图形与证明二教学案.docx

1.1等腰三角形的性质和判定（1） 学习目标 1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 重点、难点 等腰三角形的性质及其证明。 学习过程 一、知识回顾： 在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得吗？不妨回忆一下。 1、用的过程，叫做证明。经过称为定理。 2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？ （1）; （2）; （3）. 3、推理和证明的依据有哪几类？ 、。 4、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）。 此外，还有和也都看作是基本事实。 5、在八（下）的第十一章中，我们依据上述的基本事实，证明了哪些定理？你能一一列出来吗？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）。 二、情景创设： 以前，我们曾经学习过等腰三角形，你还记得吗？不妨我们来回忆一下下列几个问题： 1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义） 2、等腰三角形有哪些性质？；。 3、上述性质你是怎么得到的？（不妨动手操作做一做） 4、这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？ 。 三、探索活动： 1、合作与讨论 证明：等腰三角形的两个底角相等。2、思考与讨论 怎样证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理。 定理：，（简称：） 定理：，（简称：） 4、你能写出上面两个定理的符号语言吗？（请完成下表） 文学语言 图形 符号语言 等边对等角 在ABC中 ；。 三线合一 在ABC中，ABAC （1）BADCAD，。 （2）BDCD，。 （3）ADBC，。 5、思考与探索 如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？ 要求：（1）写出它的逆命题：。 （2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。6、通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定定理：。 四、体会与交流 1、在本节课中，我们用基本事实又证明了哪些定理。 （1）； （2）； （3）。 2、实际上，我们以前曾学习过很多图形的知识，（如：直角三角形全等，平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等）。对于这些图形，我们通过动手操作也得到了它们的性质和判定，在今后的学习中，我们将进一步证明它们的正确性。课题：1.1等腰三角形的性质和判定（2） 学习目标在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础上，探索等边三角形和其它相关知识的证明方法。 学习过程 一、知识回顾 上节课中，我们对等腰三角形的性质定理和判定定理进行了证明，请你写出这些定理。 等腰三角形性质定理：（1）； （2）。 等腰三角形判定定理：。 二、典例分析 1、已知：如图EAC是ABC的外角，AD平分EAC，且ADBC。求证：ABAC2、在上图中，如果ABAC，ADBC，那么AD平分EAC吗？如果结论成立，你能证明这个结论吗？ 3、在上图中，你还能得到其他的结论吗？与同学交流。三、思考与交流 1、证明：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写为“AAS”） 2、证明：（1）等边三角形的每个内角都等于60。 （2）3个内角都相等的三角形是等边三角形。3、证明：（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。（2）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 四、体会与交流 本节课，我们又证明了哪些定理？（请写出来）你掌握了吗？课题：1.2直角三角形的全等判定（1） 学习目标 掌握了直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明方法。 重点、难点 1、直角三角形的判定定理。2、直角三角形和其它相关知识的证明方法。 学习过程 一、知识回顾 我们已经学习过有关直角三角形的相关知识和全等三角形的判定方法，请你写出这些定理。直角三角形的定义：； 全等三角形判定定理：（1）。简写（ ） （2）。简写（ ） （3）。简写（ ） （4）。简写（ ） 二、情景创设： 1请大家要求作图：（同桌各作一个，别一个同学用 表示，以示区另，其它相同） 画PCQ 在射线CP上取线断CA4厘米， 画弧交射线CQ于B使AB5厘米。 连接AB 2请同桌之间所画直角三角形是否全等？ 由此得到什么结论？ 三、典例分析 1、证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（简写为“H L”） 已知，在ABC和ABC中，ACB=ACB=90，AB= AB，AC= AC，求证：ABCABC2.如图，在ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BDDE于D，CEDE于E （1）若BC在DE的同侧（如图）且AD=CE，说明：BAAC （2）若BC在DE的两侧（如图）其他条件不变，问AB与 AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由 三、思考与交流 在上面的图（2）中，如果BAC=30，那么BC= AB吗？并用文字语言叙述出来。四、随堂练习 如图，在ABC和ABD中，C=D=90，若利用“AAS”证明ABCABD，则需要加条件 _或 ； 若利用“HL”证明ABCABD，则需要加条件 或 1. 如图在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，且DEDF，求证ABC是等腰三角形。3 如图ADDB，BCCA，AC、BD相交于点O，如果ADBC，那么图中还有哪些相等的线断，请证明。（DBAC就不要证明了） 五、体会与交流 本节课，我们又证明了哪些定理？你掌握了吗？ 分解组合DDDDDDD将困难问题转化为可行性问题（转化思想）课题：1.2直角三角形的全等判定（2） 学习目标 运用直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明角平分线的性质和判定。 重点、难点1、角平分线的性质和判定。2、角平分线的性质和判定的证明和运用。 学习过程 一、知识回顾 我们已经学习过有关直角三角形全等的判定方法，请你写出这些定理。 