弹性力学试题及统一标准答案.doc

弹性力学与有限元分析复习题及其答案
一、填空题
1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度变化等因素而发生应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力正负号规定相适应。
4、物体受外力后来，其内部将发生内力，它集度称为应力。与物体形变和材料强度直接关于，是应力在其作用截面法线方向和切线方向分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量量纲是L-1MT-2。
5、弹性力学基本假定为持续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处应力分量MPa，MPa， MPa，则主应力150MPa，0MPa，。
8、已知一点处应力分量， MPa，MPa， MPa，则主应力512 MPa，-312 MPa，-37°57′。
9、已知一点处应力分量，MPa，MPa， MPa，则主应力1052 MPa，-2052 MPa，-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表达应力分量与体力分量之间关系方程为平衡微分方程。
12、边界条件表达边界上位移与约束，或应力与面力之间关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法一方面将持续体变换成为离散化构造，然后再用构造力学位移法进行求解。其详细环节分为单元分析和整体分析两某些。
15、每个单元位移普通总是包括着两某些：一某些是由本单元形变引起，另一某些是由于其她单元发生了形变而连带引起。
16、每个单元应变普通总是包括着两某些：一某些是与该单元中各点位置坐标关于，是各点不相似，即所谓变量应变；另一某些是与位置坐标无关，是各点相似，即所谓常量应变。
17、为了能从有限单元法得出对的解答，位移模式必要能反映单元刚体位移和常量应变，还应当尽量反映相邻单元位移持续性。
18、为了使得单元内部位移保持持续，必要把位移模式取为坐标单值持续函数，为了使得相邻单元位移保持持续，就不但要使它们在公共结点处具备相似位移时，也能在整个公共边界上具备相似位移。
19、在有限单元法中，单元形函数Ni在i结点Ni=1；在其她结点Ni=0及∑Ni=1。
20、为了提高有限单元法分析精度，普通可以采用两种办法：一是将单元尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化状况；二是采用包括更高次项位移模式，使位移和应力精度提高。

二、判断题（请在对的命题后括号内打“√”，在错误命题后括号内打“×”）
1、持续性假定是指整个物体体积都被构成这个物体介质所填满，不留下任何空隙。（√）
5、如果某一问题中，，只存在平面应力分量，，，且它们不沿z方向变化，仅为x，y函数，此问题是平面应力问题。（√）
6、如果某一问题中，，只存在平面应变分量，，，且它们不沿z方向变化，仅为x，y函数，此问题是平面应变问题。（√）
9、当物体形变分量完全拟定期，位移分量却不能完全拟定。（√）
10、当物体位移分量完全拟定期，形变分量即完全拟定。（√）
14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元作用力。（√）
15、在平面三结点三角形单元公共边界上应变和应力均有突变。（√ ）

三、分析计算题
1、试写出无体力状况下平面问题应力分量存在必要条件，并考虑下列平面问题应力分量与否也许在弹性体中存在。
（1），，；
（2），，；
其中，A，B，C，D，E，F为常数。
解：应力分量存在必要条件是必要满足下列条件：（1）在区域内平衡微分方程；（2）在区域内相容方程；（3）在边界上应力边界条件；（4）对于多连体位移单值条件。
（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必要A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必要满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必要满足A=B=-C/2。上两式是矛盾，因而，此组应力分量不也许存在。
2、已知应力分量，，，体力不计，Q为常数。试运用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。
解：将所给应力分量代入平衡微分方程

得

即

由x，y任意性，得

由此解得，，，
3、已知应力分量，，，判断该应力分量与否满足平衡微分方程和相容方程。
解：将已知应力分量，，，代入平衡微分方程

可知，已知应力分量，，普通不满足平衡微分方程，只有体力忽视不计时才满足。
按应力求解平面应力问题相容方程：

将已知应力分量，，代入上式，可知满足相容方程。
按应力求解平面应变问题相容方程：

将已知应力分量，，代入上式，可知满足相容方程。
4、试写出平面问题应变分量存在必要条件，并考虑下列平面问题应变分量与否也许存在。
（1），，；
（2），，；
（3），，；
其中，A，B，C，D为常数。
解：应变分量存在必要条件是满足形变协调条件，即

