求轨迹的几种求法.ppt

1.2.三、定三、定义法法分析分析题设几何条件，根据几何条件，根据所学所学曲曲线的定的定义，判断判断轨迹是何种迹是何种类型的曲型的曲线，直接求出，直接求出该曲曲线的方程的方程.3.椭圆的定的定义：双曲双曲线的定的定义：抛物抛物线的定的定义：圆的定的定义：|PC|=r(r0)|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)|PF1|-|PF2|=2a(0 2a|F1F2|)|PF|=dP-l(F l)4.由由题设条件，根据条件，根据圆锥曲曲线的定的定义确定曲确定曲线的形状后，直接写出曲的形状后，直接写出曲线的方程的方程一、定一、定义法求法求轨迹方程的特征迹方程的特征二、二、“定定义法法”求求轨迹迹方程的一般步方程的一般步骤一一 建建轴设点点二二 定定型型三三 定定 方方 程程四四 定定 范范 围5.：定：定义法法6.例例2已知已知B，C是两个定点，是两个定点，|BC|8，且且ABC的周的周长等于等于18，求求这个三角形的个三角形的顶点点A的的轨迹方程迹方程7.练习：知三角形ABC的一边 BC 长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程答：答：14已8.ACOyxO1O2M练习：已知两已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在在圆C1内部且和内部且和圆C1内切，和内切，和圆C2外切，外切，求求动圆圆心的心的轨迹方程迹方程9.ABSSABSAB探索与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动圆圆心到两定点的距离的和与差不放。C10.CP例3：变式2：169相相rr13-rM5/27/202411.1 1、如、如图，圆C C：(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=9=9内一点内一点A(1A(1，0)0)，与，与圆 上一上一动点点Q Q的的连线AQAQ的垂直平分的垂直平分线交交CQCQ于于P P当当Q Q在在圆C C上运上运动一周一周时，则动点点P P的的轨迹方程迹方程为_Cy xAQP问题2 212.OxyQ QPF1F2问题2 22 2、已知、已知椭圆的焦点是的焦点是F F1 1、F F2 2，P P是是椭圆上的一上的一个个动点，如果延点，如果延长F F1 1P P到到Q Q，使得，使得|PQ|=|PF|PQ|=|PF2 2|，那么，那么动点点Q Q的的轨迹是迹是 （）(A)(A)圆 (B)(B)椭圆 (C)(C)双曲双曲线的一支的一支 (D)(D)抛物抛物线13.【探究【探究1】如】如图,已知已知线段段AB=4,动圆O与与线段段AB切切于点于点C,且且AC-BC=2 ,过点点A B分分别作作 O的切的切线,两切两切线相交于相交于P,且且P O均在均在AB同同侧,建立适当坐建立适当坐标系系,当当O位置位置变化化时,求求动点点P的的轨迹迹E的方程的方程.14.【解析】以【解析】以AB的中点的中点O为坐坐标原点原点,以以AB所在直所在直线为x轴建立直角坐建立直角坐标系系(图略略),则A(-2,0),B(2,0).由切由切线长定理可得定理可得|AC|-|BC|=|PA|-|PB|=2 ).15.想一想想一想:问题1 1：一：一动圆与与圆O O1 1：(x+3)(x+3)2 2+y+y2 2=4=4外切，外切，同同时与与圆O O2 2：(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=9=9内切，求内切，求动圆圆心心的的轨迹方程，并迹方程，并说明它是什么明它是什么类型的曲型的曲线在两定在两定圆不不动的前提下，适当改的前提下，适当改变其他条件其他条件使使动圆圆心形成新的心形成新的轨迹？迹？16.已知已知圆A：(x+2)2+y2=1与点与点A（-2，0），），B（2，0），），分分别求出求出满足下列条件的足下列条件的动点点P的的轨迹方程迹方程.（1）PAB的周的周长为10;（2）圆P与与圆A外切，且点外切，且点B在在动圆P上（上（P为动圆圆心）心）;（3）圆P与与圆A外切且与直外切且与直线x=1相切（相切（P为动圆圆心）心）.【例例题3】17.【解析解析】(1)(1)根据根据题意，知意，知|PA|+|PB|+|AB|=10|PA|+|PB|+|AB|=10，即即|PA|+|PB|=6|PA|+|PB|=64=|AB|4=|AB|，故，故P P点的点的轨迹是迹是椭圆，且且2a=62a=6，2c=42c=4，即，即a=3a=3，c=2c=2，b=b=，因此其方程因此其方程为 （y0y0）.