直角三角形全等的判定定理： 定义：； （1）。简写（ ） （2）。简写（ ） （3）。简写（ ） （4）。简写（ ） （5）。简写（ ） 二、典例分析 1、证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 已知，OC是AOB的平分线，点P在OC上PDOA，PEOB，垂足分别为D、E，求证：PD=PE2、证明：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 已知，如图，PDOA，PEOB，垂足分别为D、E，且PD=PE，求证：点P在AOB的平分线上。三、思考与交流 1、“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。” 你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明吗？（反证法）2、如图，ABC的角平分线AD、BE相交于点O，点O到ABC各边的距离相等吗？点O在C的平分线上吗？定理：三角形的3条角平分线交于一点。 四、随堂练习 1、如图在ABC中，C=90度，点D在BC上，DE垂直平分AB，且DE=DC求B的度数。2、(2004四川)如图，已知点C是AOB平分线上一点，点P、P分别在边OA、OB上。如果要得到PO=OP ，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号 。 OCP= OCP ； OPC= OP C；PC=PC ；PP OC3、如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上五、体会与交流 本节课，我们又证明了哪些定理？你掌握了吗？课题：1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（1） 总 课时 第 5 课时 学习目标 1、会证明平行四边形的性质定理及其相关结论 2、能运用平行四边形的性质定理进行计算与证明 3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力 教学重、难点 重点：平行四边形的性质证明 表达格式的逻辑性 完整性 精炼性 难点：分析 综合 思考的方法 教学过程 一、情境创设 根据我们曾经探索得到的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，填写下表： 平行四边形 矩形 菱形 正方形 对边平行 对边相等 四边相等 对角相等 4个角是直角 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直 两条对角线平分两组对角 从上面的几种特殊四边形的性质中，你能说说它们之间有什么联系与区别吗？ 如图 ，图中有_个平行四边形。 二、合作交流 活动1、上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质？ 活动2、你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个？为什么? 活动3、证明定理“平行四边形对角线互相平分”。 已知，如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， 求证：AO=CO，BO=DO 由此证明过程，同时也证明了定理“平行四边形对边相等”、“平行四边形对角相等”，这样我们可得平行四边形的三条性质定理： 平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分。 三典型例题： 例1 ：已知：如图， ABCD中，E、F分别是DC、AB的中点。求证：AE=CF 若将例1中的“E、F分别是AD、BC的中点”改为“AE= AD，CF= BC”，是否还能得到同样的结论？例2、 证明“夹在两条平行线之间的平行线段相等” 分析：根据命题先画出相应图形，再由命题与所画图形写出已知、求证，最后根据已知条件写出证明过程。 例3如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交于AD点E 求证：(1)CDEFAE (2)当E是AD的中点，且BC=2CD时，求证：F=BCF点评： 平行四边形能带来平行线、等角，从而为得到比例线段、相似三角形创造了条件，也就为利用相似解决问题带来了方便. 四、小结： 1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。 2、是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。 3、平行线之间的距离处处相等。 课题：1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（2） 总 课时 第 6 课时 教学目标：1.使学生能应用矩形定义、性质等知识，解决有关问题,进一步培养学生的逻辑推理能力。 2. 能将矩形的判定定理和性质定理综合应用,激发学生的探索精神 教学重点：矩形的本质属性 教学难点：矩形性质定理的综合应用 教学过程： 一、知识回顾： 1、 _叫矩形，(八上P117)由此可见矩形是特殊的_因而它且有上节课我们证明过的平行四边形性质 _这三个性质 。 2、证明： 矩形的四个角都是直角 如图：已知_ 求证：_ 图形：画在下面方框内2、 证明 ： 矩形对角线相等 如图：已知_ 求证：_ 图形：画在下面方框内 二、探索活动： 如图 矩形ABCD，对角线相交于E，图中全等三角形有哪些？准备说说看。 将目光锁定在RtABC中，你能看到并想到它有什么特殊的性质 吗？现在我们借助于矩形来证明 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。”（如何证明？）例1 、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB.求证：AOB是等边三角形 本题若将“AC=2AB”改为“BOC=120”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？ 例2、如图 在矩形ABCD中，BE平分ABC，交CD于点E，点F在边BC上， 如果FEAE，求证FE=AE。如果FE=AE 你能证明FEAE吗？练习：1、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOD120，AB4cm，求矩形对角线的长？ 2、如图 BD，CE 是ABC的两条高，M是BC的中点，求证 ME=MD四、小结 从位置、形状、大小等不同的角度，观察和比较平行四边形、矩形的对角线把它们分成的三角形的异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质；反过来，我们又利用矩形的性质证明“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”。