第一章-概率论(大数2).pdf

概率论简介:概率论是从数量侧面研究随机现象的统计规律性的数学学科,v-研究随机现象 出现的可能性有多大随机事件的概率就是计量随机事件出现可能性大小 的个数字.特点:要求:1.掌握处理随机现象的基本理论和方法;（易掌握）2.培养解决某些有关实际问题的能力.（灵活性大,要多思考多做题）第一章随机事件及其槪率 第一节成机事件在给定的条件下,指定结果发生的情况怎样?1.抛一骰子,“”向上;（不一定）2.三男三女中,随叫四人,必有一男;（必然发生）3.种下十粒种子,全发芽;（不一定）4.张三买了一张彩票,中奖；（不一定）5.太阳从西边出来.（不可能发生）这些现象大体上可分为两类:这些现象大体上可分为两类:确定性现象（决定性现象、必然现象）在一定条件下 有唯一确定结果（必然发生或不可能发生）的现象.随机现象（偶然现象）在一定条件下,有多种可能结果,ja究竟发生哪结果,事先不能预料的现象.统计规律性对于随机现象进行一次或少数几次观 察,其可能的结果出现哪个是带有偶然性的,但在 大量重复观察时,就会发现所出现的结果有明显的规 律性,（例如抛硬币的试验）称这种 规律性为 统计规律性.概率论就是研究 K 机现象统计规律性的一门 学科.、値机事件与样本空间1.随机试验(random Experiments)在一定条件下,对自然与社会现象进行的观察、测 量或实验称为试验.在概率论中,把满足以下条件的试验称为随机试验.(1)试验在相同的条件下可重复进行;(2)试验的所有可能结果在试验前已经明确,并且不止个;(3)每次试验前无法准确预言试验后会出现哪种结果.例如,在抛一枚骰子,观察出现的点数.今后所说的试验都是指随机试验,用字母E表示.2e随机事件(random Events)在随机试验中,可能出现也可能不出现,而在大 量重复试验中具有某种规律性的结果叫做随机事件,简称事件.随机事件通常用大写英文字母、B.C等表示.例如,在抛掷一枚骰子的试验中,“出现两点”是 个随机事件,可用表示.=出现两点3.基本事件与样本空间样本点（Sample Poin（基本事件）随机试验E的每个可能的基本结果称为这个试验 的个样本点或基本事件,记作co.例如,抛掷颗骰子,观察出现的点数,那么“出现1点”、“出现2点”、6，出现6点”为该试验的样本点.样本空间（Sample Space）（基本事件空间）全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间,记作Q.例如,抛掷颗骰子,观察出现的点数,该试验的样本空间Q=“出现L点”,“出现2点”,“出现6点”.样本空间（基本事件空间）举例 写出下列试验的样本空间Ei:把均匀硬币连抛两次,观察正、反面出现的情况;若记3厂（正,正）,但2=（正,反）,但3=（反,正）,但4=（反反）则样本空间C=3i，C02,（03,石2:射手进行射击,直到击中目标为止,记录射击次数;若用”表示击中目标所需要的射击次数/这结果,n=1,2,3,.则样本空间Q=1,2,3,.随机事件（random Events）在随机试验中,随机事件一般是由若干个样本点（基本事件）组合而成.随机事件通常用大写英文字母、B、C等表示.如上例抛骰子试验中,“出现1点”、“出现2点”、“出现6点”为该试验的样本点（基本事件）.随机事件=出现奇数点是由三个样本点“出现1点”、“出现3点”、“出现5点”组合而成的.可见,随机事件和样本空间Q的关系:蠱Q W随机事件是样本空间的子集.w样本空间的任一子集都称为一个随机事件,简称为事件.事件发生（出现）在试验中,如果出现随机事件中所包含的某个样 本点,则称事件发生;否则,就称事件不发生.如在上例抛骰子试验中,如果试验结果出现5点,试 考虑随机事件A=出现奇数点 B=出现4或6点C=出现点数4 D=出现1或5点中,哪些事件发生,哪些事件不发生?分析:结论:事件、C、发生;事件万不发生.W随机事件是样本空间的子集.样本空间的任一子集都称为个随机事件.特别地,1.因样本空间。也是其自身的个子集,也是个“随机”事件.由于样本空间。包含所有的样本点,每次试验中必定有Q中的个样本点出现,-c必然发生.。表示必然事件(Certainty Events).W随机事件是样本空间的子集.样本空间的任一子集都称为个随机事件.特别地,2.空集。也是样本空间的个子集0也是个特殊的“随机”事件.由于0不包含任何样本点,每次试验中0都不可能发生.。表示不可能事件(Impossible Event).