（2 2）设圆P P的半径的半径为r r，则|PA|=r+1|PA|=r+1，|PB|=r|PB|=r，因此因此|PA|-|PB|=1.|PA|-|PB|=1.由双曲由双曲线的定的定义知，知，P P点的点的轨迹迹为双曲双曲线的右支的右支，且且2a=12a=1，2c=42c=4，即，即a=a=,c=2,b=,c=2,b=，因此其方程因此其方程为18.（3）依）依题意，知意，知动点点P到定点到定点A的距离等于的距离等于 到定直到定直线x=2的距离，故其的距离，故其轨迹迹为抛物抛物线，且开口向左，且开口向左，p=4.方程方程为y2=-8x.19.1.动点点P到定点到定点(-1，0)的距离与到点的距离与到点(1，0)距离之差距离之差为2，则P点的点的轨迹方程是迹方程是_.2.3.【练习3】20.【练习3】第第3题21.【练习3】第第3题-变式式1622.16【练习3】第第3题-变式式23.8.(能力能力题,中中)设Q是是圆C:(x+1)2+y2=16上的上的动点点,另有另有A(1,0),线段段AQ的垂直平分的垂直平分线交直交直线CQ于点于点P,当点当点Q在在圆上运上运动时,点点P的的轨迹方迹方程是程是_.24.解析解析:设P(x,y),点点P是是线段段AQ垂直平分垂直平分线上的一点上的一点,|PA|=|PQ|,|PA|+|PC|=|PC|+|PQ|=42,点点P的的轨迹是以点迹是以点A C为焦点的焦点的椭圆,且且a=2,c=1,b2=3,点点P的的轨迹方程迹方程为 .25.方法：利用双曲线的定义求轨迹方程26.27.题目中的条件有明目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平的等量关系，或者可以利用平面几何知面几何知识推出等量关系，列出含推出等量关系，列出含动点点P（x,y）的解析式的解析式.一、直接法一、直接法28.例例3如如图，设点点A、B的坐的坐标分分别为(-5,0)，(5,0).直直线AM,BM相交于点相交于点M，且它，且它们的斜率之的斜率之积为 ,求求M的的轨迹方程迹方程.ABMyOx方法方法3：直接法：直接法29.30.31.【例例题1 1】它它它它表表表表示示示示何何何何种种种种曲曲曲曲线线呢呢呢呢？32.2.与与圆x2+y2-4x=0外切，且与外切，且与y轴相切的相切的动圆圆心心 的的轨迹方程是迹方程是_.y2=8x(x0)或或y=0(x0)1.已知一曲已知一曲线是与两个定点是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比距离的比为 1:2的点的的点的轨迹迹,则此曲此曲线的方程是的方程是_.PABxyo解：解：设动圆圆心心为P(x,y).由由题，得，得即即 -4x+y2=4|x|得得动圆圆心的心的轨迹方程迹方程为 y=0(x0)【练习】33.9.(经典典题,中中)ABC的的顶点点B(-1,0),C(2,0)若若 ACB=2 ABC,则顶点点A的的轨迹方程迹方程为_.34.35.36.二、待定系数法二、待定系数法题目已知曲目已知曲线类型型,正确正确设出曲出曲线的的标准方程准方程,然后然后结合合问题的条件的条件,建立参数建立参数a,b,c,p 满足的足的等式等式,求得其求得其值,再代入所再代入所设方程方程.37.1、已知抛物、已知抛物线的的顶点在原点，点在原点，对称称轴是是y轴，且，且经过点点P（-6，-3），），则抛物抛物线方程方程为_【练习2】38.39.四、代入法（相关点法）四、代入法（相关点法）当所求当所求动点点P的运的运动很明很明显地依地依赖于一已知曲于一已知曲线上的上的动点点Q的运的运动时，可利用，可利用代入法代入法，其关，其关键是是找出两找出两动点的坐点的坐标的关系。的关系。设所求所求动点点 P坐坐标(x,y)，再，再设与与P相关的已相关的已知点坐知点坐标为Q(x0,y0)，找出，找出P.Q之之间的坐的坐标关系，关系，并表示并表示为x0=f(x),y0=f(y)，根据点，根据点Q的运的运动规律得律得出关于出关于x0,y0的关系式的关系式,把把x0=f(x),y0=f(y)代入关系式代入关系式中中,即得所求即得所求轨迹方程迹方程.40.讲授新授新课例例1.yx41.例例2、如、如图，在，在圆 上任取一点上任取一点P，过点点P作作x轴的垂的垂线段段PD，D为垂足。当点垂足。当点P在在圆上运上运动时，线段段PD的中点的中点M的的轨迹是什么？