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对高三数学复习资料的使用的思考

进入高三复习时,各校都有一本专门的复习资料,但这些资料都有些共同的缺陷:
1.针对性不强.一方面未针对各校的学生实际,例习题的选择多数集中在中档题或难题,不利于学生基础知识的复习，而事实上，不论优生还是学困生扎实的基础都是其进一步学习的前提;另一方面,不会考虑到教师的个人教学风格，教学是一项有着鲜明的个人色彩的工作，对知识点、知识体系的处理方式，往往是各俱千秋的。
2.知识体系较弱.一方面，各种复习资料都是按高一高二的教学进程安排的,很少考虑各章节知识之间的结构整合.
比如,“函数”复习中导数知识的工具价值,在各资料中体现得就很不足;
例：（06天津）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，记，若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
在各资料中，本题是做为“二次型”函数讲解的，但事实上这种方法很繁琐而且不易想清楚，若用导数思路就清晰简单了许多。
同时，“函数与导数、数列、不等式”这三章的知识是层层深入的，应作为一个整体依次复习下去，而不该按教材的顺序复习。
再如，“平面向量与立体几何”的知识递进关系。这是二维到三维递进学习，复习时就不宜分割开。
另一方面，对章节内的知识体系，各复习资料因为篇幅的原因一般顾及不全。比如，直线与圆锥曲线的关系问题，应包括位置判定、弦长（焦点弦公式、一般弦长公式）、弦上点（中点和一般分点）三个方面，再加上各问题处理技巧，远非一讲所能完成。
3。训练的数量与质量有一定缺陷。在数量上，因篇幅的原因，显然是不足于应对高考的，需要教师给予一定量的补充；在质量上，因出版时间的限制，未能及时跟踪最新的高考动态，更需要教师及时弥补。
4。不便于学生独立思考。一般的复习资料在例题后便附有解答，学生还未思考还未找到自己出错的原因，就已经被答案牵着鼻子走了。因而，学生只是知道了一个题目是怎样解出来的，但无法明白这个题目为什么要如此解，也就是说学生在复习后可能仍不具有“解题能力”，这显然是学数学的致命弱点了。
例：（06江苏）求函数的值域。
解答：由原式，，则
学生会很容易明白其解答，然而问题是这个解答是如何想到的？事实上，函数的值域问题从本质而言就是研究函数的单调性，那么如何研究？其思考方式是：“能由表达式直接观察单调性吗？能换元或变形化为基本初等函数吗？能用导数吗？”
本题不能直接观察到单调性，因而考虑根式的变形技巧，就有了如上的解法；若从导数考虑，同样可以解得。
例：求函数的值域。
解答:方法1、根式有理化 为增函数，
方法2、取导数，则原函数为增函数，
从而，
正是基于此，我们认为在高三复习时，应该组织高三教师分章节，根据本届学生实际，吸取各复习资料的优点，重新编写本年级的复习讲义。
编写前准备工作如下：
1。各章节分配给组内教师，承担任务的教师专门研究本章的考点、解题方法与思想、高考动态。
2。讲义编写前组内教师集体研讨，包括：
（1）教学大纲 ①考纲解读 ②知识内容与能力层次双向细目表
（2）复习重点与难点
（3）知识体系重构
（4）各讲知识的基本题型
（5）方法体系构建
3。预设教学弥补措施，包括课堂基础练习、课后巩固练习、周检测练习、单元综合练习。
当然，每个教师在使用的过程中，还需根据本班学生实际和自身的教学习惯合理增删。
具体教学中，还应注意把握好“三不四需”。
“三不”：
1．不只罗列知识清单，还应对核心知识的形成过程给予复习。在现有的各种复习资料中，因篇幅所限，只能罗列知识点，对知识点之间的联系和知识点的来龙去脉解释较少。然而我们知道，理解“知识的形成”显然比“记住知识”更有益，各种数学思想与方法本来就是在知识的形成的过程中习得的。事实上，要做好这项工作，就是做到回归教材。
比如数列求和中的倒序相加和错位相减，其原理的含义，原理的适用条件，原理的使用方法均来源于等差等比的求和方法。因而，就应在此时与学生共同复习公式的推导方法。
再如函数周期性的复习，就应关注两个“形成”：（1）怎样从平移的角度理解周期的概念；(2) 双对称函数为什么会有周期？

2．不把例题变成对解题方法的对号解释。高三复习时，我们的重心往往会不自觉地偏向于方法与技巧的讲解，而忽视对学生进行“数学思考”的引导。比如值域问题就有这样的现象：对各种方法举几个例子，让学生演练从而记住。这种做法会有一个很大的缺陷，就是会使学生的头脑中只有“题型”，而难以适应“变型”。所以，我以为例题的讲解应从“如何解题”这一角度入手，不仅讲透方法与技巧，更要教学生“如何去寻找一个问题的合适的解决方案”，也就是数学思想的感悟。
现在，专家对数学提出四基“基本知识、基本技能、基本思想与方法、基本数学感悟”。对前“三基”教师一般都很重视，对“第四基”往往比较忽视。应该说，引导学生进行“数学地思考”就是在帮助学生获得“数学感悟”。
仍看求值域问题。学生的困难不是记不住那些方法，而是不知道什么时候选用那种方法。我们认为可以从“什么因素决定了值域”这一角度出发，对各种具体的方法重新解读。
（附）值域求解的思考方法： 函数的思想
寻找单调性（1）化为基本初等函数
（2）利用导数
方程的观点
把函数y=f(x)看作关于x的方程（如别式法）
数形结合的思想

