垂直于弦的直径.docx

垂直于弦的直径------垂径定理
【教学内容】 垂径定理
【教学目标】
1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法――过圆心作一条与弦垂直的线段。
2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；
②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；
②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
【教学重点】垂径定理及其应用。
【教学难点】垂径定理的证明。
【教学方法】探究发现法。
【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。
【教学设计】
一复习提问
1 放映幻灯片，请同学们观察几幅图片，看他们有什么共同特点？
2那么圆具有这样的特点吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．
3（老师点评）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径．
4板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
二、实例导入，激疑引趣
1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课・茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦AB的距离，
也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图1幻灯片放映）
三、尝试诱导，发现定理
（一）学生活动
1让学生将准备好的一张圆形纸片按下列条件操作；教师用电脑演示重叠的过程。
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
2教师用电脑演示重叠的过程。
提问：（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由．

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⌒

（2）AE=BE，AD=BD AC=BC
（二）引导探究，证明定理
1．引导证明：
引导学生从以下两方面寻找证明思路。
①证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明。
②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。
2．归纳定理：
根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。
（板书）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．巩固定理：

A
D

A
B
C
C
E
A
B
O
E
B
C
O
C
C
E

E
A
B
E
B
A
B
A
D

D
D

向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。
四、例题示范，变式练习
1．运用定理解决赵州桥的问题。
〖例1〗 导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦AB的距离，

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O
D
A
C
R
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在图中AB=37.4，CD=7.2

B

OD=OC-CD=R-7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即 R2=18.72+（R－7.2）2
解得：R≈27．9（m）
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.

E
B
A

解

答：⊙O的半径为5cm.
五 小结
请大家围绕以下两个问题小结本节课
① 学习了一个与圆有关的重要定理，定 理的内容是什么？
② 在圆中解决与弦有关问题时经常做的辅助线是什么？
归纳：
1.垂径定理相当于说一条直线如果具备
（1）过圆心；
（2）垂直于弦
则它有以下性质
（1）平分弦；
（2）平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧.
2.在圆中解决有关弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
六 作业
1教材88页练习1，2题
2教材95页习题24.1 7、8、9；

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