注:严格地说,义然事件与不可能事件反映了确定 性现象,它们并不是真正的 随机事件,但为了 研究问题 的 方便,我们 把它们 作为 特殊的 随机事件对待.小 结样本空间是集合,事件也是集合（是样本空间的子集）样本空间。为全集必然事件表示用同一符号,一致.样本空间一全集事 件集合（是。的子集）样本点3元素故可借用以前学过的集合的知识来讨论事件.二、事件的关系与运算事件-事件之间的关系与事件的运算I I集合-集合之间的关系与集合的运算讨论前提给定一个随机试验瓦设Q为其样本空间,45C 及都是事件,即。的子集.（一）事件的关系1.事件的包含（Contain）若事件发生必然导致事件方发生,即事件的样本 点都是事件万的样本点,则称事件方包含事件4或称 事件包含于事件万中,此时也称事件是刀的子事件,记作uB或万4如图.ZuB或万4例某人打靶,观察击中的环数4=击中7环 5=击中奇数环则AB（或6n）（或是的刀子事件）2.事件的相等(Equal)若a且万=4即与有相同的样本点.则称事件与事件相等,记作三改如图.A=B3.互不相容事件（互斥事件）（Exclusive）如果事件、万不可能同时发生,即事件与上没有公共的样本点.则称事件与事件万是 互斥事件（或称互不相容事件）.如图所示.例射击一次,观察击中的环数 4=大于7环小于5环 则、万是互斥事件.若事件1,2,，中任意两个都互斥,则称事件组/a2,两两互斥.（二）事件的运算1.件的和（并）（Union）ZUB=事件、万至少有一个发生=发生,或万发生.ZUB是由属于/或属于万的所有样本点组成的集合.如图阴影部分所示.AUB=“或石”例甲、乙两人同时向一目标 射击一次,=甲击中目标,5=乙击中目标,C=目标被击中则事件。发生意味着:事件、万至少有一个发生,即 C=力UA推广:多个事件的和曲有限个事件件1、4、的和曲事件n4U4UU尸 U Ak=事件1、2、“中至少有一个发生=事件1发生,或42发生，或发生;可数个事件4、司2、的和田事件&U4UU4U=!=事件1、2、中至少有一个发生.、万互斥时简记作A UB-A+B；(P4)力iUNzUUN”r，+1 2 n两两互斥如图阴影部分所示.刀=，且万”2.事件的积（交）（Intersection）事件与人的积（交）事件:zn万=4B=事件、同时发生=发生,且5发生.Z万是由既属于且属于万的公共样本点组成的集合.例甲、乙两人同时向一目标各 射击一次,=甲未击中目标,=乙未击中目标,c=目标未被击中,则事件。发生意味着:事件、万同时发生,即 C=AB.推广:多个事件的积,交）有限个事件4、的积交）事件nA1A1-An=n Ak=事件2、同时发生;可数个事件2、的积（交）事件44 4=A Ak=事件1、2、同时发生、万互斥Q46=0.如图阴影部分所示3.事件的差(Difference)事件与事件万的差事件:力(或一)=事件发生,而万不发生.是由属于但不属于万的样本点组成的集合.例若直径和长度合格,则零 件合格./=直径合格 万=长度合格 人表示“直径合格但长度不合格”.易知:AB=AAB.AB4,对立事件（互逆事件）(Contrary)“事件不发生”这事件称为事件的对立事件（或 称为的逆事件）,记作.即=。、力.由所有不属于的样本点组成.如图阴影部分所示易知:与7互为对立事件.生质AA=0；AJ A=Q；A=A；AB=AB=AAB.例=产品合格,5=击中目标,小于5环则A=产品不合格B=未击中目标C=大于或等于5环思考题:互斥事件与对立事件的区别多A.互为对立事件、万中有且仅有一个发生.即 1B=Q 且 AB=0.完备事件组若事件1、2、”两两互斥,且41142uU4=q,则称4、4、An 构成一个完备事件组.也称 1、2、An 构成样本空间的一个划分（分割、剖分）.其基本特征:1.不重叠;如图所示.2.无遗漏.直观上,完备事件组 各事件没有公共部分,且“拼”起来恰为样本 空间.事件之间的运算律(P4)(1)交换律U万二万UN AB=BA(2)结合律(/U5)U。UCBUC)(AB)C=A(BC)(3)分配律(u C)=(6)U(C)4UX6C)=(U B)(A U C)(4)摩根(De Morgan)律(P4)(对偶律)aJb=ab ab=ajb推广:U4=P|4 AA=Uk k k k(5)AB=AB=AAB例(复合)事件的表示A.B,。为同一样本空间的随机事件,试用、B,。及其运算表示下列事件:(1)发生而上与。都不发生或 ABC 或(UC)(2)与万都发生而。不发生ABC 或 ABC 或 ABABC(3)A,B,。