圆拔高(一)(2013-2014)-教师版.doc

2014年中考解决方案

圆拔高1

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同学中考解决方案模块课程 第一阶段·圆拔高1·教师版 Page 18 of 18

圆拔高1

例题精讲

一、和圆心角和圆周角有关
【例1】 问题探究：
（1） 如图1，在边长为3的正方形ABCD内（含边）画出使∠BPC=90°的一个点P，保留作图痕迹；
（2） 如图2，在边长为3的正方形ABCD内（含边）画出使∠BPC=60°的所有的点P，保留作图痕迹并简要说明作法；
（3） 如图3，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，在矩形ABCD内（含边）画出使∠BPC =60°，且使△BPC的面积最大的所有点P，保留作图痕迹．

【答案】（1）如图1，画出对角线AC与BD的交点即为点P．
注：以BC为直径作上半圆（不含点B、C），则该半圆上的任意一点即可 ．
（2）如图2， 以BC为一边作等边△QBC， 作△QBC的外接圆⊙O分别与AB，DC交于点 M、N， 弧MN即为点P的集合．
（3）如图3， 以BC为一边作等边△QBC， 作△QBC的外接圆⊙O与AD交于点 P1、P2 ， 点P1、P2即为所求 ．

【巩固】初三（1）班的同学们在解题过程中，发现了几种利用尺规作一个角的半角的方法．
题目：在△中，，求作：．
方法2：如图2，作的平分线和△的外角的平分线，两线相交于点D，可得．
方法1：如图1，延长AC至D，
使得，连接DB，
可得；

D
A
C
B
D
A
C
B
E

图1 图2
仿照他们的做法，利用尺规作图解决下列问题，要求保留作图痕迹．
（1）请在图1和图2中分别出作；
（2）当时，在图3中作出，且使点P在直线l上．

l
A
C
B

图3

【答案】（1）根据题目中给的方法画出即可；
（2）此题有两种方法：可以利用第一题的方法先作，再作的外接圆，与直线的交点即为所求；也可以先作等边，再以为圆心，长为半径作圆，与直线的交点即为所求；但第二种方法只适合的时候.
【例2】 如图，直线l1、l2相交于点O，∠l1Ol2＝60°，长为2的线段AB在直线l2上从右向左移动，点P是直线l1上一点，且∠APB＝30°．
（1）请在图中作出符合条件的点P（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）若点P有且只有一个，求OA的长度；
l1
l2
备用图
O
A
B
l1
l2
O

【答案】（1）如图（以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC，以C为圆心，AB长为半径作圆，与直线l1有两个交点P1、P2，则P1、P2是符合条件的点）
A
B
C
O
P
l1
l2
D
A
B
C
O
P1
P2
l1
l2

A
B
O
P
l1
l2
C
E
（2）当A在O的右侧，OA＝或A在O的左侧，
OA＝＋2时符合条件的点P有且只有一个
理由如下：
当直线l1与⊙C相切于点P，且A在O的右侧时，则∠APB＝30°
连接CP，过A作AD⊥l1于D
则AD＝CP＝2，∴OA＝

当直线l1与⊙C相切于点P，且A在O的左侧时，则∠APB＝30°
连接CP，过B作BE⊥l1于E
则BE＝CP＝2，∴OB＝
∴OA＝＋2

【巩固】先阅读材料，再解答问题：
小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点A、B、C、D均为⊙O上的点，则有∠C=∠D．
小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，
则有∠D>∠E．
请你参考小明得出的结论，解答下列问题：
(1) 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,7)，点B的坐标为(0,3)，
点C的坐标为(3,0) ．
①在图1中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；
②若在轴的正半轴上有一点D，且∠ACB =∠ADB，则点D的坐标为________；
(2) 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,m)，点B的坐标为(0,n)，
其中m>n>0．点P为轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标．

图1 图2
【答案】（1）①如图所示
②点D的坐标为
（2）点P的坐标为。利用更简单。

【巩固】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作等边，以为边作等边，交于点，求的值

【答案】算出、,利用得线段的长为.

【例3】 平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、
点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D．
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；

备用图
【答案】（1）∵，
∴ 抛物线的对称轴为直线．
∵ 抛物线与x轴交于
点A、点B，点A的坐标为，
∴点B的坐标为，OB＝3．
可得该抛物线的解析式为．
∵ OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，
∴ OC=3，点C的坐标为．
将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．
∴ 此抛物线的解析式为．
（2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点.（如图10）可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上．
∵ 、都是弧AB所对的圆周角，
∴ ，且射线FE上的其它点P都不满足．
由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．
可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上．∴ 点E的坐标为．
∴ 由勾股定理得 ．∴ ．
∴点的坐标为．
由对称性得点的坐标为．
∴符合题意的点P的坐标为、.
【巩固】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点．
（1）求直线及抛物线的解析式；
1
O
y
x
2
3
4
4
3
2
1
-1
-2
-2
-1
（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；

【答案】（1）沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点，．
设直线的解析式为．
在直线上，
∴．
解得．
∴直线的解析式为．
抛物线过点，

解得
抛物线的解析式为．
（2）和例题方法一样点．的坐标为或．

【例4】 如图1所示，圆上均匀分布着11个点.从起每隔个点顺次连接，当再次与点连接时，我们把所形成的图形称为“阶正十一角星”，其中（为正整数）.例如，图2是“2阶正十一角星”，那么_________°；当900°时，=_________.
图1
图2

【答案】；2或7
二、最值和临界点
【例5】 如图，⊙A与x轴交于B（2，0）、（4，0）两点，OA=3，点P是y轴上的一个动点，PD切⊙O于点D，则PD的最小值是_________________．

【答案】
【例6】 如图，在中，AB=15，AC=12，BC=9，经过点且与边相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段长度的最小值是________

【答案】
【例7】 如图，△ABC中，∠B=60°，∠ACB=75°，点D是BC边上一个动点，以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，若弦EF长度的最小值为1，则AB的长为_________
【答案】

【例8】 如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于_________

【答案】
【例9】 如图，在平面直角坐标系xOy中，，，⊙C的圆心为点，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是_________

【答案】
【例10】 以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．如图，若BO=，点N在线段OD上，且NO=2．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

备用图
【答案】最小值；最大值．老师可以从圆的角度来讲这道题，会为下面的作铺垫．
【例11】 定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离. 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角坐标系中的四点.
（1） 根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离是______ .
（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，求线段BC与线段OA的距离d.