将以上应变分量代入上面形变协调方程，可知：
（1）相容。
（2）（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。
（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则，，（1分）。
5、证明应力函数能满足相容方程，并考察在如图所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，）。

l/2
l/2
h/2
h/2
y
x
O

解：将应力函数代入相容方程

可知，所给应力函数能满足相容方程。
由于不计体力，相应应力分量为
，，
对于图示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，依照边界条件，上下左右四个边上面力分别为：
上边，，，，，；
下边，，，，，；
左边，，，，，；
右边，，，，，。
可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右均布面力2b。因而，应力函数能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）问题。
6、证明应力函数能满足相容方程，并考察在如图所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，）。

l/2
l/2
h/2
h/2
y
x
O

解：将应力函数代入相容方程

可知，所给应力函数能满足相容方程。
由于不计体力，相应应力分量为
，，
对于图示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，依照边界条件，上下左右四个边上面力分别为：
上边，，，，，；
下边，，，，，；
左边，，，，，；
右边，，，，，。
可见，在左右两边分别受有向下和向上均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左均布面力a。因而，应力函数能解决矩形板受均布剪力问题。
7、如图所示矩形截面长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。
O
x
y
b
q
rg

解：依照构造特点和受力状况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设。由此可知

将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式

将上式代入应力函数所应满足相容方程则可得

这是y线性方程，但相容方程规定它有无数多解（全柱内y值都应当满足它），可见它系数和自由项都应当等于零，即
，
这两个方程规定
，
代入应力函数表达式，并略去相应力分量无影响一次项和常数项后，便得

相应应力分量为

以上常数可以依照边界条件拟定。
左边，，，，沿y方向无面力，因此有

右边，，，，沿y方向面力为q，因此有

上边，，，，没有水平面力，这就规定在这某些边界上合成主矢量和主矩均为零，即

将表达式代入，并考虑到C=0，则有

而自然满足。又由于在这某些边界上没有垂直面力，这就规定在这某些边界上合成主矢量和主矩均为零，即
，
将表达式代入，则有

由此可得
，，，，
应力分量为
， ，
虽然上述成果并不严格满足上端面处（y=0）边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一成果应是合用。

8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势力，即体力分量可以表达为，，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表达为，，，，试导出相应相容方程。
证明：在体力为有势力状况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量，，应当满足平衡微分方程
（1分）
还应满足相容方程
（对于平面应力问题）
（对于平面应变问题）
并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必要考虑位移单值条件。
一方面考察平衡微分方程。将其改写为

这是一种齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一种方程改写为

依照微分方程理论，一定存在某一函数A（x，y），使得
，
同样，将第二个方程改写为
（1分）
可见也一定存在某一函数B（x，y），使得
，
由此得

因而又一定存在某一函数，使得
，
代入以上各式，得应力分量
，，
为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数必要满足一定方程，将上述应力分量代入平面应力问题相容方程，得

简写为

将上述应力分量代入平面应变问题相容方程，得

简写为

9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁密度为，试用纯三次应力函数求解。
O
x
y
a
rg

解：纯三次应力函数为

相应应力分量表达式为
， ，
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程。当前来考察，如果恰当选取各个系数，与否能满足应力边界条件。
上边，，，，没有水平面力，因此有

对上端面任意x值都应成立，可见

同步，该边界上没有竖直面力，因此有

对上端面任意x值都应成立，可见

因而，应力分量可以简化为
，，
斜面，，，，没有面力，因此有

由第一种方程，得

对斜面任意x值都应成立，这就规定

由第二个方程，得

对斜面任意x值都应成立，这就规定
（1分）
由此解得
（1分），
从而应力分量为
，，
设三角形悬臂梁长为l，高为h，则。依照力平衡，固定端对梁约束反力沿x方向分量为0，沿y方向分量为。因而，所求在这某些边界上合成主矢应为零，应当合成为反力。

可见，所求应力分量满足梁固定端边界条件。
10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体密度为，液体密度为，试求应力分量。
r2g
r1g
a
y
x
O

解：采用半逆解法。一方面应用量纲分析办法来假设应力分量函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体任意一点，每一种应力分量都将由两某些构成：一某些由重力引起，应当与成正比（g是重力加速度）；另一某些由液体压力引起，应当与成正比。此外，每一某些还与，x，y关于。由于应力量纲是L-1MT-2，和量纲是L-2MT-2，是量纲一
量，而x和y量纲是L，因而，如果应力分量具备多项式解答，那么它们表达式只也许是，，，四项组合，而其中A，B，C，D是量纲一量，只与关于。这就是说，各应力分量表达式只也许是x和y纯一次式。
另一方面，由应力函数与应力分量关系式可知，应力函数比应力分量长度量纲高二次，应当是x和y纯三次式，因而，假设

相应应力分量表达式为
，，
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程。当前来考察，如果恰当选取各个系数，与否能满足应力边界条件。
左面，，，，作用有水平面力，因此有

对左面任意y值都应成立，可见

同步，该边界上没有竖直面力，因此有

对左面任意y值都应成立，可见

因而，应力分量可以简化为
，，
斜面，，，，没有面力，因此有

由第一种方程，得

对斜面任意y值都应成立，这就规定

由第二个方程，得

对斜面任意x值都应成立，这就规定

由此解得
，
从而应力分量为

，，