都发生ABC(4)A.B、C恰好有一个发生-专不!加U豆。:呼号買、可写记为JABC+ABC+ABC例(复合)事件的表示(5)A,刀、恰女苧两发生ABC U ABC U ABC由于互斥;可简记为,ABC+ABC+ABC P(D)等.对于给定的事件4如何确定(/)的值呢?、确定概率的频率方法1,随机事件的频率(Frequency)定义在相同条件下,重复进行次试验,事件发生的次数称为事件发生的频数,比值 称为事件在次试验中发生的频率,n记功(二事件发生的次数)=试验总次数r=事件发生的次数()试验总次数频率的性质(1)对任意事件4 OU(/)W1；(2)(Q尸 1,(0)=0;(3)若1,2,，是可数个两两互斥的事件,贝(&U4Uuu)F(4)乜(4)+以)+(g 即fn U4 江A4)i=1)实践证明:当试验次数增大时,人（力）逐渐趋向一个定值.例1抛硬币的试验中,事件“正面向上”出现的规律.历史纪录试验者抛掷次数出现正面的次数出现正面频率德.摩根204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998结果表明:正面向上的频率在。5附近摆动,随着 的增大,将逐渐稳定在.5这个数值上.例2（某批种子的发芽率）为检查某种小麦的发芽 情况,从一大批种子中抽取10批种子做发芽试验,其结 果见下表.种子粒数2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000发芽粒数2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715发芽率1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905从上表可看出,发芽率在.9附近摆动,随着的增 大,将逐渐稳定在.9这个数值上.2.频率的稳定性实一表闕:当随机试验在相同的条件下重复进行时,事件 出现的频率具有一定的稳定性即事件发生的频 率在个固定的数值（OWpWl）附近摆动,而且 这种稳定性随着试验次数的增加而愈加明显.-频率的稳定性.这个数值P是事件本身的种属性,数值月可 以用来度量事件发生的可能性的大小,因此,就把P规定为事件发生的概率.価率的疫行定义3.概率的统计定义定义L2（确定槪率的频率方法）在相同的条件下重复进行次试验,则事件发 生的频包（）随着试验次数的增大而稳定地在某 个常数（0 1）附近摆动,那么称为事件 的概率,记为（力）.即（力）徃频率槪率概率的这种定义,称为概率的统计定义.在实际应用中,当试验次数足够大时,可以用事件 发生的频率近似地代替事件/的概率.二、古典槪型1.古典概型(classical probability)在概率论发展的初期主要研究具有如下两个特点 的随机试验:(1)结果有限性 试验结果(基本事件)只有有限个;(2)等可能性 每个结果(基本事件)发生的可能性 相同,满足这两个条件的数学模型称为等可能概型.因等可能概型是概率论发展初期的主要研究对象,故又称为古典概型.古典概型的意义:2.古典概型中,事件的概率的计算公式根据古典概型的特点,可以定义任意随机事件的概率.定义L3（确 定槪率的古典方法）设试验共有个试验结果（即个基本事件）3，3”而且这些结果的发生具有相同的可能性,若事件3其中的f个试验结果（即基本事件）组成,则定义事件的概率为尸（）_ 包含的试验结果（基本事件）数阳,m丿 试验结果（基本事件）总数 n 该定义称为概率的古典定义,用这种方法计算得的概 率称为古典概率.按上述公式,求古典概型中事件的概率一般步骤?般步骤古典概率的计算:抛掷骰子（例1.2.3）抛掷颗匀质骰子,观察出现的点数,求“出现的点数是不小于3的偶数”的概率.解 记事件=出现的点数是不小于3的偶数”伏験秸累（基本市件）总剧=6,事件包含的強;験負累（基本事件）歡m=2,事件的就率P(A)=.古典枫率的计算:正品率和次品率八”看箱产品,共有100件,其中有4件(例 1.2.4)设次品,其余均为正品.求:从箱中任取1件,取到次品的概率;(2)从箱中任取3件,取到的全是正品的概率;(3)从箱中任取3件,取到的恰有2件正品的概率.解记=任取1件,取到次品;任取3件,取到的全是正品;C=任取3件,取到的恰有2件正品.(1)基本事柞总数 1=100,包含的基本事件数Z1=4故 P(A)=出=3=0.04.100(2)基本事件总数%=P(B)=万包含的基本事件数阳2=C96 0.8836.