【答案】（1），；
（2）当时，；当时，.
这道题不算难题，但是由于有新定义，所以题目会显得难

【例12】 对于平面直角坐标系中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得
∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点。
已知点D（，），E（0，-2），F（，0）
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；
②过点F作直线交轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（，）是⊙O的关联点，求的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围。
【答案】（1）①；②
（2）
【例13】 点在图形上，点在图形上，记为线段长度的最大值，为线段长度的最小值，图形的平均距离．
（1）在平面直角坐标系中，是以为圆心，2为半径的圆，且，，求及；（直接写出答案即可）．
（2）半径为1的的圆心与坐标原点重合，直线与轴交于点，与轴交于点，记线段为图形，求．
（3）在（2）的条件下，如果的圆心从原点沿轴向右移动，的半径不变，且，求圆心的横坐标．
【解析】第（2）问可以转化为点和圆之间关系的最值问题。第（3）问在讨论的时候，注意最小值和最大值都有临界点
【例14】 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，且A（4，0），B（4，4），点P在⊙O上运动。
（1）求2BP+AP的最小值
（2）若点M是函数（x>0,x≠2）的图象上一点，ME⊥x轴于点E，MF⊥y轴于点F，记M的横坐标为t（t>0,t≠2）,请用含t的表达式表示的最小值

【答案】（1）10（2）
【巩固】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为.
（1）求点的坐标（用含的代数式表示）；
（2）直线与抛物线交于、两点，点在抛物线的对称轴左侧.抛物线的对称轴与直线交于点，作点关于直线的对称点. 以为圆心，为半径的圆上存在一点，使得的值最小，则这个最小值为_______________ .
【答案】（1）点的坐标为
（2）
三、四点共圆
提示：反证法可以证四点共圆
【引例】已知：如图，正方形中，为对角线，将绕顶点逆时针旋转°（），旋转后角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．在的旋转过程中，的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（不必证明）；

【答案】不变。，四点共圆
【例15】 如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点,与轴交于、两点,点为⊙上一动点，于.当点从点出发顺时针运动到点时，设，求与的关系式（不必写自变量的取值范围）

【答案】°，点在的外接圆上。求出的中点坐标，利用两点距离公式求出与函数关系式
【巩固】如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长．

【答案】点H经过的路径长为.、、、四点共圆

【例16】 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．
（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；
（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：
①的大小是否发生变化？请说明理由；
② 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．

【答案】（1）在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，
∴PB= ，．
∵，
∴．
∴．
∴ △ABP∽△DPC．
∴，即．
∴PC=2．
（2）① ∠PEF的大小不变．
理由：过点F作FG⊥AD于点G．
∴四边形ABFG是矩形．
∴．
∴GF=AB=2，．
∵，
∴．
∴．
∴ △APE∽△GFP.
∴．
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=．
即tan∠PEF的值不变．
∴∠PEF的大小不变．
② .
【巩固】在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示，，，，点A在x轴上由原点O开始向右滑动，同时点B在y轴上也随之向点O滑动，如图2所示；当点B滑动至点O重合时，运动结束。在上述运动过程中，⊙始终以AB为直径。

（1）试判断在运动过程中，原点O与⊙的位置关系，并说明理由；
（2）设点C坐标为（x，y），试求出y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）根据对问题（1）、（2）的探究，请你求出整个过程中点C运动的路径的长。
【答案】(1) 原点O与⊙G的位置关系是：点O在⊙G上；
如图3，联结OG，∵∠AOB是直角，G为AB中点，
∴GO=AB=半径，故原点O始终在⊙G上.
(2) ∵∠ACB=90°，AB=6，AC=3，∴∠ABC=30°.
联结OC，过点C作CD⊥x轴于点D，如图4，
∴∠AOC=∠ABC =30°，
在Rt△ODC中，tan∠COD=，即tan30°=，
∴y与x的关系式是：.
自变量x的取值范围是 .
(3) ∵由(2)中的结论可知，点C在与x 轴夹角为30°的射线上运动.
∴如图5，点C的运动路径为：C1C2=OC2-OC1=6-3=3；
如图6，点C的运动路径为：C2C3=OC2-OC3=6-3；
∴总路径为：C1C2+C2C3=.

【例17】 在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段。
（1） 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；

（2） 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；
（3） 对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围。
【答案】（1）
（2）连接，取的中点，连接.四点共圆，再利用中位线即可证明
（3）
【巩固】如图1，在△ABC中，AB＝AC，. 过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．

图1 图2
（1）求证：；
（2）点为线段延长线上一点，将射线GC绕着点G逆时针旋转，与射线BD交于点E．
①若，，如图2所示，求证：；
②若,，请直接写出的值（用含的代数式表示）．
【答案】 (1) ∵平分，
∴．
∵∥，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）①证明：过作于点．
∴．
∵，，
∴．
∴．
由（1）得．
∴点、、在以为圆心，为半径的圆上．
∴．
∴.
∵==，
∴．
∴．
∴△∽△．
∵，，
图1
∴=4．
∵∥，
∴．
∴．
②．