利用均值不等式
一．函数的思想：即寻找函数的单调性，一般可从两个角度考虑。
1．换元或变形化为基本函数，从而明确单调性
常见的有（1）化为二次函数型：如
（2）化为一次（二次）分式函数型：如，
（3）化为三角函数型：
如，的常数），可设；
（4）形如：的值域）
2．直接确定函数单调性：这就需要掌握单调性的判定方法（图象法、定义法、复合函数法、导数法）
如，函数的值域是 （观察可知为定义域上增函数）
函数的值域是 （取导数判断单调性）
解题思路：“能由表达式直接观察单调性吗？能换元或变形化为基本初等函数吗？能用导数吗？”
二．方程的观点：使关于x的方程有解的y的取值范围
常见的有（1）（判别式法）形如不同时为零）的函数值域；
（注意：函数定义域应为自然定义域；分子、分母无公因式）
（2）形如：的值域
的值域
（事实上，反函数法也就是此思想，但就本质而言，反函数法是不成立的。因为在不知函数的单调性前，是无法使用此法的；而知道单调性时，已可用函数思想解题了）
解题思路：能确定出关于x的方程有解的条件吗？
三．均值不等式法：多用于二元函数的最值问题。
利用基本不等式，
解题思路：一正，二定值，三相等。
四．数形结合法：当一个函数图形可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何含义，借助于几何方法求出函数值域。比如，解析几何中的线性规划问题；某些二元函数的最值问题。
如，（1）已知 则的最小值是_____________.

（2）实系数方程的一个根大于0且小于1，另一个大于1且小于2，
则的范围

解题思路：题设、目标的数学符号语言能转换为图象语言吗？
再如等差列的前n项和的最值问题。常用的几种方法是不难被记住的，然而面对一个最值问题时，是否能选择出最佳的方法？没有“数学思考”，恐难做到。
（附）Sn 最值求法：（1）最值定义：单峰列
（2）Sn最值Sn单调性
3．不轻视基础题的训练，而把“基础过关”作为最重要的增分点。各种复习资料配备的课后作业，多数选自往年的高考模拟题，综合性较好，然而在“基础过关”方面尚有不足。所以，应在资料外加大基础题的训练，具体可包括：课堂基础训练，周客观题训练，周综合题训练，单元训练，本章高考题选练。
“四需”：
1.需要根据学生的实际删加例题。没有哪一本资料是可以原样照用的，学生的现状就是例题取舍的标准。这里同时还应注意（1）为优生准备基础题，并不会降低优生的水平。（2）尽量不选解法没有通性的题。
2．需要根据学生得分的现状删加训练题。这实际就是分层教学的要求了，尽管在课堂教学上很难做到，但在练习上是可以做到的。我们为此把各项训练分成三个层次（基础题、中档题、提高题），从而让每一个学生在自己的得分能力内尽量不丢分。
3．需要根据高考题的变化补充讲解内容。高考是有考纲可遵循，但又有大量擦边的知识被考察。比如对称性与周期的关系、二阶导数与凸凹性、递推数列求解技巧、二次方程根的分布等知识，考纲中没有但的确又常在考。这些内容就应该有计划地加以补充。

4．需要根据知识的体系化的要求重新编排复习内容。高三的复习不是重复，而是重新整合。这样才能对学生综合能力和数学素养的提高提供帮助。
数学学习是在“学什么”？不该只重视“知识”,还要重视“数学模块”。数学家与一般数学学习者的差别在于：前者头脑中的知识是“模块化”的，而后者头脑中的知识是“孤点化”的。
我们认为这种“整合”可以有三个方面的考虑：
(1)章节间的整合。比如导数，函数,不等式,数列,三角函数是函数体系中的内容；向量与立体几何是关联的；当然,不是要打破章节体系进行专题式的综合复习,那是第二轮复习的工作,而是在复习顺序以及例习题的选配上做出体系化的考虑.
(2)章节内知识点的整合。比如导数，单调性，值域这三项内容就可以以单调性为核心整合在一起。复习好知识点只是第一步，更重要的工作是把知识点融合成知识“模块”。解题能力的高低不取决于所记住的知识点的多寡，而在于是否找到并有效提取了相应的知识“模块”。
（3）数学方法的整合，从而把数学方法上升为“数学思考”。方法是操作层面的，能够有效使用的前提是你知道了这个问题适用这个方法，然而怎样选到最适用的？就需要我们教师对一类问题的各种方法给与整合，教会学生怎样去选择，也即进行“数学思考”。
比如，轨迹问题就有很多的方法，复习资料上通常是清单式讲解。然而，细致分析，其思想只有两个即直接法和参数法。直接法就是寻找曲线上点p（x,y）的代数方程f(x,y)=0；参数法就是寻找曲线上点p（x,y）依赖于参数t而变化的关系式f(x,y,t)=0和g(x,y,t)=0。我们常说的相关点法和交轨法，其本质就是参数思想。
总之，学生，教师，资料，环境相互影响着，没有最好的复习方法，只有不断思考中正在改进的方法。

2007年9月10