也二古典概率的讨算:正品率和次品率（例1.2.4）设有一箱产需,共有100件,其中有4件次 品,其余均为正品.求:（1）从箱中任取1件,取到次品 的概率;（2）从箱中任取3件,取到的全是正品的概率;（3）从箱中任取3件,取到的恰有2件正品的概率.静记=任取1件,取到次品;任取3件,取到的全是正品;C=任取3件,取到的恰有2件正品.（3）基本事件总数=C*oC 包含的基本事件数a3=c；6clP（O=-%0.1128.%cfoo在计算基本事 件数时,注意 用好加法原理 和乘法原理!古典概率的计算:数室排列P13.例127用1,2,3,4,5这五个数字排成三位数,求(1)没有相同数字的三位数的概率;(2)没有相同数字的三位偶数的概率.解 设=没有相同数字的三位数,5=没有相同数字的三位偶数则基本事件总数为=53=所以?(Z)=(2)用万月,所以少(4)二吸 0.192百位、十位A个位投球A盒问题例L2.8设有个球,每个球都等可能地被放到N(mWN)个盒子中的任一个,求下列事件的概率:指定的个盒子中各有一球;6:恰有个盒子各中有一球;C:指定的某个盒子中恰好有阳(阳个球.解由于每个球都等可能地被放到N个盒子中的一个,所以个球共有N种放法.即基本事件总数为事件包含的基本事件数是!,所以P(A)=丁-N例12.8设有九个球,每个球都等可能地被放到 个盒子中的任一个,求下列事件的概率:A:指定的个盒子中各有入球;万:恰有个盒子各中有一球;C:指定的某个盒子中恰好有机(jmWh)个球.P13解.,基本事件总数为事件万可分两步完成:先从N个盒子中任选个,有。种选法;选定个盒子后,每个盒子各放入一球的方法为!种,所以事件万包含的基本事件数是十故P(B)=例L2.8设有个球,每个球都等可能地被放到 个盒子中的任一个,求下列事件的概率:C:指定的某个盒子中恰好有帆个球.解.,基本事件总数为事件。可分两步完成:先从个球中任选加个放入指定的盒子,有。;种选法;其余Z个球可以任意放入其余的N-1个盒子中,共 有（21）M种落法.所以事件。包含的基本事件数是C阳.（N 1）阳,故n Cm（N-Vinm 1 i尸（0=*mQ卡nT有些概率问题可以上例里的投球入盒问题来模拟 古典槪率的计算:生日问题某专业有50个学生,求他们的生日无重复（记为事件）的概率.（设一年365天,并设人在一年内任一天出生是等可能的）分析 此问题可以用投球入盒模型来模拟.50个学生365天 生日无重复6)=囁国!50个球 365个盒子恰有50个盒,其中各有一球 恰有50个盒,其中各有一球 ,/、3655相似地有分房问题:人-房子t小球盒子即至市两人 旅日唾复的 率0.97!y古典概率的计算:抽签例10个学生采取抽签的方式分配3张音乐会入场 券求/=第五个抽签的人抽到入场券”的概率.解可以制作10张外观相同的纸签,其中3张代表入场券.10个学生抽签共有=10!种方式,且加=(7;9!,所以C;9!原来不必=看争趨后!n襄鉱每个老袖到入场家的槐率槨是3 袖到入场彖的施牵与抽签顺序无关.古典概型中,基本事件数的计算主要归结为初等 数学中排列数、组合数的计算,尽量用组合,若避免 不了顺序,用排列.古典概率的计算最基本,后面计算复杂事件的 概率时要用到简单事件的概率,一般都是用古典概 型求出.三、几何槪型(Geometric probability)若典統型的局限權:例1在个均匀陀螺的圆周上均地刻 上(0,4上的所有实数,在桌面上旋 转该陀螺,求陀螺停下后,圆 周与桌面的 接触点位于区间0.5,1的概率.例2 如果在个5万平方公里的海域里有表面积达 40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海域里随 意选取一点钻探,问钻到石油 的概率是多少?例1例2的共同特点:結黑无穷,善可健權.若與統型秸累有限推广牯黑无常普可怩權 等可怩權,，几何槐型概率的几何定义 定义1.4（确定概率的几何方法）有一个可度量的几何图形Q,试验E看成在。中随机 地投掷一点,即。为样本空间.而事件就是所投掷的点 落在。中的可度量图形中.事件的概率与的度量丄4）成正比.贝!k.2p小=的几何度量二丄（,。的几何度量。）（丄袤示几何度量,解彼段的長度、或平面田域的面租或 变间区域的体积备）这样定义的概率,称为几何槐率.例1在个均匀陀螺的圆 周上均匀地刻上（0,4上的所有 实数,在桌面上旋转该陀螺,求 陀螺停下后,圆周与桌面的接触 点位于区间0.5,1的概率.