迹是什么？为什么？什么？分析：点分析：点P在在圆 上运上运动，点，点P的运的运动引引 起点起点M运运动。解：解：设点点M的坐的坐标为(x,y)，点，点P的坐的坐标为(x0,y0)，则 x=x0,y=y0/2.因因为点点P(x0,y0)在在圆 上，所以上，所以把把x0=x,y0=2y代入方程代入方程(1)，得，得即即 所以点所以点M的的轨迹是一个迹是一个椭圆。42.此法此法实际上是利用中上是利用中间变量量x0,y0求求轨迹方程迹方程【例例题4】43.【练习4】44.45.五、参数法五、参数法如果如果轨迹迹动点点P（x，y）的坐）的坐标之之间的关系不易找的关系不易找到，也没有相关点可用到，也没有相关点可用时，可先考，可先考虑将将x、y用一用一个或几个参数来表示，消去参数得个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程迹方程.参数参数法中常法中常选角、斜率等角、斜率等为参数参数.46.【例例题5】解：解：设动直直线方程方程为：y=x+b，和和椭圆方程方程联立得：立得：x2+4y2-4x=0 y=x+b 5x2+8bx-4x+4b2=0设中点中点M（x，y），），则 x=（x1+x2)/2=(2-4b)/5,与与联立消去参数立消去参数b，得：得：x+4y-2=0（椭圆内的一段）内的一段）倾斜角斜角为45450 0的直的直线与与椭圆 交交于于A A、B B两点，求两点，求ABAB中点的中点的轨迹方程。迹方程。xyoAB47.【练习5】1.过原点的直原点的直线与与椭圆 相交，相交，求求弦中点的弦中点的轨迹方程。迹方程。2.如如图,过点点A(-3,0)的的直直线l与与曲曲线C：x2+2y2=4交交于于A,B两两点点.作作平平行行四四边形形OBPC，求点，求点P的的轨迹。迹。AoxyBCPoxyMA48.【练习5】解：解：设OA斜率斜率为k（kR），），由由 y=kx x2+4y2-4x=0 得：（得：（1+4k2）x2-4x=0设中点中点M（x，y），），则 x=（x1+x2）/2=2/（1+4k2）k=y/x 消参数得：消参数得：x2+4y2-2x=01.1.过原点的直原点的直线与与椭圆 相交，相交，求求弦中点的弦中点的轨迹迹方程。方程。oxyMA49.2.如如图,过点点A(-3,0)的的直直线l与与曲曲线C：x2+2y2=4交交于于A,B两点两点.作平行四作平行四边形形OBPC，求点，求点P的的轨迹。迹。AoxyBCPG解法一解法一：利用韦达定理解法二解法二：点差法 连PO交CB于G.设P(x,y),G(x0,y0),C(x1,y1),B(x2,y2),则x12+2y12=4x22+2y22=4作差，得(x2-x1)(x2+x1)+(y2-y1)(y2+y1)=0即x0+y0k=0又k=解得，x0=y0=x=y=因此消去k,得(x+3)2+y2=9故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆.?【练习5】50.51.52.53.当直当直线l的斜率不存在的斜率不存在时,A B的中点坐的中点坐标为原点原点(0,0),也也满足方程足方程,所以点所以点P的的轨迹方程迹方程为4x2+y2-y=0.54.直接法直接法当当动点所点所满足的几何条件能直接用其坐足的几何条件能直接用其坐标代入代入时,可用可用直接法直接法.待定系数法待定系数法已知曲已知曲线的的类型和位置型和位置,可可设出曲出曲线方程方程,利用利用待定待定系数法系数法求解求解.定定义法法分析分析题设几何条件，根据几何条件，根据圆锥曲曲线的定的定义，判断，判断轨迹是何种迹是何种类型的曲型的曲线，直接求出，直接求出该曲曲线的方程的方程.代入法代入法(相关点法相关点法)当所求当所求动点的运点的运动很明很明显地依地依赖于一已知曲于一已知曲线上的上的动点的运点的运动时,可利用可利用代入法代入法,其关其关键是找出两是找出两动点点的坐的坐标的关系的关系,这要充分利用要充分利用题中的几何条件中的几何条件.参数法参数法如果如果轨迹迹动点点P P（x，y）的坐）的坐标之之间的关系不易找的关系不易找到，也没有相关点可用到，也没有相关点可用时，可先考，可先考虑将将x、y用一个用一个或几个参数来表示，消去参数得或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程迹方程.参数法参数法中常中常选角、斜率等角、斜率等为参数参数.总结一、求一、求动点的点的轨迹方程的常用方法迹方程的常用方法55.谢谢指导!56.