“平面向量的数量积及其应用”快乐导学.pdf

王佩其 一、知识要点梳理1.平面向量数量积的有关概念。(1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意一点,作O A=a,O B=b,则A O B=(0)叫作向量a与b的夹角。(2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,我们把数量|a|b|c o s叫作向量a与b的 数 量 积(或 内积),记作ab,即ab=|a|b|c o s,规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0a=0。(3)投影向量:(图略)任取一点O,作OM=a,ON=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则OM1就是向量a在向量b上的投影向量。设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为,则OM1与e,a,之间的关系为OM1=|a|c o s e。2.平面向量数量积的性质及其坐标表示。设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),为向量a,b的夹角。(1)数量积:ab=|a|b|c o s=x1x2+y1y2。(2)模:|a|=aa=x21+y21。(3)夹 角:c o s=ab|a|b|=x1x2+y1y2x21+y21x22+y22。(4)两非零向量abab=0 x1x2+y1y2=0。(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成 立)|x1x2+y1y2|x21+y21x22+y22。3.平面向量数量积的运算律。(1)ab=ba(交换律)。(2)ab=(ab)=a(b)(结合律)。(3)(a+b)c=ac+bc(分配律)。4.平面几何中的向量方法。(1)用向量表示问题中的几何元素,将几何问题转化为向量问题。(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系。(3)把运算结果“翻译”成几何关系。二、常用结论汇总1.平 面 向 量 数 量 积 运 算 的 常 用 公 式:(1)(a+b)(a-b)=a2-b2。(2)(ab)2=a2 2ab+b2。2.有关向量夹角的两个结论:(1)若向量a与b的夹角为锐角,则ab 0;若ab0,则a与b的夹角为锐角或0。(2)若向量a与b的夹角为钝角,则ab0;若ab0,则a与b的夹角为钝角或。三、基本题型探究题型1:平面向量数量积的基本运算例1 已知等边A B C的边长为3,M,N为线段B C的三等分点,则AMAN=()。A.2 34 B.2C.1 32 D.2 69解:由题意得AM=A B+BM=A B+13B C=A B+13(A C-A B)=23A B+13A C,AN=A B+BN=A B+23B C=A B+23A C-A B =13A B+23A C。由平面向量数 量 积 的 定 义 得A BA C=A BA Cc o s6 0=3212=92,所 以AMAN=23A B+13A C 13A B+23A C =29A B2+59A BA C+29A C2=299+5992+29 9=1 32。应选C。计算平面向量数量积的三种方法:定义法,即ab=|a|b|c o s;坐标法,若a=(x1,y1),7知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 4年2月 b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2;利用平面向量的数量积的几何意义。题型2:求平面向量的模例2 (1)已知向量a,b满足a=1,b=3,a-2b=3,则a-b=()。A.2 B.3C.2 D.5(2)已知O A B是边长为1的正三角形,若点P满足O P=(2-t)O A+t O B(tR),则|2A P|的最小值为()。A.3 B.1C.32 D.34解:(1)由|a-2b|=3,平方得a-2b2=a2-4ab+4b2=1-4ab+1 2=9,解得ab=1,所 以a-b=a-b 2=a2-2ab+b2=1-2+3=2。应 选A。(2)以O为坐标原点,O B所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图1所示。图1因为O A B是边长为1的正三角形,所以点A12,32 ,B(1,0)。由此可得O P=(2-t)O A+t O B=1+12t,3-32t 。所以2A P=2O P-O A =t+1,3-3t ,所以|2A P|=t+1 2+3-3t 2=2t2-t+1=2t-12 2+34232=3(当且仅当t=12时取等号),所以|2A P|的最小值为3。应选A。求平面向量的模的两种方法:公 式 法,利 用|a|=aa及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量模的运算转化为数量积运算;坐标法,利用向 量 的 坐 标 运 算,即|a|=aa=x21+y21。题型3:求平面向量的夹角例3 (1)若|a|=2,|b|=2,且(a-b)a,则a与b的夹角是()。A.6 B.4C.3 D.5 1 2(2)若向量a=(1,k),b=(2,-1),且a+2b=a-2b,则a+b与b的夹角为()。A.3B.6C.4D.3 4解:(1)因为(a-b)a,所以(a-b)a=0,所以a2-ab=0,所以ab=2,所以c o s=ab|a|b|=22。因为0,所以=4。应选B。(2)由a+2b=a-2b,两边平方得ab=0。由ab=2-k=0,解得k=2,所以a+b=(3,1)。因为b=(2,-1),所以a+b与b的 夹 角 的 余 弦 值c o s=(a+b)b|a+b|b|=3 2-11 0 5=22。又0,所以a+b与b的夹角为4。应选C。求平面向量的夹角的两种 方 法:定 义 法,即c o s=ab|a|b|,解题时应求出ab,|a|,|b|的值或找 出 这 三 个 量 之 间 的 关 系;坐 标 法,即c o s=ab|a|b|=x1x2+y1y2x21+y21。两个向量垂直的充要条件:abab=0|a-b|=|a+b|(其中a0,b0)。作者单位:江苏省太仓市明德高级中学(责任编辑 郭正华)8 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 4年2月