解 说4=圆周与桌面接触处的刻度位于区间0.5,1Q=区间(0,4)。尸4-0=4 Z()=l-0.5=0.50二混音第例2如果在个5万平方公里的海域里有表面积达 40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海域里随 意选取一点钻探,问钻到石油的概率是多少?解设公钻到石油Q=5万平方公里的海域丄(Q尸50000 0)=400=概二論=8.习题、14.（会面问题）两人相约5:06:00在某地会面,先到者等候20miii后离去.设两人在约定的时间内 在各个时刻的到达是机会均等的,求这两人能会面的概率.解 记=两人能会面设分别表示两人到达 会面地点的时刻（5时工分,5时分）,则 60,0 60.两人到达的时刻（X,刃的可能结果的全体（即样本空间）是边长为60的正方形里的点,如图.两人能会面|x-j|20能会面的点用阴影部分标出.则AyP（止阴影的面积 602-402正方形的面积 602=9920 60 2小結求几何概率的关键是对样本空间和所求事件用图形描述清 楚（一般用线段、平面或空间图形）.然后计算出相关图形的度量（一般为长度、面积或体积）.稼可 任取两个正的真分数,求两数之和小于 Q的概率.一 5解记=两数之和小于设X、为所取的两个 数,贝rvl,0pl.所車两正的真分数（）的可能结果的全体（即样本空间）是边长为1的正方形里的点,如图.要使点任,）应位于图中阴影部分的区域内.因此所求概率勘/、阴影的面积（7目曰占/!而:tn古 S）=正方形的面积阴影的面积值1725主观槪率 自老I 了解即可.第三节槪率的公理化定义及其基本性质、背景1.上节我们介绍了四种在不同范围确定概率 的方法.但这些方法都只能在某种范围中使用,并各自都存在一定的缺陷与局限性.因此,有必要建立一个一般的概型,以便更 广泛、更确切地描述随机现象.2.概率的三条基本性质通过对随机现象数学本质的研究,人们发现计 算事件的概率形式上不论有多么不同,但都具有下 列三条基本性质:(1)非负性:对于任意个事件4()三,(2)规范性:尸(Q)=l,(3)可加性:当事件4方互斥时,P(AJB)=P(A)+P(B)1933年,前苏联数学家(概率统计学家)柯 尔莫哥洛夫(Kolmogorov)给出了概率如下公理 化定义.二、概率的公理化定义定义1.5(概率 的 公理化定义)设K机试验 E 的样本 空间为 Q,对每个事件,定义一个实数(Z)与之对 应,如果P()满足下列三条公理:公理1非负性:对于任意个事件4尸(工)20,公理2规范性:尸(C)=l,公理3可数(可列)可加性:当可数个事件,4,两两互斥时,PC411142U)=卩(1)+(42)+那么称集合函数P(1)为事件的概率.可】直接验证,统计概率,古典概率和几何概率都符 合这定义中 的要求,因 此,它们 都是这4般定义范围 内的特殊情形.三、概率的基本性质 证朗權质的要侬据:性质1 P(0)=O(系可愧事件的極率，零)证明Q=QU0U0U,由公理3知P(Q)=P(Q)+P(0)+P(0)+所以 P(0)+P(0)+-=0,从而(0)=0.注意:P(0)=O,反之不然,即如果口)=0,未必有=0;同样,P(Q)=1,反之不然,即如果P(4)=l,未必有=Q.三、概率的基本性质性质2（有限可加性）设两两互斥,则 尸（&U4U u“=p（4）+尸（4）+尸（）证明由于iUN,U U=NIL42U U/U 0U 0 U 于是,由公理3（可数可加性）及性质1推得n 8p（U/J=p（U/P=尸（NJ+P（y4n）+P（0）+P（0）+-=尸（4）1=1特别地,若,万互斥,即万=0,则P(AJB)=P(A)+P(B).公理3可数可加性厶歩以性质2有限可加性称为概率的可加性即 两两互斥事件和事件的概率,等于各事件概率的和三、槪率的基本性质性质3(差事件的概率)若u5则(*Z)=P)(%),且P)三P(Z).证明如图.当之上时,B=AU(BA),且与BA互斥 所以,P(B)=P(AU(BA)=P(A)+P(BA)即 P(BA)=P(B)-P(A)由上式及PCB，,得 若/之刀,则()三().三、概率的基本性质性质4对任意事件a有p(/)wl证明因qC,由性质3得尸(Z)W尸(Q)=l.即 P(Z)WL一般地,OWP(力)且 P(0)=O,P(Q)=1.三、概率的基本性质性质5(对立事件巒率)对任意事件4有P(A)=1-P(A)证明 由于与互斥,由性质2有P(AJA)=P(A)+P(A)而UN=Q,尸俘)=1,所以P(A)+P(A)=1移项即得 _P(A)=1-P(A)l P(A)=1-P(A)三、概率的基本性质性质6(加法公式)对任意两个随机事件、B,有 P(A JB)=P(A)+P(ByP(AB)证明如图.