福建省厦门市届高三第二次质量检查数学试题理含答案.doc

　厦门2016届高三质量检查
数学（理）　2016.5
满分150分，考试时间90分钟
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若集合A=,B=，则=_______.
A. B. C. D.
2.“互联网+”时代，全民阅读的内涵已经多元化，倡导读书成为一种生活方式，某校为了解高中学生的阅读情况，拟采取分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本进行调查，已知该校有高一学生600人，高二学生400人，高三学生200人，则应从高一学生抽取的人数为_______.
A. 10 B. 20 C.30 D. 40
3.已知命题:，sinx<x,则 .
A.是真命题，，sinxx
B. 是真命题，，sinx
C. 是假命题，，sinxx
D. 是假命题，，sinx

4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 .
A. B.0 C. D.1
5.在中，,记________.
A. B. C. D.
6.从6名女生中选4人参加4100米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参赛，如果甲、乙两人同时参赛，他们的接力顺序就不能相邻，不同的排法种数为 .
A.144 B.192 C.228 D. 264
7.将函数的图像向右平移个单位长度，所得的图像经过点，则的最小值是_______.
A. B. 1 C. D. 2
8.《九章算术》中，将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的侧面积为 .
A. 2 B.
C. D.
9. 已知满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是.
A. B. C. D.
10.直线与曲线顺次相交于三点，若，则.
A. B. C. D.
11.已知点是椭圆上的动点，且，则的取值范围是.
A. B. C. D.
12.已知平面四点满足设的面积分别为，则的取值范围是.
A. B. C. D.

二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置。
13.若复数满足则在复平面内对应的点在第 象限.
14.若函数是奇函数，则 .
15.已知双曲线以的一个顶点为圆心，为半径的圆被截得劣弧长为，则双曲线的离心率为 .
16.已知等边三角形的边长为，分别为的中点，沿将折成直二面角，则四棱锥的外接球的表面积为 .
三、解答题：本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）已知等比数列的各项均为正数，前项和为，数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求.

18.（本小题满分12分）如图，等腰梯形ABCD的底角A等于，其外接圆圆心在边AD上，直角梯形PDAQ垂直于圆所在平面，
（1）证明：平面；
（2）若二面角

19. （本小题满分12分）2015年7月31日，国际奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季运动会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办，某中学为了普及冬奥会知识，举行了一次奥运会知识竞赛，随机抽取20名学生的成绩（满分为100分）如下：
男生：93 91 90 86 83 80 76 69 67 65
女生：96 87 85 83 79 78 77 74 73 68
（1）根据两组数据完成男、女生成绩的茎叶图，并比较男、女生成绩的平均值及分散程度；
（2）从成绩80分以上（含80分）的学生中抽取4人，要求4人中必须既有男生又有女生，用X表示所选4人中男生与女生人数的差，求X的数学期望。

20.（本小题满分12分）
已知直线交于点,。
（1）判断
（2）
若是等腰三角形？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由.

21. （本小题满分12分）设函数
.
（1）求；
（2）求证：；

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，，
（1）求证：；
（2）求证：。

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线。
（1） 写出的极坐标方程，并求
（2） 设

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1） 求不等式
（2） 已知.

厦门市2016届高中毕业班质量检查
数学(理科)参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1-5：BCBDA 6-10：DDCAB 11-12： CA
12.解析：在△中，，
在△中，，
所以，
所以
因为，所以，
解得，所以
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 二 14. 15. 16.
16.解析：由，取的中点，则是等腰梯形外接圆圆心。是△外心，作平面，平面，则是四棱锥的外接球的球心，且.设四棱锥的外接球半径，则，所以表面积是.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17. 本小题考查等比数列的通项公式、前项和公式、基本性质及求数列前项和，考查运
算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分．
解法一：
（Ⅰ）， 1分
， 2分
又，， 3分
解得或（舍去）, 5分
所以. 6分
（Ⅱ）, 8分
10分
11分
. 12分
解法二：
（Ⅰ）由已知得， 2分
解得或（舍去）， 4分
所以. 6分
（Ⅱ）同解法一.

18. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二面角平面角等基础知识，考
查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．
解法一：
（Ⅰ）证明：由题可知， 1分
∵梯形垂直于圆所在的平面, ，
∴平面 , ∴， 2分
又∵平面， 3分
∵，∴ ． 4分
（Ⅱ）如图，过点作射线∥两两垂直.
以为原点, 所在直线分别为轴建立坐标系,
设，则,
从而， 5分
设面的一个法向量为，
即取，则， 7分
由（1）已证平面,则平面的一个法向量为， 8分
，解得， 9分
多面体是由三棱锥和四棱锥构成的组合体，
， 11分
，
∴多面体PQABCD的体积. 12分
解法二:
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如图，在平面
过作射线∥ , 两两垂直.
以为原点, 所在直线分别为 轴建立坐标系,
设,则,
从而， 5分
设面的法向量为，
即取则， 7分
平面的法向量为, 8分
,解得, 9分
下同解法一.
解法三:
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）取中点,过作垂直于交线段于点,
连接, 5分
可证,∴,
又∵, ∴,, 6分
∴为二面角的平面角, 7分
即45°，,
由∽，可求得. 9分
以下同解法一.
19. 本小题主要考查茎叶图的画法和理解，古典概型，随机变量的数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．
解：（Ⅰ）茎叶图如图所示.
2分
男生的平均成绩为
，
女生的平均成绩为
，
所以男、女生的平均成绩一样. 5分
由茎叶图可以看出，男生的成绩比较分散，女生的成绩比较集中. 6分
（Ⅱ）成绩在80分以上（包括80分）的学生共有10人，其中男生6人，女生4人，
X的所有可能取值为 – 2，0，2， 7分
， 8分
， 9分
， 10分
所以. 12分
20.本小题考查对含参直线方程的理解，抛物线的基础知识，探究存在性问题，考查学生的数学思维能力及逻辑运算能力，考查数形结合、函数方程、分类与整合的数学思想. 满分12分.
解：（Ⅰ）由于 ，所以是直角三角形， 1分
A(0，2m+2),B(2-2m，0），D(2,2)， 2分
则外接圆圆心直径是AB，， 3分
要使外接圆C面积最小，则，当且仅当m=0时成立， 4分
所以外接圆C面积的最小值为. 5分
（Ⅱ）由D（2,2）点在抛物线上，则， 6分
圆C过原点，则抛物线与圆的公共点是D(2，2),E(0，0)， 7分
假设存在点P满足条件，则，
（1） 当DE是底时，DE中点Q（1,1），DE中垂线方程：y=-x+2,代入抛物线
得：，，所以存在两个满足条件的P点. 8分
（2）当PE是底时，PE中点M，则DM⊥PE，
即 ， 9分
设，
则在，递增，在递减，
因为，，
所以在(3,4)有唯一零点，存在一个满足条件的P点. 10分
（3）当PD是底时，PD中点N，则EN⊥PD，
,,，
即，
所以，则或，
只有1解. 11分
综上所述：以上零点不重复，共有4个满足条件的P点. 12分

说明：
若只画出以上三图，说明DE作为底或腰的等腰三角形有4个，最多给2分，若不完整给1分；若只有结果4个等腰三角形，给1分．
21. 本小题主要考查学生利用导数研究函数的单调性、解决与不等式有关的参数范围和证明问题；考查运算求解能力、推理论证能力，创新意识；考查函数与方程、转化与化归思想，分类与整合思想．满分12分．
解法一：
（Ⅰ）依题意定义域为，， 1分
，解得，. 3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
设，则， 4分
设，则，所以在上单调递增，
所以，，所以在上单调递增， 5分
又因为，，即，
所以恰有一个零点； 6分
即，即， 7分
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以， 8分
设，因为，
所以， 10分
所以在上单调递增，所以，
所以，
综上可知，． 12分
解法二：
（Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
设，则， 4分
设，则，所以在上单调递增，
所以，所以，所以在上单调递增， 5分
又因为，，即，
所以恰有一个零点； 6分
即，即， 7分
且当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以， 8分
设，
因为，所以
设则
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即 10分
所以在上单调递增，则，
所以，即． 12分
22. 本小题考查相似三角形、圆心与半径、切割线、角平分线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想. 满分10分．
解：(Ⅰ) 由为圆切线，知, 1分
∵,是圆的切线，为中点，
∴,,三点共线，且, 2分
∴，, 3分
∴,即. 4分
(Ⅱ) ∵，为中点，
∴，， 5分
∴，于是， 6分
又∵，
∴， 7分
延长交圆于点，连结，，，
由，知，
∴，， 8分
又为中点，，∴ ， 9分
∴，，
∴平分. 10分
23.本小题考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的相互转化，考查化归与转化思想，数形结合思想.
满分10分．
解：(Ⅰ)因为，所以的极坐标方程为， 2分
直线的直角坐标方程为，
联立方程组，解得或， 4分
所以点的极坐标分别为. 5分
（Ⅱ）由(Ⅰ)易得 6分
因为是椭圆上的点，设P点坐标为， 7分
则到直线的距离， 8分
所以，
9分
当时，取得最大值1. 10分
24. 本小题考查绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，考查运算求解能力和命题的等价转化能力，考查函数思想、数形结合思想、分类与整合思想. 满分10分．
解：(Ⅰ)依题意得， 1分
当时，，，满足题意， 2分
当时，，即， 3分
当时，，，无解， 4分
综上所述，不等式的解集为. 5分
（Ⅱ）因为，所以， 6分
则，即， 7分
所以
9分
. 10分