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§11．1 常数项级数的概念和性质
§ 11. 3 幂 级 数
一、函数项级数的概念
函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{un(x)}, 由这函数列构成的表达式
u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x)+ × × ×
称为定义在区间I上的(函数项)级数, 记为.
收敛点与发散点:
对于区间I内的一定点x0, 若常数项级数收敛, 则称
点x0是级数的收敛点. 若常数项级数发散, 则称
点x0是级数的发散点.
收敛域与发散域:
函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所
有发散点的全体称为它的发散域.
和函数:
在收敛域上, 函数项级数的和是x的函数s(x),
s(x)称为函数项级数的和函数, 并写成.
∑un(x)是的简便记法, 以下不再重述.
在收敛域上, 函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x),
s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数, 并写成s(x)=∑un(x).
这函数的定义就是级数的收敛域,
部分和:
函数项级数的前n项的部分和记作sn(x),
函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x), 即
sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x).
在收敛域上有或sn(x)®s(x)(n®¥) .
余项:
函数项级数的和函数s(x)与部分和sn(x)的差
rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函数项级数的余项.
函数项级数∑un(x)的余项记为rn (x), 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x).
在收敛域上有.
二、幂级数及其收敛性
幂级数:
函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数
项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是
a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn+ × × × ,
其中常数a0, a1, a2, × × × , an , × × ×叫做幂级数的系数.
幂级数的例子:
1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × × ,
.
注: 幂级数的一般形式是
a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ × × × +an(x-x0)n+ × × × ,
经变换t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ × × × +antn+ × × × .
幂级数
1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × ×
可以看成是公比为x的几何级数. 当|x|<1时它是收敛的; 当|x|³1时, 它是发散的. 因此它的收敛
域为(-1, 1), 在收敛域内有
.
定理1 (阿贝尔定理) 如果级数当x=x0 (x0¹0)时收敛, 则适合不等式
|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数当
x=x0时发散, 则适合不等式|x|>|x0|的一切x使这幂级数发散.
定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑anxn当x=x0 (x0¹0)时收敛, 则适合不等式
|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑anxn当
x=x0时发散, 则适合不等式|x|>|x0|的一切x使这幂级数发散.
提示: ∑anxn是的简记形式.
证 先设x0是幂级数的收敛点, 即级数收敛. 根据级数收敛的必要条件, 有, 于是存在一个常数M, 使
| anx0n |£M(n=0, 1, 2, × × ×).
这样级数的的一般项的绝对值
.
因为当|x|<|x0|时, 等比级数收敛, 所以级数收敛, 也就是级数绝对收敛.
简要证明 设∑anxn在点x0收敛, 则有anx0n®0(n®¥) , 于是数列{anx0n}有界, 即存在一个常数M, 使| anx0n |£M(n=0, 1, 2, × × ×).
因为 ,
而当时, 等比级数收敛, 所以级数∑|anxn|收敛, 也就是级数∑anxn绝对收敛.

定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x=x0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x=x0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.
推论 如果级数不是仅在点x=0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R存在, 使得
当|x|<R时, 幂级数绝对收敛;
当|x|>R时, 幂级数发散;
当x=R与x=-R时, 幂级数可能收敛也可能发散.

收敛半径与收敛区间: 正数通常叫做幂级数的收敛半径. 开区间(-R, R)叫做幂级数的收敛区间. 再由幂级数在x=±R处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数的收敛域是(-R, R)(或[-R, R)、(-R, R]、[-R, R]之一.
规定: 若幂级数只在x=0收敛, 则规定收敛半径R=0 , 若幂级数对一切x都收敛, 则规定收敛半径R=+¥, 这时收敛域为(-¥, +¥).
定理2
如果, 其中an、an+1是幂级数的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径
.
定理2
如果幂级数系数满足, 则这幂级数的收敛半径
.
定理2
如果, 则幂级数的收敛半径R为:
当r¹0时, 当r=0时R=+¥, 当r=+¥时R=0.
简要证明: .
(1)如果0<r<+¥, 则只当r|x|<1时幂级数收敛, 故.
(2)如果r=0, 则幂级数总是收敛的, 故R=+¥.
(3)如果r=+¥, 则只当x=0时幂级数收敛, 故R=0.
例1 求幂级数

的收敛半径与收敛域.
例1 求幂级数的收敛半径与收敛域.
解 因为,
所以收敛半径为.
当x=1时, 幂级数成为, 是收敛的;
当x=-1时, 幂级数成为, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].
例2 求幂级数

的收敛域.
例2 求幂级数的收敛域.
解 因为,
所以收敛半径为R=+¥, 从而收敛域为(-¥, +¥).
例3 求幂级数的收敛半径.
解 因为
,
所以收敛半径为R=0, 即级数仅在x=0处收敛.
例4 求幂级数的收敛半径.
解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径:
幂级数的一般项记为.
因为 ,
当4|x|2<1即时级数收敛; 当4|x|2>1即时级数发散, 所以收敛半径为.
提示: .
例5 求幂级数的收敛域.
解 令t=x-1, 上述级数变为.
因为 ,
所以收敛半径R=2.
当t=2时, 级数成为, 此级数发散; 当t=-2时, 级数成为, 此级数收敛. 因此级数的收敛域为-2£t<2. 因为-2£x-1<2, 即-1£x<3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3).
三、幂级数的运算
设幂级数及分别在区间(-R, R)及(-R¢, R¢)内收敛, 则在(-R, R)与(-R¢, R¢)中较小的区间内有
加法: ,
减法: ,
设幂级数∑anxn及∑bnxn分别在区间(-R, R)及(-R¢, R¢)内收敛, 则在(-R, R)与(-R¢, R¢)中较小的区间内有
加法: ∑anxn+∑bnxn =∑(an+bn)xn ,
减法: ∑anxn-∑bnxn =∑(an-bn)xn .

乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ × × ×
+(a0bn+a1bn-1+ × × × +anb0)xn+ × × ×
性质1 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续.
如果幂级数在x=R (或x=-R)也收敛, 则和函数s(x)在(-R, R](或[-R, R))连续.
性质2 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积, 并且有逐项积分公式
(xÎI ),
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.
性质3 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(-R, R)内可导, 并且有逐项求导公式
(|x|<R),
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.
性质1 幂级数∑anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续.
性质2 幂级数∑anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积, 并且有逐项积分公式
(xÎI ),
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.
性质3 幂级数∑anxn的和函数s(x)在其收敛区间(-R, R)内可导, 并且有逐项求导公式
(|x|<R),
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.

例6 求幂级数的和函数.
解 求得幂级数的收敛域为[-1, 1).
设和函数为s(x), 即, xÎ[-1, 1). 显然s(0)=1.
在的两边求导得
.
对上式从0到x积分, 得
.
于是, 当x ¹0时, 有. 从而.
因为
,
所以, 当x¹0时, 有,
从而 .

例6 求幂级数的和函数.
解 求得幂级数的收敛域为[-1, 1).
设幂级数的和函数为s(x), 即, xÎ[-1, 1).
显然S(0)=1. 因为

,
所以, 当时, 有.
从而 .
由和函数在收敛域上的连续性, .
综合起来得.
提示: 应用公式, 即.
.

例7 求级数的和.
解 考虑幂级数, 此级数在[-1, 1)上收敛, 设其和
函数为s(x), 则.
在例6中已得到xs(x)=ln(1-x), 于是-s(-1)=ln2, , 即.

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