先把4U6表示成互斥事件的和.AJB=AU(BAB),且与万互斥 所以,P(A JB)=P(AJ(BAB)=P(A)+P(BAB)而万,由性质 3得 P(BAB)=P(B)-P(AB)因此 P(A JB)=P(A)+P(B)-P(AB).对比性质6与公理3、性质2性质6可以推广到多个事件.设1,2,是任意个事件,则有 p(4UHUU4)=p(4)Z 卩(4内)i=l lijn+E p(444)+(-ir+1 P(44 4)lzjk0,1,2,3.方法1(利用互斥事件和的概率等于各事件概率之和计算)因为/=ZU42UZ3，且1、2、3两两互斥，所以P(A)=P(A 2U 3)=P(A+P(4)+P(&)_155 I155 I15-1-5-1-；-20 20 20%0.1316+0.4605+0.399占 0.9912.方法2（利用对立事件的概率关系计算）因为没取到白球=0,所以 尸（/）=i p（N）=i p（Zo）.cl=1 0.9912.例 1.2.4 已知(Z)=P(B)=尸(6)=:,尸(48)=0,P(AQ=P(BQ=.求事件4摩。全不发生的概率.解 由 ABCAB 及 P(4B)=0知,P(ABC)=Q,故所求概率为P(A BC)=P(UUC)=1-P(A UBUC)=1-P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(A Q-P(BC)+P(ABC)1736小结:第四节条件概率与乘法公式、条件概率(ConditionalProbability)“已知事件发生的条件下,事件万发生的概率”，称为事件发生下,事件万的条件權率,记作P(BA).相对于条件概率P(B|N)而言,尸()称为无条件槐率.由于增加了新的条件“事件5已经发生”,所以一般(5|)与(5)并不相等.下面讨论如何确定条件概率4例 某厂有甲、乙两个车间生产同一种型号的产品,结果见表合格品数次品数总数甲车间产品数54660乙车间产品数32840总 数8614100从这100件产品任取件,设=车间产品,万=合格品,则=乙车间产品,豆=次品.求(力)、P(B),P(AB),P(BA).解 这是古典概型问题.由定义得戶(介需=。.6,仍尸需二。86,P(AB)=聿=I I000.54,续解求P（|N）,实质上是求在事件发生的条件下,万 发生的概率（即甲车间生产的合格品率）.由于甲车间 产品有60件,而其中合格品蠢54件,所以尸（即尸需二09上例的结果:P（=0.6 P（6）=086尸（4B尸.54P（瓦4）=09可见:P（5）W尸（引）原因分析:样本空间不同.求P出）时样本空间是:Q求P（6|N）时样本空间縮小了,是:A进步分析,还可以发现.（”）,该结论具有一般性.定义1.6设为同一个随机试验中的两个随机 事件,且(4)0,则称P(B I A)=丝2 I丿P(A)为在事件发生的条件下,事件万发生的条件槐率.定义L 6给出了条件概率的定义和计算公式.例 设100件产品中有70件一等品,25件二等品,规定一、二等品为合格品.从中任取1件,求(1)取得一 等品的概率,(2)已知取得的是合格品,求它是一等品 的槪率.鮮设表示車得一等品,万表示取得合格品,则(1)因为100件产品中有70件一等品,所以P=。7.(2)方法1:(缩减样本空间法)因为95件合格品中有70件一等品,所以P(Z|B)二。.7368.方法2:(按条件概率定义求)二生竺丄生幺喫 I,P(B)P(B)95/1000.7368.2.条件概率的计算方法:方法1用条件概率的定义计算.在原样本空间。中,先计算P（4B）,尸（力）,再按公式P国)=,P(4)0 rI句计算条件概率;方法2在缩减的样本空间上计算.由于事件已经出现,可以将其视为新的样本空间,并在该样本空间下计算事件发生的概率（関）.综合练习、3.（4）考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某一家有男孩,求这家有两个男孩的概率;若已知某家第一个是男孩,求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的槪率.（假定生男 生女为等可能）解 设万=有男孩,=有两个男孩,5=第一个是男孩,问题即求P（AB）;尸（氏）.。