课题：1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（3） 总 课时 第 7 课时 教学目标 1、会归纳菱形的特性并进行证明；2、能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明 3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力，进一步体会证明的必要性 教学重、难点 重点：菱形的性质定理证明 难点：性质定理的运用 生活数学与理论数学的相互转化 教学过程： 一、 情境创设 1将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形?2探索。 请你作该菱形的对角线，探索菱形有哪些特征，并填空。 (从边、对角线入手。) (1)边：都相等； (2)对角线：互相垂直。 问题：你怎样发现的?又是怎样验证的?3概括。 菱形特征1：菱形的四条边都相等。 菱形特征2：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。 矩形与菱形的区别： 矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分；菱形的四条边都相等，对边平行，对角相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分它的一组对角。 4请你折折，观察并填空。 (1)菱形是不是中心对称图形?对称中心是_。 (2)是不是轴对称图形?对称轴有几条?_。 二、合作交流 问题一 观察平行四边形和菱形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？问题二 证明：菱形的4条边都相等。问题三 证明：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。练习： 已知菱形的两条对角线长分别为6和8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？（可得到边长为5；面积为24）你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗？如果有关，怎样根据菱形的对角线的计算它的面积？ 由此可得：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的面积。 三、典例分析 例 1、 如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间 的距离(比如AC两点可以自由上下活动)，若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间 的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？ 例2、 已知：如图，四边形ABCD是菱形，G是AB上任一点，DF交AC于点E。 求证：AGD=CBE四、体会与交流： 菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解决菱形问题，常常可以转化为等腰三角形或直角三角形问题。 课题：1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（4） 总 课时 第 8 课时 教学目标1、会归纳正方形的特性并进行证明；2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明；3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；4、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系教学重、难点 重点：经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力 难点：有条理地、清晰地阐述自己的观点 教学过程： 一、情境创设 这是一个流传在世界各地的故事，三姐妹的父亲是一位慈祥的阿拉伯老人。一天，老人不幸去世，临终，老人留给三个女儿一件珍贵的传家宝一块五色斑斓的正方形地毯，深爱父亲的女儿们都想得这块地毯，以作纪念。大姐想出了一个好办法：“把它裁成三个小正方形地毯，为了不使地毯剪得过于零碎，最好只剪成4块，其中两块是正方形，另外两块可以拼成一个正方形。”聪明的你能想出一个巧妙的剪法，符合大姐的设想吗？ 二、合作交流 探索正方形的性质 （1）边的性质： ； （2）角的性质： ； （3）对角线的性质： ； （4）对称性： 。 三、典例分析 例1、 已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O；正方形ABCD的顶点A与点O重合，AB交BC于点E，AD交CD于点F，E是BC的中点。 （1）求证：F是CD的中点 （2）若正方形ABCD绕点O任意旋转某个角度后，OE=OF吗？练习 ：如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ） A cm2 B cm2 C cm2 D cm2例2、已知，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，FAEBAE. 求证：AFBC+FC. 例3、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。例4、已知正方形ABCD。 （1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BEGH； （2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，EF与GH相等吗？请写出你的结论； （3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线分别交于点E、F，n与AB、DC的延长线分别交于点G、H，试就该图对你的结论加以证明。 四、小结 （1） 正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如下图。（请填写它们之间的关系） （2）正方形的性质：正方形对边平行；正方形四边相等；正方形四个角都是直角。 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对 （3）本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从特殊情形逐步推广到一般的情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种重要的思想方法。20 20