由已知，得解：由已知，得2c=8，2a=6，所以所以c=4，a=3，b2=c2a2=7.又因为双曲线焦点在又因为双曲线焦点在x轴上，所以双曲轴上，所以双曲线标准方程是线标准方程是 双曲线渐近线方程是双曲线渐近线方程是 第第12页页例例2求双曲线求双曲线16x29y2=144实轴长和虚实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标及渐近线方程。轴长、顶点坐标、焦点坐标及渐近线方程。解：把双曲线方程化为标准方程解：把双曲线方程化为标准方程 由此可知，实半轴长由此可知，实半轴长a=3，虚半轴长，虚半轴长b=4，半焦距，半焦距c=5，所以实轴长所以实轴长 2a=6；虚轴长；虚轴长 2b=8；顶点顶点坐标是坐标是(3，0)，(3，0)；焦点坐标是焦点坐标是(5，0)，(5，0)；渐近线方程是渐近线方程是第第13页页例例3一双曲线型冷却塔外形，是双曲线一双曲线型冷却塔外形，是双曲线一部分绕其虚轴旋转所成曲面，它最小直一部分绕其虚轴旋转所成曲面，它最小直径为径为24m，上口直径为，上口直径为26m，下口直径，下口直径50m，高为，高为55m，在所给直角坐标系中，在所给直角坐标系中，求此双曲线近似方程求此双曲线近似方程(虚半轴长准确虚半轴长准确0.1m)。第第14页页解：在给定直角坐标系中，设双曲线标准解：在给定直角坐标系中，设双曲线标准方程为方程为 由已知冷却塔最小直径由已知冷却塔最小直径AA=24m，上口，上口直径直径CC=26m，下口直径，下口直径BB=50m，可知，可知a=12，点，点B、C横坐标分别为横坐标分别为25，13.设设B、C纵坐标分别为纵坐标分别为y1，y2，其中，其中y10，因为，因为B(25，y1)，C(13，y2)在双曲在双曲线上，线上，第第15页页所以所以解得解得 因为塔高为因为塔高为55m，所以，所以y2y1=55，即，即所以双曲线近似方程是所以双曲线近似方程是 解得解得b24.5，第第16页页例例4已知双曲线渐近线方程为已知双曲线渐近线方程为y=,而而且焦点都在圆且焦点都在圆x2+y2=100上，求双曲线方程。上，求双曲线方程。解：当焦点在解：当焦点在x轴上时，设双曲线方程是轴上时，设双曲线方程是 因为焦点都在圆因为焦点都在圆x2+y2=100上，所以上，所以c=10，又双曲线渐近线方程为又双曲线渐近线方程为y=第第17页页所以所以 由由 解得解得 所以双曲线方程是所以双曲线方程是 第第18页页当焦点在当焦点在y轴上时，设双曲线方程是轴上时，设双曲线方程是 因为焦点都在圆因为焦点都在圆x2+y2=100上，上，所以所以c=10，又双曲线渐近线方程为又双曲线渐近线方程为y=所以所以 解得解得 所以双曲线方程是所以双曲线方程是 由由第第19页页例例5双曲线双曲线 (a1，b0)焦焦距为距为2，直线，直线l过点过点(a，0)和和(0，b)，且点，且点(1，0)到直线到直线l距离与点距离与点(1，0)到直线到直线l距离距离之和之和s c，求双曲线离心率，求双曲线离心率e取值范围。取值范围。解：直线解：直线l方程为方程为即即bx+ayab=0，第第20页页由点到直线距离公式，且由点到直线距离公式，且a1，得到点，得到点(1，0)到直线到直线l距离距离 d1=同理点同理点(1，0)到直线到直线l距离距离d2=s=d1+d2=由由s c，得，得 即即 解不等式得解不等式得 e25，由由e1，所以所以e取值范围是取值范围是 第第21页页