=（男,男），（男,女），（女,男），（女,女）则与=（男,男）,（男,女）,（女,男）力=（男,男）,当=（男,男），（男,女）于是得 P（B）=曰 P（AB）=P（A）=IP（昂尸;网4昂）才（尸厶 续解 设万=有男孩,=有两个男孩,万厂第一个是男孩,问题即求P(AB);P(宙J.P(B尸 P(AB)=P(A)=IP(昂尸 J P(ABi)=P(A)=I所求的两个条件概率为 p(ab)=P(4B)1/4=.P(B)-3/4 P(AB1)=以丝1)=1/4=1 1/2-2例144设大熊猫能活到20年以上的概率为0.8,活25年以上的概率为0.4,现有一只成活20年的大熊猫,问它能活25年以上的概率.解 设=能活20年以上,6=能活25年以上则要求(6|N).依题意:P(尸P(尸04因 墨,故 AB=B P(AB)=P(B)=QA从而所求的条件概率为P(BA)=P(AB)P(Z)QA=10.8-2关于条件概率,应注意如下两点:条件概率P(区)也是个概率,因为它满足概率 定义中的三个公理.因此,类似于概率,对条件概率也可以由以上三 个公理导出其他些性质.例如或p（ab）=i-p（ab）p（ab）=i-p（ab）P（4 U 41）=P（41B）+P（A21B）-P（ArA2B）概率与(48)的区别与联糸思考观1.设4e为随机事件 二8)=0.25,P(AB)=Q.l则甲)=_2.设44为随机事件,且满足尸4=1,则B为必然事件,(|再)=0 Zu6 Az)BKey:(1)0.%(2)二、乘法公式由条件概率的定义尸(司m二哭#，(P(4)0)和 尸,得伙网=黑，(P(0)価率的乘法公式P(AB)=P(A)P(BA)(P(A)0)=P(B)P(AB)(P(B)0)即:两事件的积事件的概率等于其中一个事件的概率,乘 以在该事件发生的条件下,另一事件发生的条件概率.用途:乘法公式的推广当P(Z4)0,有P(ABQ=P(AB)C)=p(AB)P(CAB)=P(A)P(BA)P(CAB)P(ABQ=P(A)P(BA)P(CAB)更一般的,当三2且(4ft)o时,有p(44 4)=尸(4)尸(414)尸(41(44)尸(4|(44)利用概率的乘法公式容易计算若干个事件的积 事件的概率.例L 4.5 批产品中有4%的不合格品,而合 格品中一等品占45%.从这批产品中任取一件,求该 产品是一等品的概率.解 设表示取到的产品是一等品,表示取到的产品是合格品,则 _P(AB)=45Q/o P(B)=4%于是 P(B)=1-P(B)=96%因为刀刃,所以P(A)=P(AB)=P(B)P(AB)=96%x45%=43.2%.例146 个盒子中有6只白球、4只黑球,从中不 放回地每次任取1只,连取2次,求第一次取得白球 的概率;(2)第一、第二次都取得白球的概率;(3)第 一次取得黑球而第二次取得白球的概率.设表示第一次取得白球,万表示第二次取得白球,则(1)P(A)=4=0.6.(2)P(AB)=P(A)P(BA)=-xf 仁0.33.(3)P(B)=P(A)P(B A)=4xf 0.27.lu 例 在个化妆舞会上,有20个男同学,10个女 同学,试问:其中男同学GG请的第三个舞伴还不是女 同学的概率.（假设请了某同学后不再请该同学.）解“请的第三个舞伴还不是女同学”相当于，第一、第二、第三次请的都是男同学”.记4表示“第歆请的是男同学”,1,2,3.则所求的概率为p（444）=p（4）p（4|4）p（4|44）黑x圣火。0.265.凡事不过三.全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式(一)全概率公式 复公理3可数可加性 行性质2有限可加性概率的可加性即 两商互斥事件和事件的慨率,等于各事件槐率的.銅军的乘弦公式P(AB)=P(A)P(BA)(P(A)0)=P(B)P(AB)(P(B)0)即:两事件的彳只事件的概率等于其中一个事件的概率,乘 以在该事件发生的条件下,另一事件发生的条件概率.例1.4.8设箱内有6个白球和4个黑球,从中接连取 球2次,每次取1个球,取后不放回,求第二次取到白球 的概率.解 设=第一取到白球,生第二次取到白球,因为万=48U 且46与4B互斥,所以 P(B)=P(AB U AB)可加性 一P(AB)+P(AB)叁込个吗”口回6初二二;xN+三0=1,2,，万为样本空间的任意事件,P0,贝=1,2,小 巴二:%）.（=1,2,、）贝叶斯公式（也称逸価率公式）P（团1=1 证明（均忸）条件概率定义P（A-B）分子用乘法公式 P（A.）P（B Af）分母用全概率公式尸（4）尸（川4）分母用到全概率公式.1=1贝叶斯公式凹二.