关于圆的切线的各种定理.doc

切线的判定定理
　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何语言： ∵l ⊥OA，点A在⊙O上
　　 ∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）

切线的性质定理
　　圆的切线垂直于经过切点的半径
　　几何语言： ∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A
　 　∴l ⊥OA（切线性质定理）
　　 推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
　　几何语言： ∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点
　　 ∴PA=PB，∠APO=∠BPO（切线长定理）
　　证明：连结OA、OB
　　∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点
　　∴OA⊥AP、OB⊥PB
　　∴∠OAP=∠OBP=90°
　　在△OPA和△OPB中：
　　∠OAP=∠OBP
　　OP=OP
　　OA=OB=r
　　∴△OPA≌△OPB（HL）
　　∴PA=PB，∠APO=∠BPO

弦切角概念
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：
　　（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；
　　（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；
　　（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可
（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．

弦切角定理
弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)对的圆周角等于所夹的弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角 [注，由于网上找得的图不是很完整，图中没有连结OC]
几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC
∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理）

推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
　　几何语言：∵∠1所夹的是弧MN ，∠2所夹的是PQ ，弧MN =弧PQ
∴∠1=∠2
　　证明：作AD⊥EC
　　∵∠ADC=90°
　　∴∠ACD+∠CAD=90°
　　∵ED与⊙O切于点C
　　∴OC⊥ED
　　∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°
　　∴∠OCA=∠CAD
　　∵OC=OA=r
　　∴∠OCA=∠OAC
　　∴∠COA=180°-∠OCA-∠OAC=180°-2∠CAD
　　又∵∠ACD=90°-∠CAD
　　∴∠ACDC=1/2∠COA
　　∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数

切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。