国内）0）（4）尸（4|4）在贝叶斯公式中,玖4）和（4值）分别称为原因的 验麻极率和验后辍率.P（4）（J=1,2,，）是在没有进步的信 息（不知道事件刀是否发生）的情况下,人们对诸事 件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道万发生）,人们对诸事件发 生可能性大小（41 B）有了新的认识.【若有多个“原因”2,，4，导致试验结果上发生,如图.(3,厶,构成完备事件组)(1)求(5),一般用全概率公式.(由原因推结果).尸=P(A)P(B 14)小欖率公式(2)若已知结果刀发生了,求各“原因”4导致这个结果的可能性各有多大,即求p(4,则用贝叶斯公式.(由结果找原因).P(AjB)=-P(Aj)P(BAj)(=1,2,，)Zp(4)p(6|4)1=1238综合练习、3.(6)自动机床在调整良好时生 产的产品的合格率为90%,机床调整不好时生产的产品 的合格率为20%,已知每天早上开机床时,机床调整良 好的概率为80%.求(1)某日早上生产的第一件产品是合格品的槪率;(2)如果某日早上生产的第一件产品是合格品,这天机 床调整良好的概率.解 记=某日 早上生产的第一件产品是合格品 万这天机床调整良好，则 B=这天机床调整不好，P(万)=0.80,P(B)=0.20(力|万)=0.90,P(Z|7)=0.20(1)由全概率公式得P(A)=P(B)P(A B)+P P(花)=0.80X0.90+0.20X0.20=0.76.续解(2)由Bayes公式得好尸镭 W包P(4)0.80 x0.90F=%7P25例L4.11发报台分别以概率06和.4发出信号“.”和“一”,由于通讯系统受到干扰,当发出信号.”时,收报台未 必收到信号“而是分别以.8和.2的概率收到“.”和“一”;同样,发出“一”时分别以0.9和.1的概率收到“一”和“.”如果收报台收到“.”,求它没收错的概率.求它是发出的是信号“.”的概率.解 设=发出信号“.”,万=3收到信号“.”,则=发出信号“),(N)=0.6,尸(/)=0.4 如 IP(=0.8,尸国 =0.1|_Z-5由Bayes公式得P(AB)P(A)P(B I A)P(A B)=P(B)P(A)P(B I A)+P(A)P(B I A)0.6X0.8=120.6x0.8+0.4x0.1-13例 10个考签中有4个难签,3个人参加抽签考试,不 重复地抽取,每人抽一次,甲先,乙次,丙最后求3人抽到解 设事件1,2，3分别表示甲、乙、丙抽到难签,方法 1 p（&）=希=0.4,尸（4）=尸（u 4 4）二尸（44）+。（44）=p（4）p（4|4）+p（Z）p（4|4）（&）=?（444）+N 444）+尸（44）+p（4 4）=p（4）p（4|4）p（4|44）+p）p（4|4）p（4 冈 4）+尸（4）尸（国4）尸（44）+p（4）p（国）尸（4|率2）=。/所以,3人抽到难签的概率相同,都为0.4.方法2设想有10个人抽10个考签,用事件/%表示第i（i=1,2,10）个人抽到难签,10个人抽10个考签共有10!种方式,第2,10）个人抽到难签,有C:9!种方法,?（,）二%=4二4 i=l，2,J0.即每个人抽到雍签的槐穿都是.4,所3人抽到 雍签的槐东相同.抽签公平原理.結做题的一般步骤:1.表示出所求概率的事件或去掉所有条件的最终事件;2.分析与哪些事件有关,用刀B,表示出;3.弄清与万，万之间的关系:若=!4,求P(N)j概率的可加性或法公式(2)若=!知，乘法公式 t1 p(瓦UUU瓦)B,作为发生的“原因”,如图.（3,万构成完备事件组）尸（居）,尸（闻）（力=1,2,）一般易得,若要求P（Z）,则用全概率公式;若要求（）（Z=1,2,社 则用Bayes公式.洋节小将:第五节事件的独支桃S种豆诙験槐型、事件的独盎桃 1.两个事件的独立性一般地,P(AB)P(A)说明事件发生的可能性受事件万的影响,但在有些情况下,P(AB)=P(A).例如,将一颗均匀骰子连掷两次,L设=第二次掷出6点,万=第一次掷出6点,显然,P(AB)=P(A).说明事件发生的可能性不受事件万的影响,此时称对于万独立.定义L7设、万为任意两个随机事件,如果P(AB)=P(A即事件发生的可能性不受事件上的影响,则称事件对于事件上独立.由事件独支權的文,可得(P27)若对于万独立,则万对于力也独